• Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Bạn đang ở:Trang chủ / Tổng ôn Toán 12 / Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

16/04/2022 by admin Để lại bình luận

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải bài tập có đáp án

Phương pháp giải bài toán tương giao của hàm bậc 4 trùng phương.

Xét sự tương giao đồ thị $\left( C \right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right)$ và trục hoành có phương trình $y=0$

Phương trình hoành độ giao điểm $\left( C \right)$ và trục hoành là $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\left( 1 \right)$

Bài toán liên quan đến số giao điểm

Số giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1).

Đặt $t={{x}^{2}}\ge 0$ thì (1) thành $a{{t}^{2}}+bt+c=0(2)$

+) $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{b}{a}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=\frac{c}{a}>0 \\ \end{array} \right.$

+) $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.

$\left( C \right)$ cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu.

+) $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại điểm duy nhất $\Leftrightarrow (2)$có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm.

+) $\left( C \right)$ không cắt trục hoành $\Leftrightarrow (2)$ vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm

Một số bài toán có thể thay trục hoành thành $d:y=m$ hoặc $(P):y=m{{x}^{2}}+n$ , phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên.

Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm

Tìm điều kiện để $(C):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{b}{a}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=\frac{c}{a}>0 \\ \end{array} \right.$ (*)

Bước 2: Giả sử ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$ khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$, xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số.

Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc $AB=BC=CD$ khi: $\sqrt{{{t}_{1}}}-\sqrt{{{t}_{2}}}=2\sqrt{{{t}_{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}=3\sqrt{{{t}_{2}}}\Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}$

Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 4, hàm trùng phương có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+5-2m$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:

A. 9 B. 6 C. 7 D. 8

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+5-2m=0$

Đặt $t={{x}^{2}},t\ge 0\Rightarrow PT\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t+5-2m=0\left( * \right)$

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'(*)>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 16-(5-2m)>0 \\  {} 8>0 \\  {} 5-2m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -\frac{11}{2}<m<\frac{5}{2}$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ Có 8 giá trị của m. Chọn D.

Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2\left( m-2 \right){{x}^{2}}+4$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ , với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt Ox tại bốn điểm phân biệt

A. $T=\left( 0;2 \right)$  B. $T=\left( 4;+\infty  \right)$ C. $T=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right)$              D. $T=\left( -\infty ;0 \right)$

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{4}}+2\left( m-2 \right){{x}^{2}}+4=0\xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}+2\left( m-2 \right)t+4=0(*)$

Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hoành độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt $t>0\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'(*)>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( m-2 \right)}^{2}}-4>0 \\  {} -2(m-2)>0 \\  {} 4>0 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow m<0\Rightarrow T=\left( -\infty ;0 \right)$ . Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1\left( C \right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=20$. Tổng các phần tử của tập hợp (S) là:

A. 1 B. – 1  C. 2 D. – 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1=0\left( 1 \right)$

Đặt $t={{x}^{2}}:\left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}-2mt+m+1=0\left( 2 \right)$

Để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’={{m}^{2}}-m-1>0 \\  {} S=2m>0 \\  {} P=m+1>0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ . Theo Viet: $\left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m+1 \\ \end{array} \right.$

Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$

Ta có: giả thiết bài toán $\Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{2}^{2}+t_{1}^{2}=20\Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{t}_{1}}{{t}_{2}}=10$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2m-2=10\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-m-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=2 \\  {} m=-3 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp (*) $\Rightarrow m=2$ là giá trị cần tìm. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-(2m+1){{x}^{2}}+2\left( C \right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}^{4}}+\frac{1}{x_{2}^{4}}+\frac{1}{x_{3}^{4}}+\frac{1}{x_{4}^{4}}=\frac{5}{2}$

Số phần tử của tập hợp S là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-(2m+1){{x}^{2}}+2=0\left( 1 \right)$

Đặt $t={{x}^{2}}:\left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}-(2m+1)t+2=0\left( 2 \right)$

Để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-8>0 \\  {} S=2m+1>0 \\  {} P=2>0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ . Theo Viet: $\left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+1 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2 \\ \end{array} \right.$

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$ ta có: $\frac{1}{t_{1}^{2}}+\frac{1}{t_{2}^{2}}+\frac{1}{t_{3}^{2}}+\frac{1}{t_{4}^{2}}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{t_{1}^{2}}+\frac{2}{t_{2}^{2}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{2\left( t_{1}^{2}+t_{2}^{2} \right)}{t_{1}^{2}.t_{2}^{2}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=5\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{t}_{1}}{{t}_{2}}=5\Leftrightarrow {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=1 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp (*) $\Rightarrow m=1$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Bài tập 5: Cho hàm số: $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+4\left( C \right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $\left( C \right)$ cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|+\left| {{x}_{3}} \right|+\left| {{x}_{4}} \right|=8$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 5 B. 12 C. 17 D. – 17

