Tổng hợp lý thuyết bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị toán lớp 12

Bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị

Phương pháp đại số:

• Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là

$(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})>0$

• Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là $a=f(b;c)$.
• Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay$a=f(b;c)$ vào ta được một phương trình hai ẩn b;c.
• Xét hàm khoảng cách $d=g\left( b;c \right)$

+ Nếu $c=0$ thì  $b\ne 0\to d={{d}_{1}}$lưu lại giá trị khoảng cách ${{d}_{1}}$ này.

+ Nếu  $c\ne 0\Rightarrow d=g\left( \frac{b}{c} \right)=g\left( t \right);t=\frac{b}{c}$

Khảo sát hàm $g\left( t \right)$ta thu được kết quả.

Chú ý:

• Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng $d\left( A;(P) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
• Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng $d\left( A;\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$; với M thuộc $\Delta $.
• Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta 1}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta 2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}.{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta 1}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta 2}}} \right] \right|}$

Phương pháp hình học:

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d.

Phương pháp giải:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$.

Kẻ $MH\bot (P);MK\bot d\Rightarrow MH=d\left( M;\left( P \right) \right)$và điểm K cố định. Ta có $d\left( M;\left( P \right) \right)=MH\le MK$ Suy ra ${{d}_{\max }}=MK$. Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} d\subset (P) \\  {} \left( P \right)\bot \left( M;d \right) \\ \end{array} \right.$ Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa M và d ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

Khi đó (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

Bài tập cực trị oxy bài toán 1 – có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho các điểm $M\left( 2;5;3 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$. Lập $\left( P \right)$chứa $d$ sao cho khoảng cách từ  $M$đến $\left( P \right)$đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;2 \right)$

Kẻ $MH\bot (P);MK\bot d\Rightarrow MH=d\left( M;\left( P \right) \right)$và điểm K cố định. Ta có $d\left( M;\left( P \right) \right)=MH\le MK$ Suy ra ${{d}_{\max }}=MK$. Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} d\subset (P) \\  {} \left( P \right)\bot \left( M;d \right)\equiv \left( \alpha  \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

Ta có: $\overrightarrow{MA}\left( 1;-5;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=-9(1;-4;1)$

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$cần tìm đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ và có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(1;-4;1)\Rightarrow (P):x-4y+z-3=0$.

Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho các điểm $M\left( 5;1;6 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{5}$. Lập $\left( P \right)$chứa $d$ sao cho khoảng cách từ  $M$đến $\left( P \right)$đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm $A\left( 1;-1;2 \right)$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;1;5 \right)$.

Kẻ $MH\bot (P);MK\bot d\Rightarrow MH=d\left( M;\left( P \right) \right)$và điểm K cố định. Ta có $d\left( M;\left( P \right) \right)=MH\le MK$ Suy ra ${{d}_{\max }}=MK$. Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} d\subset (P) \\  {} \left( P \right)\bot \left( M;d \right)\equiv \left( \alpha  \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

Ta có: $\overrightarrow{MA}\left( -4;-2;-4 \right)=-2(2;1;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=30(2;1;-1)$.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$cần tìm đi qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(2;1;-1)\Rightarrow (P):2x+y-z+1=0$.

Bài tập 3: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho các điểm $M\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{2}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$chứa đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $O$đến $\left( P \right)$ bằng: A. $d=\sqrt{3}.$ B. $d=3.$ C. $d=\frac{3}{\sqrt{5}}.$ D. $d=\sqrt{5}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $H,\text{ }K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(P)$  và đường thẳng $d$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( -1;2;1 \right)$

Ta có: $d\left( M;\left( P \right) \right)=MH\le MK$Khi đó Suy ra ${{d}_{\max }}=MK$. Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} d\subset (P) \\  {} \left( P \right)\bot \left( M;d \right)\equiv \left( \alpha  \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;-3;2 \right);\overrightarrow{MA}=(-2;0;4)$

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right]=-2\left( 6;10;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=(-29;0;58)=-29(1;0;-2)$

Khi đó $\left( P \right):x-2z+3=0\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{3}{\sqrt{5}}$. Chọn C.

Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$cho ba điểm $M\left( -1;2;4 \right);A(0;2;1);B(1;0;2)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$chứa đường thẳng $AB$ đồng thời cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất cắt các trục tọa dộ tại các điểm $N,P,Q$ . Thể tích $V$của khối chóp $O.NPQ$ là: A. $V=\frac{9}{2}$. B. $V=\frac{3}{2}.$ C. $V=9.$ D. $V=27.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử Ta có: Ta có $d\left( M;\left( P \right) \right)=MH\le MK$ Suy ra ${{d}_{\max }}=MK$. Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} d\subset (P) \\  {} \left( P \right)\bot \left( M;d \right)\equiv \left( \alpha  \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\  {} \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$ Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-2;1 \right);\overrightarrow{MA}=(1;0;-3)$.

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right]=2\left( 3;2;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=(-4;2;8)=-2(2;-1;-4)$

Khi đó $\left( P \right):2x-y-4z+6=0\Rightarrow N\left( -3;0;0 \right);P\left( 0;6;0 \right);Q\left( 0;0;\frac{3}{2} \right)\Rightarrow {{V}_{O.NPQ}}=\frac{1}{6}OM.OP.OQ=\frac{9}{2}.$

Chọn A.

Bài tập 5: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho các điểm $A\left( 1;4;2 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$chứa đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $O$đến $\left( P \right)$ bằng: A. $d=\frac{\sqrt{210}}{10}.$ B. $d=\frac{\sqrt{210}}{30}.$ C. $d=\frac{\sqrt{21}}{5}.$              D. $d=\frac{\sqrt{21}}{10}.$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm $B\left( 1;-2;0 \right)$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( -1;1;2 \right)$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( 0;-6;-2 \right)=-2\left( 0;3;1 \right).$

Áp dụng công thức nhanh ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=2\left( 5;13;-4 \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):5x+13y-4z-21=0\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{21}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{13}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{\sqrt{210}}{10}$. Chọn A.

Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) , đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm M đến d lớn nhất, nhỏ nhất?

Phương pháp giải:

+ Kẻ $MK\bot d;MK\bot (P)\Rightarrow MK=d\left( M;d \right)$và điểm H cố định.

+ Kẻ $MK\bot d;MH\bot (P);\Rightarrow MK=d\left( M;d \right)=d$và điểm H cố định.

Ta có: $MH\le MK\le MA\Leftrightarrow MH\le d\le MA$.

+) Ta có $MK\le MA\Rightarrow d{{\left( M;d \right)}_{\max }}=MA\Leftrightarrow K\equiv A.$

Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AM$, suy ra $d$có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{MA} \right]$

+) Mặt khác, lại có $MK\ge MH\Rightarrow d{{\left( M;d \right)}_{\min }}=MH\Leftrightarrow H\equiv K$.

Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M. Suy ra $d=\left( P \right)\cap \left( MHA \right)$. Trong đó $\overrightarrow{n\left( _{MHA} \right)}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{MA} \right]$

Khi đó đường thẳng $d$ có một véc tơ chỉ phương là  $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$

(Chú ý: Trong trường hợp ${{d}_{\min }}$ thì $d$chính là hình chiếu vuông góc của $MA$ trên mặt phẳng $(P)$).

Bài tập cực trị oxy bài toán 2 – có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho các điểm $M\left( 1;0;0 \right);A(0;2;-3)$và  $(P):x+2y-z-1=0$. Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) , đi qua  A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?`

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(1;2;-1);\overrightarrow{MA}=\left( 1;-2;3 \right).$

+) Kẻ $MK\bot d;MK\bot (P)\Rightarrow MK=d\left( M;d \right)=d$và điểm H cố định.

Ta có: $MH\le MK\le MA\Leftrightarrow MH\le d\le MA$.

+) Ta có $MK\le MA\Rightarrow d{{\left( M;d \right)}_{\max }}=MA\Leftrightarrow K\equiv A.$

Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AM$, suy ra $d$có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{MA} \right]=4\left( -1;1;1 \right)\Rightarrow d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{\max }}=MA=\sqrt{14}$.

+) Mặt khác, lại có $MK\ge MH\Rightarrow d{{\left( M;d \right)}_{\min }}=MH\Leftrightarrow H\equiv K$.

Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M. Suy ra $d=\left( P \right)\cap \left( MHA \right)$. Trong đó $\overrightarrow{n\left( _{MHA} \right)}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{MA} \right]=4\left( 1;-1;-1 \right)$

Khi đó đường thẳng $d$ có một véc tơ chỉ phương là  $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{MA} \right] \right]=-12\left( 1;0;1 \right)$

Suy ra $d:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=0 \\  {} z=t \\ \end{array} \right.$và ${{d}_{\min }}=MH=d\left( M;\left( P \right) \right)=\sqrt{6}$.

