Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị kết hợp với đặt ẩn phụ
Bài toán: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biện luận số nghiệm của phương trình $f\left[ u\left( x \right) \right]=m$.
Phương pháp giải bài toán biện luận số nghiệm của phương trình
§ Bước 1: Đặt $t=u\left( x \right)$ ta cần xác định miền giá trị của $t$ và tương ứng với mỗi giá trị của $t$ có bao nhiêu giá trị của $x$.
(Ta có thể lập bảng biến thiên hàm số $t=u\left( x \right)$ để nhận xét và tìm miền của $t$).
§ Bước 2: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình $f\left( t \right)=m$ từ đó suy ra số nghiệm của phương trình $f\left[ u\left( x \right) \right]=m$.
Bài tập vận dụng khó về biện luận số nghiệm của phương trình có đáp án
| Bài tập 1: [Đề thi tham khảo năm 2018] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right)=m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là A. $\left[ -1;3 \right)$ B. $\left( -1;1 \right)$ C. $\left( -1;3 \right)$ D. $\left[ -1;1 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right]$. Khi đó $f\left( \sin x \right)=m\Leftrightarrow f\left( t \right)=m$.
Dựa vào đồ thị hàm số, để $f\left( t \right)=m$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]$ $\Leftrightarrow -1\le m<1$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$và có đồ thị như hình vẽ bên.
Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt{x}+\sqrt{1-x} \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;1 \right]$ là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow {{t}^{2}}+2\sqrt{x\left( 1-x \right)}\left( t>0 \right)$
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: $\sqrt{x\left( 1-x \right)}\le \frac{x+1-x}{2}=\frac{1}{2}$
Do đó $1\le {{t}^{2}}\le 2\Rightarrow 1\le t\le \sqrt{2}$. Vậy $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$
Ta có: $f\left( 1 \right)=-1,\,\,f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-5$
Kết hợp đồ thị suy ra phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;\sqrt{2} \right]$ thì $m\in \left[ 2\sqrt{2}-5;-1 \right]$
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m\in \left\{ -2;-1 \right\}$ để phương trình đã cho có nghiệm. Chọn A.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $-{{\left( 1-\sin x \right)}^{4}}+2{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}=m$ có nghiệm là: A. 2 B. 8 C. 3 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=1-\sin x$ ta có: $\sin x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$
Ta có: $f\left( 2 \right)=-8$. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $t\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -8;1 \right]$
Vậy phương trình $-{{\left( 1-\sin x \right)}^{4}}+2{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}=m$ có nghiệm khi $m\in \left[ -8;1 \right]$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 9 giá trị của $m$. Chọn D.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm của phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=0$ là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow f\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=f\left( x \right)=a \\ {} t=f\left( x \right)=b \\ {} t=f\left( x \right)=c \\ \end{array} \right.$ dựa vào đồ thị ta có: $a\in \left( -2;-1 \right),\,\,b\in \left( 0;1 \right),\,\,c\in \left( 1;2 \right)$
Khi đó dựa vào đồ thị ta lại có phương trình $f\left( x \right)=a$ có 1 nghiệm, phương trình $f\left( x \right)=b$ và phương trình $f\left( x \right)=c$ đều có 3 nghiệm.
Do đó phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=0$ có 7 nghiệm. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$. Số nghiệm của phương trình ${g}’\left( x \right)=0$ là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x \right).{f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {f}’\left( x \right)=0 \\ {} {f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0 \\ \end{array} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {f}’\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-2,\,\,x=0$.
Lại có: ${f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=-2 \\ {} f\left( x \right)=0 \\ \end{array} \right.$
Phương trình $f\left( x \right)=-2$ có 2 nghiệm $x=-2,\,\,x>0$ (nghiệm $x=-2$ bị lặp).
Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình ${g}’\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm phân biệt. Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=m$ có nghiệm $x\in \left[ -1;1 \right]$. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với $x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 1;2 \right]$
Đặt $t=f\left( x \right)$, xét phương trình $f\left( t \right)=m$ với $t\in \left[ 1;2 \right]$
Dựa vào đồ thị hàm số với $t\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -7;2 \right]$
Do đó phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=m$ có nghiệm $x\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow m\in \left[ -7;2 \right]$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 10 giá trị của $m$. Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị như hình vẽ.
Tìm $m$ để phương trình $\frac{\sin x+1}{\sin x-1}=m$ có nghiệm $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right)$ A. $m\in \left[ -1;0 \right]$ B. $m\in \left[ -1;0 \right)$ C. $m\in \left[ -1;+\infty \right)$ D. $m\in \left( -1;0 \right]$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right)\Rightarrow \sin x\in \left[ -1;0 \right)$. Đặt $t=\sin x\Rightarrow \frac{t+1}{t-1}=m$ với $t\in \left[ -1;0 \right)$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $t\in \left[ -1;0 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -1;0 \right]$. Chọn D.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
Số nghiệm của phương trình ${f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0$ là: A. 4 B. 7 C. 6 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$ ta có: ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x \right).{f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {f}’\left( x \right)=0 \\ {} {f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0 \\ \end{array} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {f}’\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm 1$.
Lại có: ${f}’\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} f\left( x \right)=-1 \\ {} f\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$Phương trình $f\left( x \right)=-1$ có một nghiệm duy nhất
Phương trình $f\left( x \right)=1$ có 3 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình ${g}’\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm phân biệt. Chọn C.
