Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m trên R
Phương pháp giải bài toán đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 chứa tham số m
Xét tam thức bậc 2: $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ ta đã biết ở lớp 10
$y\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a>0 \\ {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.
$y\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a<0 \\ {} \textΔ\le 0 \\ \end{array} \right.$.
þ Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có:
– Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3a>0 \\ {} {{{{\Delta }’}}_{{{y}’}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.
– Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3a<0 \\ {} {{{{\Delta }’}}_{{{y}’}}}\le 0 \\ \end{array} \right.$.
Chú ý:
§ Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x-3$ ta cần xét $a=0$ trước.
§ Số giá trị nguyên trên đoạn $\left[ a;b \right]$ bằng $b-a+1$.
Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số bậc 3 có chứa tham số m đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=6{{x}^{2}}-6mx+6m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=6>0 \\ {} \text{Δ’}=9{{m}^{2}}-36m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
| Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m+9 \right)x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$?
A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}_{{{y}’}}}=-3<0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}+3\left( 4m+9 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -9\le m\le -3$.
Kết hợp $m\in \mathbb{R}$ Þ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+2$. Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:
A. 20. B. 19. C. 21. D. 23. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+4x+m+3$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=4-\left( m+3 \right)<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{R} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.$ Þ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.
| Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số $y=-2{{x}^{3}}-6\left( m+3 \right){{x}^{2}}+24mx+2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là:
A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-6{{x}^{2}}-12\left( m+3 \right)x+24m=6\left[ -{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)+4m \right]$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=-1<0 \\ {} \text{Δ’}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+4m\le 0 \\ \end{array} \right.$.
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+9\le 0\Leftrightarrow -9\le m\le -1$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ Þ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.
| Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{-1}{3}{{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2$ nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.
A. 4. B. 3. C. 0. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-{{x}^{2}}+4mx+2m+12$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=-1<0 \\ {} \text{Δ’}=4{{m}^{2}}-2m-12\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.
| Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-2 \right){{x}^{2}}+12x+1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 5. B. 10. C. 15. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6\left( m-2 \right)x+12$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=3>0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=9{{\left( m-2 \right)}^{2}}-36\le 0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.
| Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+4x+3$ luôn tăng trên $\mathbb{R}$. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 0. B. 3. C. 4. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+2mx+4$.
.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}-4\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 2$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$ Þ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.
| Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{3}\left( m+2 \right){{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( m-8 \right)x+{{m}^{2}}-1$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $-2<m<1$. B. $m<-2$. C. $m\le 1$. D. $m\le -2$. |
Lời giải chi tiết
Với $m=-2$ ta có $y=-10x+3$ (hàm số này luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$).
Với $m\ne -2$ ta có ${y}’=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m-8$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+2<0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{\left( m+2 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( m-8 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m<-2 \\ {} \left( m+2 \right)\left( 9-m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m<-2$
Kết hợp cả hai trường hợp. Chọn D.
| Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Với $m=1\Rightarrow y=-x+4$ hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Với $m=-1\Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x+4$ không thỏa mãn nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Với $m\ne \pm 1\Rightarrow {y}’=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {y}’\le 0\text{ }\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1<m<1 \\ {} 2\left( m-1 \right)\left( 2m+1 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le m\le 1$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0,\text{ }m=1$. Chọn A.
| .Ví dụ 10: Hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì giá trị m nhỏ nhất là
A. $m=1$. B. $m=-2$. C. $m=-4$. D. $m=0$. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x+m$ với $x\in \mathbb{R}$, ta có ${y}’=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.
Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m>0 \\ {} {{{\text{Δ’}}}_{{{y}’}}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>0 \\ {} 4-m\left( m+3 \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.