Bài tập 2: Cho các điểm $A\left( 1;2;4 \right);A(1;2;-2)$và $(P):x+y-z+1=0$. Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) , đi qua  A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?`

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(1;1;-1);\overrightarrow{AB}=\left( 0;0;-6 \right)=-6(0;0;1).$

Gọi H; N lần lượt là hình chiếu của B trên (P) và d. Khi đó $d\left( B;\left( d \right) \right)=BN$ Ta có: $BH\le BN\le BA\Leftrightarrow BH\le d\le BA$. +) ${{d}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AB} \right]=-6\left( 1;-1;0 \right).$ $\Rightarrow d:\left\{ x=1+t;y=2-t;z=4 \right\}.$ +) ${{d}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AB} \right] \right]=6\left( 1;1;2 \right).$ $\Rightarrow d:\left\{ x=1+t;y=2+t;z=4+2t \right\}.$

 

Bài tập 3: [Đề luyện thi đại học Vinh 2017] Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho hai điểm $M\left( -1;2;1 \right)$;  $A\left( 1;2;-3 \right)$và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$ vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\Delta $ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất. A. $\overrightarrow{u}=\left( 4;-3;2 \right).$ B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;2 \right).$ C. $\overrightarrow{u}=\left( 2;0;-4 \right).$              D. $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right).$

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d là: $(P)=2x+2y-z-1=0$ khi đó $(P)$ chứa $\Delta $. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống $(P)$và N là hình chiếu vủa A xuống $\Delta $. Ta có: $AH\le AN\le AM$. Khi đó $A{{N}_{\max }}\Leftrightarrow N\equiv M$ Do $\Delta \bot d;\Delta \bot AM\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{AM} \right]=\left( -8;6;-4 \right)$.Chọn A.

 

Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho hai điểm $A\left( 1;1;-1 \right);B\left( 0;2;1 \right)$và mặt phẳng (P) có phương trình $(P):2x-y-z=0$. Gọi d là đường thẳng đi qua  A nằm trong mặt phẳng (P) , và cách điểm B một khoảng lớn nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng $({{O}_{xy}})$ tại điểm. A. $Q\left( 0;4;0 \right).$  B. $Q\left( 1;-2;0 \right).$ C. $Q\left( 0;-2;0 \right).$              D. $Q\left( 1;4;0 \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d{{\left( B;d \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AB} \right]$$=\left( -1;-3;1 \right)\Rightarrow d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+1}{1}$

Mặt phẳng$({{O}_{xy}})$ có phương trình $z=0\Rightarrow d\cap ({{O}_{xy}})=Q\left( 0;-2;0 \right)$ . Chọn C.

Bài tập 5: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{-1}$ và hai điểm $A\left( 1;1;-2 \right)$;  $B\left( -1;0;2 \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến $\Delta $   là nhỏ nhất. A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-8}.$ B. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{-8}.$ C. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{8}.$ D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{8}.$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng (P) đi qua điểm $A\left( 1;1;-2 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;-1)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left( -2;-1;4 \right)$

Áp dụng công thức nhanh ta có: ${{d}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{AB} \right] \right]=\left( 4;-10;-16 \right)=2(2;-5;-8)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{-8}.$ Chọn B.

Bài tập 6: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$;  $B\left( 3;-1;-5 \right)$ và đường thẳng $\Delta $$:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$. Gọi d là đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách  từ B đến $\Delta $ là lớn nhất, đường thẳng d đi qua các điểm nào trong các điểm sau: A. $E\left( 2;4;-2 \right).$ B. $F\left( 2;3;0 \right).$ C. $G\left( 2;4;0 \right).$              D. $N\left( 2;0;0 \right).$

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa $\Delta $$:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$; $\Delta $ qua $M\left( -1;0;-1 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;3;-1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=2\left( 1;-1;-1 \right);d\subset (P).$

Khi đó $d{{\left( B;\Delta  \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=-\left( 1;2;-1 \right)\Rightarrow d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}.$

Suy ra $E\left( 2;4;-2 \right)\in d.$Chọn A.

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P).

Phương pháp giải:

+) Gọi $I={d}’\cap (P)$, qua A dựng đường thẳng  ${{d}’}’\parallel {d}’\Rightarrow {d}’\parallel (Q)$, với (Q) là mặt phẳng chứa $d$và ${{d}’}’$.

