Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số hợp có đáp án
Dưới dây là câu trắc nghiệm về hàm số hợp và tiếp tuyến có Lời giải chi tiết:
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ xác định trên ℝ và thỏa mãn ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung.
A. $y=x-\frac{1}{5}$ B. $y=-\frac{1}{5}x+1$ C. $y=x-1$ D. $y=-x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left( C \right)\cap Oy$ tại điểm có hoành độ $x=0$.
Đặt $\left\{ \begin{array} {} f\left( 0 \right)=a \\ {} {f}’\left( 0 \right)=b \\ \end{array} \right.$, thay $x=1$ vào giả thiết ta có: ${{f}^{3}}\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow {{a}^{3}}+a=2\Leftrightarrow a=1$
Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1$ ta được: $-3{{f}^{2}}\left( 1-x \right){f}’\left( 1-x \right)-2\text{x}.{f}’\left( 1-{{x}^{2}} \right)=1\left( * \right)$
Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b-2b=1\xrightarrow{a=1}-3b-2b=1\Leftrightarrow b=-\frac{1}{5}$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-\frac{1}{5}x+1$. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ xác định trên ℝ và thỏa mãn ${{f}^{3}}\left( 2-x \right)+x=3+3\text{x}.f\left( x \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$.
A. $\left[ \begin{array} {} y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3} \\ {} y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\ \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array} {} y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3} \\ {} y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3} \\ \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array} {} y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ {} y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ {} y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\ \end{array} \right.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} f\left( 1 \right)=a \\ {} {f}’\left( 1 \right)=b \\ \end{array} \right.$, thay $x=1$ vào giả thiết ta có: ${{a}^{3}}+1=3+3\text{a}\Leftrightarrow {{a}^{3}}-3\text{a}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=-1 \\ {} a=2 \\ \end{array} \right.$
Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 2-x \right)+x=3+3\text{x}.f\left( x \right)$ ta được:
$-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right){f}’\left( 2-x \right)+1=3f\left( x \right)+3\text{x}.{f}’\left( x \right)\left( * \right)$
Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b+1=3\text{a}+3b$
TH1: Với $a=-1\Rightarrow -3b+1=-3+3b\Leftrightarrow b=\frac{2}{3}$
Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{2}{3}\left( x-1 \right)-1=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.
TH2: Với $a=2\Rightarrow -12b+1=6+3b\Leftrightarrow b=-\frac{1}{3}$
Phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{3}\left( x-1 \right)+2=\frac{-1}{3}x+\frac{7}{3}$. Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ xác định trên ℝ và thỏa mãn $2f\left( 2-x \right)+f\left( x+1 \right)={{x}^{2}}+2\text{x}$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:
A. $\left( 2;1 \right)$ B. $\left( 1;\frac{5}{3} \right)$ C. $\left( 2;\frac{-2}{3} \right)$ D. $\left( 1;\frac{13}{3} \right)$ |
Lời giải chi tiết
Thay $x=0;x=1$ vào đề bài ta có: $\left\{ \begin{array} {} 2f\left( 2 \right)+f\left( 1 \right)=0 \\ {} 2f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( 2 \right)=-1 \\ {} f\left( 1 \right)=2 \\ \end{array} \right.$
Đạo hàm 2 vế biểu thức: $2f\left( 2-x \right)+f\left( x+1 \right)={{x}^{2}}+2\text{x}$ ta được: $-2{f}’\left( 2-x \right)+{f}’\left( x+1 \right)=2\text{x}+2\left( * \right)$
Thay $x=0;x=1$ vào (*) ta được: $\left\{ \begin{array} {} -2{f}’\left( 2 \right)+{f}’\left( 1 \right)=2 \\ {} -2{f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {f}’\left( 2 \right)=-\frac{8}{3} \\ {} {f}’\left( 1 \right)=\frac{-10}{3} \\ \end{array} \right.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ có phương trình là:
$y=-\frac{8}{3}\left( x-2 \right)-1=\frac{-8}{3}x+\frac{13}{3}$
Do đó tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x-2$ đi qua điểm $\left( 1;\frac{5}{3} \right)$. Chọn B.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ xác định trên ℝ và thỏa mãn $2f\left( 1-x \right)+f\left( 1+x \right)=3\left( 2{{\text{x}}^{2}}+1 \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại thời điểm có hoành độ $x=3$ cắt trục tọa độ tại 2 điểm A và B. Diện tích tam giác OAB là ${{S}_{OAB}}$ thỏa mãn:
A. $0<{{S}_{OAB}}<5$ B. $5<{{S}_{OAB}}<15$ C. $15<{{S}_{OAB}}<30$ D. ${{S}_{OAB}}>30$ |
Lời giải chi tiết
Thay $x=-2;x=2$ vào đề bài ta có: $\left\{ \begin{array} {} 2f\left( 3 \right)+f\left( -1 \right)=27 \\ {} 2f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=27 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( 3 \right)=9 \\ {} f\left( -1 \right)=9 \\ \end{array} \right.$
Đạo hàm 2 vế biểu thức: $2f\left( 1-x \right)+f\left( 1+x \right)=3\left( 2{{\text{x}}^{2}}+1 \right)$ ta được: $-2f\left( 1-x \right)+f\left( 1+x \right)=12\text{x}\left( * \right)$
Thay $x=-2;x=2$ vào (*) ta được: $\left\{ \begin{array} {} -2{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( -1 \right)=-24 \\ {} -2{f}’\left( -1 \right)+{f}’\left( 3 \right)=24 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {f}’\left( 3 \right)=8 \\ {} {f}’\left( -1 \right)=-8 \\ \end{array} \right.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=3$có phương trình là: $y=8\left( x-3 \right)+9=8\text{x}-15$
Khi đó ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}.15.\frac{15}{8}=14,0625$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho các hàm số $y=f\left( x \right),y=f\left[ f\left( x \right) \right],y=f\left( {{x}^{2}}+4 \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right)$. Đường thẳng $x=1$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{3}} \right)$ lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại M và của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N lần lượt là $y=3\text{x}+2$ và $y=12\text{x}-5$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P bằng:
A. $y=8\text{x}-1$ B. $y=4\text{x}+3$ C. $y=2\text{x}+5$ D. $y=3\text{x}+4$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y=3\text{x}+2\Leftrightarrow y=f\left( 1 \right)={f}’\left( 1 \right).\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y={f}’\left( 1 \right)x-{f}’\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {f}’\left( 1 \right)=3 \\ {} f\left( 1 \right)=5 \\ \end{array} \right.$
Tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N là $y-f\left[ f\left( 1 \right) \right]={f}’\left( 1 \right).{f}’\left[ f\left( 1 \right) \right].\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-f\left( 5 \right)=3{f}’\left( 5 \right).\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow y=3{f}’\left( x \right).x+f\left( 5 \right)-3.{f}’\left( 5 \right)$ mà $y=12\text{x}-5\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} 3{f}’\left( x \right)=12 \\ {} f\left( 5 \right)-3.{f}’\left( 5 \right)=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {f}’\left( 5 \right)=4 \\ {} f\left( 5 \right)=7 \\ \end{array} \right.$
Lại có $y=f\left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow {y}’={{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( {{x}^{2}}+4 \right)=2\text{x}.{f}’\left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow y\left( 1 \right)=2{f}’\left( 5 \right)$.
Do đó, tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P là $y=f\left( 5 \right)=2{f}’\left( 5 \right)\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-7=8\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=8\text{x}-1$.
Chọn A.
