Tổng hợp lý thuyết bài toán tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số toán lớp 12

Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

þ Tìm điểm cố định:

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đi qua.

Khi đó ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ biến đổi phương trình về dạng $m.\left[ g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \right]+h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0  \\   h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0  \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Tọa độ điểm M.

þ Tìm điểm có tọa độ nguyên:

Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right):y=f\left( x \right)$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   y=f\left( x \right)  \\   x\in \mathbb{Z}  \\   y\in \mathbb{Z}  \\\end{array} \right.$

Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định của $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-1=0  \\   x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=\pm 1  \\   y_{0}^{2}=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right)$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow 3m\left( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0  \\   {{y}_{0}}+1=x_{0}^{3}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1  \\\end{array} \right.$ 

Vậy $M\left( 1;0 \right),N\left( 0;-1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+2\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right)-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0  \\   {{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2  \\\end{array} \right.\left( * \right)$ 

Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$ 

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-1=0  \\   x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.$ 

Khi đó $A\left( 1;0 \right),B\left( -1;0 \right)\Rightarrow AB=2$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{2x-2}{x+1}=\frac{2\left( x+1 \right)-4}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$ 

Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 1 \right)=\left\{ \pm 1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x+1=-1  \\   x+1=1  \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-2  \\   x=0  \\\end{array} \right.$

Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ là $M\left( -2;4 \right),N\left( 0;2 \right)$

Khi đó $MN=2\sqrt{2}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+\frac{9}{x+3}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-4  \\   x=-6  \\   x=-2  \\   x=0  \\   x=-12  \\   x=6  \\\end{array} \right.$ 

Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $\left( C \right)$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+7}{2x-1}\Rightarrow 2y=\frac{6x+14}{2x-1}=\frac{3\left( 2x-1 \right)+17}{2x-1}=3+\frac{17}{2x-1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$\left( 17 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 17 \right\}$ Suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}   2x-1=-17  \\   2x-1=-1  \\   2x-1=1  \\   2x-1=17  \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-8\Rightarrow y=1  \\   x=0\Rightarrow y=-7  \\   x=1\Rightarrow y=10  \\   x=9\Rightarrow y=2  \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.