Khi đó $d\left( d;{d}’ \right)=d\left( {d}’;\left( Q \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)$

+) Kẻ $IH\bot \left( Q \right);IK\bot {{d}’}’\Rightarrow IH=d\left( I;\left( Q \right) \right)$và điểm K cố định.

+) Ta có  $H\le IK\Rightarrow d{{\left( I;\left( Q \right) \right)}_{\max }}=IK\Leftrightarrow H\equiv K.$ Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng IK, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{IK} \right]$

Gọi ${A}’$ là hình chiếu vuông góc của A lên d’ , suy ra $A{A}’\parallel IK$,  khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{\text{A{A}’}} \right]$

Vậy đường thẳng d cần lập đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{\text{A{A}’}} \right]$

Bài tập cực trị oxy bài toán 3 – có đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho hai điểm $A\left( 1;0;1 \right)$;   và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{-1}$và $(P)=x-y+z-2=0$ . Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách giữa d và ${d}’$lớn nhất?

Lời giải:

Gọi ${A}’\left( 2+2t;1-t;-t \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên ${d}’$

Ta có: $\overrightarrow{A{A}’}\left( 1+2t;1-t;-t-1 \right)$và $\overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+2+t-1+t+1=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{A{A}’}\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 1;4;-2 \right)$. Lại có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right).$

Khi đó $d{{\left( d;{d}’ \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{A{A}’} \right]=\left( -2;3;5 \right)$

Suy ra $d:\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{5}.$

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$và ${d}’:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$ . Lập phương trình đường $\Delta $ đi qua $O\left( 0;0;0 \right)$ vuông góc với d và cách ${d}’$ một khoảng lớn nhất?

Lời giải:

Mặt phẳng (P) đi qua $O\left( 0;0;0 \right)$  và vuông góc với d có VTPT là $\overrightarrow{{{u}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-2;1 \right).$

Khi đó $d\subset \left( Q \right)$. Gọi ${O}’\left( 2t;-1-2t;1-t \right)\in {d}’$là hình chiếu vuông góc của O trên ${d}’$

Ta có: $\overrightarrow{O{O}’}\left( 2t;-2t-t;-t+1 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{O{O}’}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}’}}}}=4t+4t+2+t-1=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{9}\Rightarrow \overrightarrow{O{O}’}\left( -\frac{2}{9};-\frac{7}{9};\frac{10}{9} \right)$

Khi đó $d\left( d;{d}’ \right)\max \Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{O{O}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\frac{1}{9}\left( 13;12;11 \right)\Rightarrow \Delta :\frac{x}{13}=\frac{y}{12}=\frac{z}{11}.$

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho điểm $A\left( 0;1;-1 \right)$;đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$và $(P):x-2y+2z=0$ . Lập phương trình đường $\Delta $ đi qua A song song với (P) sao cho khoảng cách giữa $\Delta $ và d lớn nhất?

Lời giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với $(P):x-2y+2z=0$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;-2;2 \right).$

Khi đó ,$d\subset \left( Q \right)$ Gọi ${A}’\left( 1+t;-t;-t \right)\in d$ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên $d$.

Ta có: $\overrightarrow{A{A}’}\left( t+1;-t-1;-t+1 \right)\Rightarrow $$\overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=t+1+t+1+t-11=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{A{A}’}\left( \frac{2}{3};\frac{-2}{3};\frac{4}{3} \right)=\frac{2}{3}\left( 1;-1;2 \right)\Rightarrow $ $d{{\left( \Delta ;d \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\frac{2}{3}\left( 2;0;-1 \right)$.

Khi đó $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=2t \\  {} y=1 \\  {} z=-1-t \\ \end{array} \right..$

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$, gọi d là đường thẳng đi qua $A\left( 0;2;1 \right)$, song song với mặt phẳng $(P):2x+y+z+1=0$ sao cho khoảng cách giữa d và $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ lớn nhất. Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau: A. $M\left( 1;9;10 \right).$ B. $N\left( 1;-9;-8 \right).$ C. $P\left( 1;-9;-10 \right).$ D. $Q\left( 1;9;-8 \right).$

Lời giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với $(P):2x+y+z+1=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 2;1;1 \right).$

Khi đó ,$d\subset \left( Q \right)$ Gọi ${A}’\left( 1+t;2t;t \right)\in \Delta $ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên $\Delta $

Ta có: $\overrightarrow{A{A}’}\left( t+1;2t-2;t-1 \right)\Rightarrow $ $\overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=t+1+4t-4+t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{A{A}’}\left( \frac{5}{3};\frac{-2}{3};\frac{-1}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 5;-2;-1 \right)\Rightarrow $ $d{{\left( d;\Delta  \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=-\frac{1}{3}\left( 1;7;-9 \right)$.

