Bài toán Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.
þ Tìm 2 điểm đối xứng:
Gọi $A\left( a;f\left( a \right) \right)$ và $B\left( b;f\left( b \right) \right)$ $\left( a\ne b \right)$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua $I\left( \alpha ;\beta \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=2\alpha \\ f\left( a \right)+f\left( b \right)=2\beta \\\end{array} \right..$
§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua trục tung $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-b \\ f\left( a \right)=f\left( b \right) \\\end{array} \right..$
þ Tìm 2 điểm $A,B$thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài $AB$ ngắn nhất
Bài toán: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left( C \right)$. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $\left( C \right)$ sao cho $A{{B}_{\min }}$.
Cách giải: Ta phân tích: $y=\frac{a}{c}+\frac{k}{cx+d}$ trong đó $y=\frac{-d}{c}$ là tiệm cận đứng của (C)
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-\frac{d}{c}0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=\frac{a}{c}-\frac{k}{c.\alpha } \\ {{y}_{2}}=\frac{a}{c}+\frac{k}{c.\alpha } \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$
$={{\left( \alpha +\beta \right)}^{2}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right)}^{2}}={{\left( \alpha +\beta \right)}^{2}}\left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta \right)}^{2}}} \right)$
Do ${{\left( \alpha +\beta \right)}^{2}}\ge 4\alpha \beta $ và $1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta \right)}^{2}}}}=2\frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha .\beta }$
Do đó $A{{B}^{2}}\ge 4\alpha .\beta .2\frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha .\beta }=\frac{8\left| k \right|}{c}$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \alpha =\beta \\ \frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha \beta }=1 \\\end{array} \right.$
Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+3\,\,\left( C \right)$.
a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O.$ b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục $Oy.$ |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $A\left( a;b \right)$ và $B\left( -a;-b \right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$.
Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $\left( C \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ -b={{\left( -a \right)}^{3}}-3{{\left( -a \right)}^{2}}-4\left( -a \right)+3 \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ -b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ 0=-6{{a}^{2}}+6 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=1;b=-3 \\ a=-1;b=3 \\\end{array} \right.$
Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $A\left( 1;-3 \right):B\left( -1;3 \right)$ hoặc ngược lại.
b) Gọi $A\left( a;b \right)$ và $B\left( -a;b \right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua trục $Oy$.
Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $\left( C \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ b={{\left( -a \right)}^{3}}-3{{\left( -a \right)}^{2}}-4\left( -a \right)+3 \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \\ 0=2{{a}^{3}}-8a \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=b=0\Rightarrow A\equiv B\,\,\left( loai \right) \\ a=2;b=-9 \\ a=-2;b=-9 \\\end{array} \right.$
Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $A\left( 2;-9 \right);B\left( -2;-9 \right)$ hoặc ngược lại.
| Bài tập 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm $A,B$ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{2x-2}$ sao cho $AB$ ngắn nhất. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{x-3}{2x-2}=\frac{\frac{1}{2}\left( 2x-2 \right)-2}{2x-2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x-1}$
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<10 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a} \\ {{y}_{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{b} \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$
$={{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{{{\left( ab \right)}^{2}}} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab \\ 1+\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\frac{2}{ab} \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}\ge 4ab.\frac{2}{ab}=8\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{2}.$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=b \\ \frac{1}{ab}=1 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow A\left( 0;\frac{3}{2} \right),B\left( 2;-\frac{1}{2} \right).$
| Bài tập 3: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm $I\left( -1;3 \right)$.
A. $\left( 0;2 \right)$ và $\left( -2;4 \right).$ B. $\left( -1;0 \right)$ và $\left( -1;6 \right).$ C. $\left( 1;4 \right)$ và $\left( -3;2 \right).$ D. Không tồn tại. |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;-{{a}^{3}}+3a+2 \right);B\left( b;-{{b}^{3}}+3b+2 \right)\,\,\left( a\ne b \right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm $I\left( -1;3 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=2{{x}_{1}}=-2 \\ -{{a}^{3}}+3a+2-{{b}^{3}}+3b+2=2{{y}_{1}}=6 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \\ -\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+3\left( a+b \right)=2 \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \\ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=-8 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \\ {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)=-8 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \\ ab=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0;b=-2 \\ a=-2;b=0 \\\end{array} \right.$
Vậy $\left( 0;2 \right)$ và $\left( -2;4 \right)$ là cặp điểm cần tìm. Chọn A.
| Bài tập 4: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+3x-\frac{11}{3}$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.
A. $\left( 3;-\frac{16}{3} \right)$ hoặc $\left( -3;-\frac{16}{3} \right).$ B. $\left( 3;\frac{16}{3} \right)$ hoặc $\left( -3;\frac{16}{3} \right).$ C. $\left( \frac{16}{3};3 \right)$ hoặc $\left( -\frac{16}{3};3 \right).$ D. Không tồn tại. |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;\frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3} \right)$ và $B\left( b;\frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-\frac{11}{3} \right)\,\,\left( a\ne b \right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối xứng nhau qua trục tung.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-b \\ \frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3}=\frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-\frac{11}{3} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-b \\ \frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3}=\frac{{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}-3a-\frac{11}{3} \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-b \\ \frac{-2{{a}^{3}}}{3}-6a=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-b \\ \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0 \\ a=\pm 3 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right.$
Với $a=0\Rightarrow b=0\Rightarrow A\equiv B$ (loại).
Với $a=\pm 3\Rightarrow b=\mp 3\Rightarrow A\left( 3;\frac{16}{3} \right);B\left( -3;\frac{16}{3} \right)$. Chọn B.
| Bài tập 5: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{2}}+4x+2$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục tung.
A. Không tồn tại. B. $A\left( 2;2 \right)$ và $B\left( -2;2 \right)$. C. $A\left( -1;-1 \right)$ và $B\left( 1;-1 \right).$ D. $A\left( 3;-13 \right)$ và $B\left( -3;-13 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \\ B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right) \\\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{A}}=-{{x}_{B}} \\ {{y}_{A}}={{y}_{B}} \\\end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{A}}\ne 0.$
Khi đó ta có $-x_{A}^{2}+4{{x}_{A}}+2=-{{\left( -{{x}_{A}} \right)}^{2}}+4\left( -{{x}_{A}} \right)+2\Leftrightarrow 4{{x}_{A}}=-4{{x}_{A}}\Leftrightarrow {{x}_{A}}=0\left( L \right).$
Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.
| Bài tập 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $\left( C \right):y=\frac{3x+6}{x+1}$ các điểm $A,B$ để độ dài $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A. $2\sqrt{5}.$ B. $2\sqrt{2}.$ C. $2\sqrt{6}.$ D. $3\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{3x+6}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)+3}{x+1}=3+\frac{3}{x+1}$
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-10 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=3-\frac{3}{a} \\ {{y}_{2}}=3+\frac{3}{b} \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$
$={{\left( a+b \right)}^{2}}+9{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\left( 1+\frac{9}{{{\left( ab \right)}^{2}}} \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab \\ 1+\frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\frac{6}{ab} \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}\ge 4ab.\frac{6}{ab}=24\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{6}.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=b \\ \frac{9}{ab}=1 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=b=3$. Chọn C.
