Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

§ Bài toán 1: Giải phương trình $h\left( x \right)=g\left( x \right)$

Biến đổi và vận dụng kết quả: Nếu hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình $f\left( t \right)=0$ có tối đa một nghiệm và với mọi $u,v\in D$ thì $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$.

§ Bài toán 2: Giải bất phương trình $h\left( x \right)<g\left( x \right)$

Biến đổi bất phương trình về dạng x$f\left( u \right)<f\left( v \right)$ và sử dụng kết quả:

Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên D thì $u,v\in D$ ta có $f\left( u \right)<f\left( v \right)\Leftrightarrow u<v$.

Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên D thì $u,v\in D$ ta có $f\left( u \right)v$.

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}-\sqrt{5-x}=2\sqrt{3}$.

b) $\left( 2{{x}^{2}}+1+2\sqrt{3-x} \right)x-7\sqrt{3-x}=0$. .

Lời giải chi tiết

.a) Điều kiện $\left\{ \begin{array} {} 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11\ge 0 \\ {} x\le 5 \\ \end{array} \right.\left( D \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}-\sqrt{5-x};\text{ }x\in \left( D \right)$.

Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-3x+3}{\sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}}+\frac{1}{2\sqrt{5-x}}>0,\text{ }\forall x\in \left( D \right)$ nên hàm số đồng biến trên D.

Phương trình đã cho trở thành $f\left( x \right)=2\sqrt{3}=f\left( 2 \right)\Rightarrow x=2$. Thử lại thu được nghiệm duy nhất $x=2$.

b) Điều kiện $x\le 3$. Phương trình đã cho tương đương với

$2{{x}^{3}}+x=\left( 7-2x \right)\sqrt{3-x}\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+x=2\left( 3-x \right)\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\text{ }\left( 1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t;\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}’\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$, vậy hàm số liên tục và đồng biến.

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( \sqrt{3-x} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{3-x}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 0\le x\le 3 \\ {} {{x}^{2}}+x-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất $x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$.

b) $\sqrt{5{{x}^{3}}-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x=4$.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x0,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;2 \right)$.

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên miền $\left( -\infty ;2 \right)$.

Mặt khác $f\left( \frac{3}{2} \right)=0$ nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có duy nhất nghiệm $x=\frac{3}{2}$. Kết luận $S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}$.

b) Điều kiện $5{{x}^{3}}\ge 1$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{5{{x}^{3}}-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x;\text{ }x\in \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty \right)$.

Ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{15{{x}^{2}}}{2\sqrt{5{{x}^{3}}-1}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}}>0,\text{ }\forall x\in \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left[ \sqrt[3]{\frac{1}{5}};+\infty \right)$.

Bài toán trở thành $f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=1$. Kết luận tập nghiệm $S=\left\{ 1 \right\}$.

Bài tập 3: Giải phương trình

a) ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-7=\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$.

b) ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+2=\left( 3x+2 \right)\sqrt{3x+1}$.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x\in \mathbb{R}$.

Phương trình đã cho tương đương với

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1+2\left( x+1 \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}+2\left( x-1 \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}\text{ }\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+2t$ ta có ${f}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$.

Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó

$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x-1 \right)=f\left( \sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11} \right)\Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=0$

$\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.

Kết luận tập hợp nghiệm $S=\left\{ 1;2;3 \right\}$.

b) Điều kiện $x\ge -\frac{1}{3}$. Phương trình đã cho tương đương với

${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1+x+1=\left( 3x+1+1 \right)\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}+x+1=\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}+\sqrt{3x+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t,\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$, hàm số liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Thu được $f\left( x+1 \right)=f\left( \sqrt{3x+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge -1 \\ {} {{x}^{2}}+2x+1=3x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;1 \right\}$

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0;\text{ }x=1$.

Bài tập 4: Giải phương trình $\frac{{{x}^{2}}+3x-4}{\sqrt{2x+1}+2}=\left( 2x+2 \right)\left( \sqrt{x+3}-2 \right)$ trên tập số thực.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $\left\{ \begin{array} {} 2x+1\ge 0 \\ {} x+3\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}$, ta có phương trình đã cho

$\Leftrightarrow \frac{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{\left( x-1 \right)\left( 2x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} \frac{\left( x+4 \right)}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{\left( 2x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+2}\text{ }\left( * \right) \\ \end{array} \right.$

Giải phương trình (*), chúng ta có

$\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{x+3+1}{\sqrt{2x+1}+2}=\frac{2x+1+1}{\sqrt{x+3}+2}\Leftrightarrow \left( x+3+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)=\left( 2x+1+1 \right)\left( \sqrt{2x+1}+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{3}}+2{{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{2}}+\sqrt{x+3}={{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{3}}+2{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}+\sqrt{2x+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t$, với điều kiện $t\ge 0$ vì $\left\{ \begin{array} {} \sqrt{x+3}\ge 0 \\ {} \sqrt{2x+1}\ge 0 \\ \end{array} \right.$, có

${f}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4t+1>0,\text{ }\forall t\ge 0$ do đó $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ nên suy ra

$f\left( \sqrt{x+3} \right)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+3}=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow x=2$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=1;\text{ }x=2$.

