Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số là gì? Định lý, định nghĩa
1) Định lí: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Giả sử hàm số $x=\varphi \left( t \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ \alpha ;\beta \right]$ sao cho $\varphi \left( \alpha \right)=a;\varphi \left( \beta \right)=b$ và $a\le \varphi \left( t \right)\le b$ với mọi $t\in \left[ \alpha ;\beta \right].$
Khi đó $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \phi \left( t \right) \right)}\varphi ‘\left( t \right)dt.$
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Để tính $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx$, đôi khi ta chọn hàm số $u=u\left( x \right)$ làm biến số mới, trong đó trên đoạn $\left[ a;b \right],u\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục và $u\left( x \right)\in \left[ \alpha ;\beta \right].$
Giả sử có thể viết $f\left( x \right)=g\left( u\left( x \right) \right)u’\left( x \right),x\in \left[ a;b \right],$ với $g\left( u \right)$ liên tục trên đoạn$\left[ \alpha ;\beta \right].$
Khi đó, ta có $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)}{g\left( u \right)}du.$