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+4=0\left( 1 \right)$

Đặt $t={{x}^{2}}:\left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}-2mt+m+4=0\left( 2 \right)$

Để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’={{m}^{2}}-m-4>0 \\  {} S=2m>0 \\  {} P=m+4>0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ . Theo Viet: $\left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m+4 \\ \end{array} \right.$

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$

Ta có: giả thiết $\Leftrightarrow \left| -\sqrt{{{t}_{1}}} \right|+\left| -\sqrt{{{t}_{2}}} \right|+\left| \sqrt{{{t}_{2}}} \right|+\left| \sqrt{{{t}_{1}}} \right|=8\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}} \right)=8\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}}=4$

$\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+2\sqrt{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{m+4}=16-2m\Leftrightarrow \sqrt{m+4}=8-m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 8 \\  {} {{m}^{2}}-17m+60=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng $d:y=-m+2$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là

A. $\left\{ \frac{34}{25};\frac{7}{4} \right\}$  B. $\left\{ \frac{34}{25} \right\}$

C. $\left\{ \frac{7}{4} \right\}$ D. $\left\{ 1;2 \right\}$

Lời giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$

PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=-m+2\xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-2t+m-1=0\left( * \right)$

Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Suy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'(*)>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m+1>0 \\  {} 2>0 \\  {} m-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<m{{t}_{2}}$, 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$

Theo đề bài ta có $-\sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}}=-2\sqrt{{{t}_{2}}}\Rightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}=3\sqrt{{{t}_{2}}}\Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-1 \\  {} {{t}_{1}}=9{{t}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}=\frac{9}{5};{{t}_{2}}=\frac{1}{5} \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-1 \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow m-1=\frac{9}{25}\Leftrightarrow m=\frac{34}{25}$ . Chọn B.

 

Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2(2m+1){{x}^{2}}+4{{m}^{2}}\left( C \right)$. Các giá trị của tham số thực m để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=6$là

A. $m\ge -\frac{1}{4}$  B. $m=-\frac{1}{4}$ C. $m=1$ D. $m=\frac{1}{4}$

Lời giải chi tiết

PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là ${{x}^{4}}-2(2m+1){{x}^{2}}+4{{m}^{2}}=0\xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-2(2m+1)t+4{{m}^{2}}=0\left( * \right)$

Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’>0 \\  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{(2m+1)}^{2}}-4{{m}^{2}}>0 \\  {} 2(2m+1)>0 \\  {} 4{{m}^{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>-\frac{1}{4} \\  {} m\ne 0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}=x_{1}^{2}=x_{2}^{2} \\  {} {{t}_{1}}=x_{3}^{2}=x_{4}^{2} \\ \end{array} \right.$

Khi đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2({{t}_{1}}+{{t}_{2}})=4\left( 2m+1 \right)=6\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}  {} m>-\frac{1}{4} \\  {} m\ne 0 \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.

Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-(4m+2){{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1\left( C \right)$. Có bao nhiêu giá trị của m để $\left( C \right)$ chia trục hoành thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-(4m+2){{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1=0\left( 1 \right)$

Đặt $t={{x}^{2}}:\left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}-(4m+2)t+2{{m}^{2}}+1=0\left( 2 \right)$

Để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1>0 \\  {} S=\left( 4m+2 \right)>0 \\  {} P=2{{m}^{2}}+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2{{m}^{2}}+4m>0 \\  {} 2m+1>0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$ .

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4m+2 \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$

Khi đó PT (1) có 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: $-\sqrt{{{t}_{1}}};-\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{2}}};\sqrt{{{t}_{1}}}$

Ta có: $AB=CD=\sqrt{{{t}_{1}}}-\sqrt{{{t}_{2}}};BC=2\sqrt{{{t}_{2}}}\Rightarrow AB=BC=CD\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{1}}}=3\sqrt{{{t}_{2}}}\Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}$

Giải hệ: $\left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4m+2 \\  {} {{t}_{1}}=9{{t}_{2}} \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{t}_{1}}=9.\frac{2m+1}{5},{{t}_{2}}=\frac{2m+1}{5} \\  {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=25\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)$

$\Leftrightarrow 7{{m}^{2}}-18m+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=2 \\  {} m=\frac{4}{7} \\ \end{array} \right.\left( t/m(*) \right)$ . Vậy $m=2,m=\frac{4}{7}$  là giá trị cần tìm. Chọn C.

Thuộc chủ đề:Tổng ôn Toán 12 Tag với:TUONG GIAO DO THI - HAM SO - TOAN 12

Bài liên quan:
  1. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết
  2. Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất (cách giải và bài tập có đáp án chi tiết)
  3. Tổng hợp lý thuyết bài tập tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị có đáp án chi tiết (cách giải) toán lớp 12

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2022.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.