CÁCH NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $c\ne 0,\,ad-bc\ne 0$
1. Đạo hàm hàm bậc nhất trên bậc nhất
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$
Đạo hàm ${y}’=\frac{ad-bc}{cx+d},\,\,\,\forall x\ne -\frac{d}{c}$ suy ra:
– Nếu $ad-bc>0\to $ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
– Nếu $ad-bc<0\to $ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
2. Giới hạn, tiệm cận của hàm phân thức
– $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}\to y=\frac{a}{c}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
– $\underset{x\to -\frac{d}{c}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\frac{d}{c}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{cx+d}=\infty \to y=-\frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3. Bảng biến thiên hàm bậc nhất trên bậc nhất
4. Đồ thị hàm số phân thức
$ad-bc>0$ |
$ad-bc<0$ |
Đồ thị hàm số nhận $I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
5. Phương pháp giải toán
Để nhận diện hàm số phân thức bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ $\left( c\ne 0 \right)$ ta làm như sau:
Dựa vào các đường tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ .
Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left( \frac{-b}{a};0 \right)$ và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left( 0;\frac{b}{d} \right)$ .
Chú ý: Với các bài toán xác định dấu của $a,b,c,d$ ta có thể chọn $a>0$ (vì $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}$) từ đó suy ra dấu của $b,c,d$.