Bài tập 5: Giải phương trình $\frac{{{x}^{2}}+6x+8}{{{x}^{2}}-2x+2}=x\left( \sqrt{x+3}-1 \right)\text{ }\left( x\in \mathbb{R} \right)$

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ge -3$. Phương trình đã cho tương đương với

$\frac{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}{{{x}^{2}}-2x+2}=\frac{x\left( x+2 \right)}{\sqrt{x+3}+1}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-2 \\ {} \frac{\left( x+4 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}=\frac{x}{\sqrt{x+3}+1}\text{ }\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$

Đặt $\sqrt{x+3}=u;\text{ }x-1=v$ ta thu được $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{u}^{2}}+1}{{{v}^{2}}+1}=\frac{v+1}{u+1}\Leftrightarrow {{u}^{3}}+{{u}^{2}}+u={{v}^{3}}+{{v}^{2}}+v$.

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t;\text{ }t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2t+1>0,\text{ }\forall t\in \mathbb{R}$.

Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên

$f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow \sqrt{x+3}=x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x+3={{x}^{2}}-2x+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} {{x}^{2}}-3x-2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

Bài tập 6: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \left( 4{{x}^{2}}+1 \right)x+\left( y-3 \right)\sqrt{5-2y}=0 \\ {} 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\sqrt{3-4x}=7 \\ \end{array} \right.\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\le \frac{3}{4},y\le \frac{5}{2}$.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương $\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)2x=\left( 5-2y+1 \right)\sqrt{5-2y}\text{ }\left( 1 \right)$

Khi đó phương trình (1) có dạng: $f\left( 2x \right)=f\left( \sqrt{5-2y} \right)$ với $f\left( t \right)=\left( {{t}^{2}}+1 \right)t={{t}^{3}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ta có: ${f}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\text{ }\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} y=\frac{5-4{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$

Thế vào phương trình (2) ta được: $4{{x}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2}-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\sqrt{3-4x}-7=0\text{ }\left( 3 \right)$

Do $x=0;\text{ }x=\frac{3}{4}$ không phải là nghiệm của phương trình

Xét hàm số $g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2}-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\sqrt{3-4x}-7$ trên khoảng $\left( 0;\frac{3}{4} \right)$.

Ta có: ${g}’\left( x \right)=8x-8x\left( 5-2{{x}^{2}} \right)-\frac{4}{\sqrt{3-4x}}=4x\left( 4{{x}^{2}}-3 \right)-\frac{4}{\sqrt{3-4x}}<0\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến.

Mặt khác $g\left( \frac{1}{2} \right)=0\Rightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( \frac{1}{2};2 \right)$

Bài tập 7: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array} {} 20\sqrt{6-x}-17\sqrt{5-y}-3x\sqrt{6-x}+3y\sqrt{5-y}=0 \\ {} 2\sqrt{2x+y+5}+3\sqrt{3x+2y+11}={{x}^{2}}+6x+13 \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\le 6;\text{ }y\le 5;\text{ }2x+y+5\ge 0;\text{ }3x+2y+11\ge 0$.

Khi đó: $PT\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 20-3x \right)\sqrt{6-x}=\left( 17-3y \right)\sqrt{5-y}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{6-x} \right)\left[ 3\left( 6-x \right)+2 \right]=\sqrt{5-y}\left[ 3\left( 5-y \right)+2 \right]$

Xét hàm $f\left( t \right)=t\left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{6-x}=\sqrt{5-y}\Leftrightarrow y=x-1$

Thế vào PT(2) ta có: $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}={{x}^{2}}+6x+13$.

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x \right)\left( \frac{2}{2\sqrt{3x+4}+2x+4}+\frac{3}{3\sqrt{5x+9}+3x+9}+1 \right)=0$.

Do $x\in \left[ -\frac{4}{3};6 \right]\Rightarrow x=0;x=-1$.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $\left( 0;-1 \right);\left( -1;-2 \right)$.

Bài tập 8: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+\frac{x}{x+1}=\left( y+2 \right)\sqrt{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)} \\ {} \left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)\sqrt{y+1}=4\left( x+1 \right) \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} y\ge -1 \\ {} x>-1 \\ \end{array} \right.$. Ta có: $PT\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{x+1}}+\frac{x}{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}=\left( y+2 \right)\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x}{\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}}=\left( y+2 \right)\sqrt{y+1}\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{\sqrt{x+1}} \right)}^{3}}+\frac{x}{\sqrt{x+1}}={{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+\sqrt{y+1}$

Xét hàm số: $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f\left( \frac{x}{\sqrt{x+1}} \right)=f\left( \sqrt{y+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}$ thế vào PT(2) ta có:

$\frac{x\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)}{\sqrt{x+1}}=4\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2x\left( x+1 \right)-4\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}=0$

Đặt $z=\sqrt{x+1}$ ta có: ${{x}^{3}}+2x{{z}^{2}}-4{{z}^{3}}=0\Leftrightarrow x=2z$

$\Leftrightarrow x=2\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} {{x}^{2}}=4x+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{2}\Rightarrow y=3$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( 2\pm 2\sqrt{2};3 \right)$.

