Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 – cách giải {} bài tập có đáp án
Phương pháp giải bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3
Xét đồ thị $\left( C \right):y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ và đường thẳng $d:y=kx+\ell $
Hoành độ giao điểm của $y=x+m$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+\ell \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+(x-k)x+d-\ell =0$ (1)
$\to $ Số giao điểm của d và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình (1).
- Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$
Khi đó (1) thành $\left( x-{{x}_{o}} \right).\left( A{{x}^{2}}+Bx+C \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x={{x}_{o}} \\ {} g(x)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \\ \end{array} \right.$
– Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác ${{x}_{o}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}>0 \\ {} g({{x}_{o}})\ne 0 \\ \end{array} \right.$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ khi đó tọa độ các giao điểm của d và $\left( C \right)$ là:
$A\left( {{x}_{o}};k{{x}_{o}}+\ell \right),B\left( {{x}_{1}};k{{x}_{1}}+\ell \right),C\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+\ell \right)$ trong đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-B}{A} \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{C}{A} \\ \end{array} \right.$ ( Định lý Viet).
– Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có nghiệm kép khác ${{x}_{o}}$ hoặc $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng ${{x}_{o}}$và nghiệm còn lại khác ${{x}_{o}}$.
– Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow g(x)=0$ vô nghiệm hoặc $g(x)=0$ có nghiệm kép $x={{x}_{o}}$.
- Trường hợp 2: Phương trình (1) không có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$ nhưng cô lập được tham số.
Khi đó ta biến đổi (1) thành $\varphi (x)=h(m)$ .
Từ đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\varphi (x)$và $y=h(m)$
Lập bảng biến thiên cho hàm số $y=\varphi (x)\Rightarrow $Kết luận.
Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 3 có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\left( C \right)$ . Tìm giá trị của tham số m để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=mx+1$ tại 3 điểm phân biệt.
A. $\left\{ \begin{array} {} m>\frac{3}{2} \\ {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array} {} m>\frac{-9}{8} \\ {} m\ne 1 \\ \end{array} \right.$ C. $m>\frac{-9}{8}$ D. $\left\{ \begin{array} {} m>-\frac{9}{8} \\ {} m\ne 0 \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là
$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=mx+1\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} g(x)=2{{x}^{2}}-3x-m=0 \\ \end{array} \right.$
ĐK cắt tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{g(x)}}=9+8m>0 \\ {} g(0)=-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>\frac{-9}{8} \\ {} m\ne 0 \\\end{array} \right.$ . Chọn D.
| Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m \right]$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
A. Không tồn tại m B. $m2$ C. $m\ne 1,m\ne 2$ D. $\forall m\in \mathbb{R}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ và trục hoành là
$(1)\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} f(x)={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m=0 \\ \end{array} \right.$
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$x\ne 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m \right)>0 \\ {} 4-2\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1>0 \\ {} m\ne 1 \\ {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ne 1 \\ {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$ . Chọn C.
| Bài tập 3: Số các giá trị nguyên của tham số m để $m\in \left[ -10;10 \right]$ đường thẳng $y=4x-5$ cắt đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-(m+2)x+2m-1$ tại ba điểm phân biệt là
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là
${{x}^{3}}-(m+2)x+2m-1=4x+5\Leftrightarrow {{x}^{3}}-(m+6)x+2m+4=0(*)$
$(x-2)({{x}^{2}}+2x-m-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} f(x)={{x}^{2}}+2x-m-2=0 \\ \end{array} \right.$
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có ba nghiệm phân biệt, khi đó PT $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x\ne 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’>0 \\ {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1+m+2>0 \\ {} 4+4-m-2\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>-3 \\ {} m\ne 6 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị của m. Chọn C.
| Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $m\in \left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ \frac{4}{3} \right\}$ B. $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;\frac{4}{3} \right)\cup \left( \frac{4}{3};+\infty \right)$ C. $m\in \left( 1;+\infty \right)$ D. $m\in \left( 0;+\infty \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} f(x)={{x}^{2}}-2mx+m=0 \\ \end{array} \right.$
$\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương $\Leftrightarrow $ PT $f(x)=0$ có hai nghiệm $x>0,x\ne 2$
Suy ra $\left\{ \begin{array} {} {\Delta }’>0 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0 \\ {} f(2)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{m}^{2}}-m>0 \\ {} 2m>0 \\ {} m>0 \\ {} 4-4m+m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>1 \\ {} m\ne \frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ \frac{4}{3} \right\}$ . Chọn A.
| Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m+2)x-m$ và đồ thị hàm số $y=2x-2$ có ba điểm chung phân biệt
A. $m<3$ B. $m<2$ C. $m>3$ D. $m>2$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m+2)x-m=2x-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-m+2=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m-2 \right)=0\left( * \right)$
Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó
$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} f(x)={{x}^{2}}-2x+m-2=0 \\ \end{array} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} f(1)\ne 1 \\ {} {{{{\Delta }’}}_{f(x)}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1-2+m-2\ne 0 \\ {} 1-m+2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ne 3 \\ {} m<3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m<3$ . Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)\left( C \right)$. Số các giá trị của m thỏa mãn đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10$là
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và trục Ox là:
$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{3}}=2 \\ {} f(x)={{x}^{2}}+mx+1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Đồ thị $\left( C \right)$cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{m}^{2}}-4>0 \\ {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{m}^{2}}>4 \\ {} m+2\ne 0 \\ \end{array} \right.$
Khi đó cho ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$
Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=9$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}=11\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{11}\left( t/m \right)$
Vậy $m=\pm \sqrt{11}$là giá trị cần tìm . Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-mx+m-1\left( C \right)$. Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn: $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}=2$ . Khi đó:
A. ${{m}_{o}}\in \left( -2;0 \right)$ B. ${{m}_{o}}\in \left( 0;3 \right)$ C. ${{m}_{o}}\in \left( 3;5 \right)$ D. ${{m}_{o}}\in \left( 5;7 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và trục Ox là: ${{x}^{3}}-mx+m-1=0$
${{x}^{3}}-1-m(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+1-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{3}}=1 \\ {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta =1-4(1-m)=4m-3>0 \\ {} g(1)=3-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1-m \\ \end{array} \right.$
Do vậy $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+1=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+1=\frac{-1}{1-m}+1=2\Leftrightarrow m=2\left( tm \right)$
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Chọn B.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-1$có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ , với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt đường thẳng $d:y=x-1$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\le 20$
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm
${{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-1=x-1\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-2mx-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} {{x}^{2}}-2mx-1=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Ta có d cắt $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’={{m}^{2}}+1>0 \\ {} {{0}^{2}}-2m.0-1\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$ (*)
Giả sử ${{x}_{3}}=0$ khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của (1), theo Viet có $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.$
Do đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\le 20\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2\le 20\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{9}{2}\Leftrightarrow -\frac{3}{\sqrt{2}}\le m\le \frac{3}{\sqrt{2}}$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ \pm 2;\pm 1;0 \right\}$ . Chọn C
| Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-x\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=m(x-1)$ . Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A; B; C sao cho điểm $M\left( -\frac{1}{2};-9 \right)$ là trung điểm của đoạn AB trong đó $C\left( 1;0 \right)$ . Khi đó:
A. ${{m}_{o}}<-1$ B. ${{m}_{o}}\in \left( 0;4 \right)$ C. ${{m}_{o}}\in \left( 4;7 \right)$ D. ${{m}_{o}}\in \left( 7;+\infty \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng d là: $x\left( {{x}^{2}}-1 \right)-m\left( x-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x \right)-m\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-m \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} g(x)={{x}^{2}}+x-m=0 \\ \end{array} \right.$
Đồ thị $\left( C \right)$ cắt d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta =1+4m>0 \\ {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4m+1>0 \\ {} 2-m\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$ . Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\ \end{array} \right.$
Ta có: $A\left( {{x}_{1}};m\left( {{x}_{1}}-1 \right) \right);B\left( {{x}_{2}};m\left( {{x}_{1}}-1 \right) \right)$ , trung điểm của AB là
$\left\{ \begin{array} {} {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{-1}{2} \\ {} {{y}_{M}}=\frac{m\left( {{x}_{1}}-1 \right)+m\left( {{x}_{2}}-1 \right)}{2}=\frac{m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2m}{2}=\frac{-3m}{2} \\ \end{array} \right.$
Theo bài ra $M\left( -\frac{1}{2};0 \right)$ nên $\frac{-3m}{2}=-9\Leftrightarrow m=6\left( tm \right)$
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. Chọn C.