Khi đó $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}\Rightarrow Q\left( 1;9;-8 \right)\in d$. Chọn D.

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d₁ và khoảng cách giữa d và d₂ lớn nhất

Phương pháp giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁ , suy ra d nằm trong (P). Khi đó quy về bài toán 3!

Bài tập cực trị oxy bài toán 1 – có đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Cho điểm $A\left( 0;-1;2 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$ . Lập phương trình đường $\Delta $ đi qua A cắt d sao cho a) Khoảng cách từ B(2;1;1) đến đường thẳng $\Delta $ là lớn nhất. b) Khoảng cách giữa $\Delta $ và ${d}’:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ là lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm $M\left( -1;0;2 \right)$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-1 \right)$, ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( -1;1;0 \right)$

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và $d\Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)$.

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{AM}; \right]=\left( 1;1;2 \right)$và $\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;-1 \right)$.

a) $d{{\left( B;\Delta  \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AB} \right]=-5\left( 1;-1;0 \right)\Rightarrow \Delta \left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-1-t \\  {} z=2 \\ \end{array} \right..$

b) Gọi ${A}’\left( 5+2t;-2t;t \right)$ là hình chiếu vuông góc của A trên ${d}’$.

Ta có: $\overrightarrow{A{A}’}\left( 5+2t;-2t+1;t-2 \right)\Rightarrow $ $\overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}’}}}}=4t+10+4t-2+t-2=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{A{A}’}\left( \frac{11}{3};\frac{7}{3};\frac{-8}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 11;7;-8 \right)$.

Khi đó $d{{\left( \Delta ;{d}’ \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\frac{2}{3}\left( 11;-15;2 \right)\Rightarrow \Delta :\frac{x}{11}=\frac{y+1}{-15}=\frac{z-2}{2}.$

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$, phương trình đường thẳng d đi qua $A\left( 0;-1;2 \right)$, cắt đường thẳng  ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$, sao cho khoảng cách giữa d và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ lớn nhất có một véc tơ chỉ phương là: A. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 29;-41;4 \right).$ B. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 29;-41;-4 \right).$ C. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 14;-20;2 \right).$ D. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 14;-20;-2 \right).$

Lời giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm $B\left( -1;0;2 \right)$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;1;0 \right)$

Gọi $\left( P \right)=\left( {{A}_{;}}{{d}_{1}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=-\left( 1;1;3 \right)\Rightarrow d\subset \left( P \right)$.

Gọi ${A}’\left( 2+5t;-2t;t \right)\in {{d}_{2}}$ là hình chiếu vuông góc của A trên ${{d}_{2}}$ta có:

$\overrightarrow{A{A}’}=\left( 5+2t;-2t+1;t-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=4t+10+4t-2+t-2=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{A{A}’}\left( \frac{11}{3};\frac{7}{3};\frac{-8}{3} \right)\Rightarrow d{{\left( d;{{d}_{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\frac{1}{3}\left( 29;-41;4 \right)$. Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$, phương trình đường thẳng d đi qua $A\left( 2;-1;2 \right)$, cắt đường thẳng  ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$, sao cho khoảng cách giữa d và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{-3}$ lớn nhất có một véc tơ chỉ phương là: A. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 33;8;25 \right).$ B. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 43;-8;-25 \right).$ C. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right).$ D. $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 41;68;-27 \right).$

Lời giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm $B\left( -1;-1;1 \right)$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;0;-1 \right)$

Gọi $\left( P \right)=\left( A;{{d}_{1}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 1;-1;-1 \right)\Rightarrow d\subset \left( P \right)$.

Gọi ${A}’\left( -1+t;-2t;-3t \right)\in {{d}_{2}}$ là hình chiếu vuông góc của A trên ${{d}_{2}}$ta có:

$\overrightarrow{A{A}’}=\left( t-3;-2t+1;-3t-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=t-3+4t-2+9t+6=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{14}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{A{A}’}=\left( \frac{-43}{14};\frac{8}{7};\frac{-25}{14} \right)=\frac{1}{14}\left( -43;16;-25 \right)\Rightarrow d{{\left( d;{{d}_{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\frac{1}{14}\left( 41;68;-27 \right).$ Chọn D.