Bài toán tìm điểm m thuộc mặt phẳng sao cho MA+MB min nhỏ nhất hoặc MA-MB lớn nhất
Dạng tổng quát
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$hoặc ${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$
Phương pháp giải:
+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P).
+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó
$MA+MB=M{A}’+MB\ge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng hay $M={A}’B\cap (P)$ .
Bài toán tìm ${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$ , ta có $\left| MA-MB \right|\le AB\Rightarrow M$ là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).
+) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$ phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ $\Rightarrow $M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).
Bài tập trắc nghiệm cực trị hình không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ , cho 2 điểm $A\left( -1;3;-2 \right);B\left( -3;7;-18 \right)$và mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. |
Lời giải chi tiết:
Đặt $f=2x-y+z+1=0$ ta có: $f\left( A \right).f\left( B \right)>0\Rightarrow $A,B cùng phía với mặt phẳng (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua $(P):2x-y+z+1=0$$\Rightarrow A{A}’:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+2}{1}$
Gọi$I\left( -1+2t;3-t;-2+t \right)=A{A}’\cap (P)$ suy ra $2(-1+2t)-(3-t)-2+t+1=0$
$\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I(1;2;-1)\Rightarrow A(3;1;0)$.
Khi đó $MA+MB=M{A}’+MB\ge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng ${A}’B\left\{ \begin{array} {} x=3+u \\ {} y=1-u \\ {} z=3u \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}’B\cap (P)\Rightarrow M(3+u;1-u;3u)$
Giải $M\in (P)\Rightarrow u=-1\Rightarrow M(2;2;-3)$.
| Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-2=0$và 2 điểm $A\left( 2;3;0 \right);B\left( 2;-1;2 \right)$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| MA-MB \right|$ lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu $f=x-y+2z-2=0$ . Ta có $f\left( A \right).f\left( B \right)<0$ nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có: $A{A}’:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{2}$
Khi đó $I=A{A}’\cap (P)\Rightarrow (2+t;3-t;2t)\Rightarrow t+2+t-3+4t-2=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow I\left( \frac{5}{2};\frac{5}{2};1 \right)\Rightarrow {A}'(3;2;2)$
Lại có $\left| MA-MB \right|=\left| M{A}’-MB \right|\le {A}’B$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Khi đó ${A}’B\left\{ \begin{array} {} x=3+u \\ {} y=2+3u \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}’B\cap (P)\Rightarrow M\left( \frac{9}{2};\frac{13}{2};2 \right)$.
| Bài tập 3: : Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho điểm $A\left( 3;1;0 \right);B\left( -9;4;9 \right)$và mặt phẳng (P) có phương trình $(P):2x-y+z+1=0$. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| IA-IB \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a +b +c bằng
A. $a+b+c=22$. B. $a+b+c=-4$. C. $a+b+c=-13$. D. $a+b+c=13$. |
Lời giải chi tiết:
Đặt $f\left( x;y;z \right)=2x-y+z+1\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} f({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}})=6 \\ {} f({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})=-12 \\ \end{array} \right.\Rightarrow f(A).f(B)=-72<0$.
Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi ${B}’$ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P) $\Rightarrow \left( B{B}’ \right):\frac{x+9}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-9}{1}$.
Điểm $H\in (B{B}’)\Rightarrow H\left( 2t-9;4-t;t+9 \right)\in \left( P \right)\to 2(2t-9)-(4-t)+t+9+1=0\Rightarrow t=2$
Ta có $\left| IA-IB \right|=\left| IA-I{B}’ \right|\le {A}’B\Rightarrow {{\left| IA-IB \right|}_{\max }}=A{B}’$$\Rightarrow $I là giao điểm của $A{B}’$và mặt phẳng (P).
Lại có $\overrightarrow{A{B}’}=\left( -4;-1;13 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{(A{B}’)}}}=(4;1;-13)\Rightarrow (A{B}’):\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-13}$.
Điểm $I\in (A{B}’)\Rightarrow I\left( 4t+3;t+1;-13t \right)\in \left( P \right)\to I(7;2;-13)\Rightarrow a+b+c=-4$. Chọn B
| Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x-y+2z+2=0$và 2 điểm $A\left( 0;1;-2 \right);B\left( 2;0;-3 \right)$. Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của T= a+b+c.
A. $T=-5$. B. $T=-\frac{1}{5}$. C. $T=-1$. D. $T=\frac{1}{5}$. |
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu $f=x-y+2z+2$ ta có $f\left( A \right).f\left( B \right)>0\Rightarrow $ nên A,B nằm cùng phía với (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Khi đó$MA+MB=M{A}’+M{B}’\ge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Phương trình $A{A}’:\frac{x}{4}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{2}$. Gọi $H=\text{A{A}’}\cap \left( P \right),H\left( t;1-t;-2+2t \right)$
Cho $H\in \left( P \right)\Rightarrow t+t-1+4t-4+2=0\Leftarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow H\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};-1 \right)\Rightarrow {A}'(1;0;0)$.
Khi đó ${A}’B:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=0 \\ {} z=-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}’B\cap \left( P \right)\Rightarrow M\left( \frac{8}{5};0;-\frac{9}{5} \right)\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{5}$. Chọn B.