| Bài tập 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng $y=mx-m+1$ cắt đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2$ tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.
A. $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 4;+\infty \right)$ B. $m\in \left( -\frac{5}{4};+\infty \right)$ C. $m\in \left( -2;+\infty \right)$ D. $m\in \mathbb{R}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2=m\left( x-1 \right)+1$
$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} g(x)={{x}^{2}}-2x-1-m=0 \\ \end{array} \right.$
Giả thiết bài toán B là trung điểm của AC hay $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{1}}\ne 1$ thỏa mãn
$\Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2{{x}_{B}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{{{\Delta }’}}_{g(x)}}=2+m>0 \\ {} g(1)=-2-m\ne 0\Leftrightarrow m>-2 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$ . Chọn C.
| Bài tập 11: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}+\left( m+2 \right)x-m\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=2x+1$. Số giá trị nguyên của m để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường $y=x+m$ tại 3 điểm phân biệt có tung độ ${{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}$ thỏa mãn $A=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\le 83$
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng d là: ${{x}^{3}}+mx-m-1=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{3}}=1\Rightarrow {{y}_{3}}=3 \\ {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Đồ thị $\left( C \right)$ cắt $y=x+m$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta =1-4(1-m)>0 \\ {} g(1)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4m-3>0 \\ {} 3-m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge \frac{3}{4} \\ {} m\ne 3 \\ \end{array} \right.(*)$
Khi đó cho ${{x}_{3}}=1;{{y}_{3}}=3$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\ \end{array} \right.$
Theo đề bài ta có: $A=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}={{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+9=4\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+11$
$A=4\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+11=4\left[ 1-2\left( 1-m \right) \right]-4+11=8m+3\le 83\Leftrightarrow m\le 10$
Kết hợp (*) và$m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 9 giá trị của m. Chọn A.
| Bài tập 12: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}+mx-4\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=2mx+4$. Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để d cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho trọng tâm tam giác OAB là $G\left( -\frac{2}{3};8 \right)$ trong đó $\left( C \right)$ là điểm có hoành độ ${{x}_{C}}=2$ và O là gốc tọa độ. Khi đó
A. ${{m}_{o}}\in \left( -5;-2 \right)$ B. ${{m}_{o}}\in \left( -1;3 \right)$ C. ${{m}_{o}}\in \left( 3;6 \right)$ D. ${{m}_{o}}\in \left( 6;+\infty \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và d là: ${{x}^{3}}+mx-2mx-8=0$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)+m\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2\Rightarrow C\left( 2;4m+4 \right) \\ {} g(x)={{x}^{2}}+2x+4+m=0 \\ \end{array} \right.\left( 1 \right)$
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’=1-4-m=-m-3>0 \\ {} g\left( 2 \right)=12+m\ne 0 \\ \end{array} \right.(*)$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ . Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4+m \\ \end{array} \right.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};2m{{x}_{1}}+4 \right);B\left( {{x}_{2}};2m{{x}_{2}}+4 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{o}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3}=\frac{-2}{3} \\ {} {{y}_{o}}=\frac{2m{{x}_{1}}+4+2m{{x}_{2}}+4+0}{3}=\frac{2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+8}{3} \\ \end{array} \right.$
Do vậy $G\left( -\frac{2}{3};\frac{8-4m}{3} \right)$ . Cho $\frac{8-4m}{3}=8\Leftrightarrow m=-4(tm)$
Vậy $m=-4$ là giá trị cần tìm. Chọn A.