Bài tập 9: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array} {} 2{{x}^{2}}+2x+1+\sqrt{x+2}=2{{y}^{2}}+3y+\sqrt{2y+1} \\ {} {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x+y=2 \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\ge -2;y\ge -\frac{1}{2}$. Khi đó ta có: $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta có: ${{x}^{2}}+4x+3+\sqrt{x+2}=4{{y}^{2}}+4y+\sqrt{2y+1}$

$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+\sqrt{x+2}={{\left( 2y+1 \right)}^{2}}+\sqrt{2y+1}$. Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+\sqrt{t}$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.

Khi đó ta có: $f\left( x+2 \right)=f\left( \sqrt{2y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=2y$ thế vào PT(2) ta có:

${{\left( 2y-1 \right)}^{2}}+2{{y}^{2}}-2\left( 2y-1 \right)+y=2\Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-7y+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} y=1;\text{ }x=1 \\ {} y=\frac{1}{6};\text{ }x=-\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( 1;1 \right);\left( -\frac{2}{3};\frac{1}{6} \right)$.

Bài tập 10: [Đề thi tham khảo của Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x$ có nghiệm thực?

A. 5. B. 7. C. 3. D. 2.

Lời giải chi tiết

Đặt $\sqrt[3]{m+3\sin x}=a;\text{ }\sin x=b$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} \sqrt[3]{m+3a}=b \\ {} \sqrt[3]{m+3b}=a \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+3a={{b}^{3}} \\ {} m+3b={{a}^{3}} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow 3\left( a-b \right)={{b}^{3}}-{{a}^{3}}=\left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}+3 \right)=0$

Do ${{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}+3>0\Rightarrow a=b\Rightarrow m+3\sin x={{\sin }^{3}}x\Leftrightarrow m={{\sin }^{3}}x-3\sin x={{b}^{3}}-3b=f\left( b \right)$.

Xét $f\left( b \right)={{b}^{3}}-3b\left( b\in \left[ -1;1 \right] \right)$ ta có: ${f}’\left( b \right)=3{{b}^{2}}-3\le 0\left( \forall b\in \left[ -1;1 \right] \right)$.

Do đó hàm số $f\left( b \right)$ nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$.

Vậy $f\left( b \right)\in \left[ f\left( 1 \right);f\left( -1 \right) \right]=\left[ -2;2 \right]$. Do đó PT đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left[ -2;2 \right]$ .

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.

Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $\sqrt[{}]{m+2\sqrt[{}]{m+2\sin x}}=\sin x$ có nghiệm thực?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\sin x\ge 0$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\sin x \\ {} v=2\sqrt{m+2\sin x} \\ \end{array} \right.\text{ }\left( u,v\ge 0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \sqrt{m+2v}=u \\ {} \sqrt{m+2u}=v \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+2v={{u}^{2}} \\ {} m+2u={{v}^{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\left( v-u \right)={{u}^{2}}-{{v}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\left( v-u \right)=\left( u-v \right)\left( u+v \right)\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( u+v+2 \right)=0\text{ }\left( * \right)$

Do $u,\text{ }v\ge 0$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow u=v\Rightarrow m={{u}^{2}}-2u$ với $u=\sin x\text{ }\left( u\in \left[ 0;1 \right] \right)$.

Xét $f\left( u \right)={{u}^{2}}-2u\text{ }\left( u\in \left[ 0;1 \right] \right)$ ta có ${f}’\left( u \right)=2u-2\le 0$.

Suy ra hàm số $f\left( u \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$.

Mặt khác $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow $ Phương trình có nghiệm khi $m\in \left[ -1;0 \right]$.

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Bài tập 12: Cho phương trình $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m\left( \sqrt{5-x}+\sqrt{4-x} \right)\left( 1 \right)$ (m là tham số thực). Gọi $A=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| \left( 1 \right)\text{ co }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ nghie }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ m} \right. \right\}$. Số phần tử của tập hợp A là?

A. 12. B. 4. C. 21. D. 0.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $0\le x\le 4$. Khi đó $PT\Leftrightarrow m=\frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)$ trong đó $g\left( x \right)=x\sqrt{x}+\sqrt{x+12};h\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}$

Ta có: $g\left( x \right)>0;h\left( x \right)>0\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)$

Mặt khác ${g}’\left( x \right)=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}>0;{h}’\left( x \right)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}}{{{\left( \sqrt{5-x}+\sqrt{4-x} \right)}^{2}}}>0$

Do đó 2 hàm số $g\left( x \right)$ và $h\left( x \right)$ luôn dương và đồng biến do đó hàm số $f\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)$ cũng luôn dương và đồng biến trên $\left[ 0;4 \right]$, $f\left( 0 \right)=\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{5}};f\left( 4 \right)=12\Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in \left[ \frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{5}};12 \right]$. Do đó $A=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| \left( 1 \right)\text{ co }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ nghie }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ m} \right. \right\}$ có 12 phần tử. Chọn A.