Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
þ Tìm điểm cố định:
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đi qua.
Khi đó ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ biến đổi phương trình về dạng $m.\left[ g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \right]+h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0$
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0 \\ h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0 \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Tọa độ điểm M.
þ Tìm điểm có tọa độ nguyên:
Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right):y=f\left( x \right)$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=f\left( x \right) \\ x\in \mathbb{Z} \\ y\in \mathbb{Z} \\\end{array} \right.$
Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án
|
Bài tập 1: Cho hàm số $\left( C \right):y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là A. $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right).$ B. $\left( 1;0 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$ C. $\left( -2;1 \right)$ và $\left( -2;3 \right).$ D. $\left( 2;1 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định của $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \\ x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=\pm 1 \\ y_{0}^{2}=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right)$. Chọn A.
|
Bài tập 2: Gọi các điểm $M,N$ là các điểm cố định mà đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx-1\left( C \right)$ luôn đi qua. Tính độ dài $MN$. A. $MN=1.$ B. $MN=\sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow 3m\left( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0 \\ {{y}_{0}}+1=x_{0}^{3} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1 \\\end{array} \right.$
Vậy $M\left( 1;0 \right),N\left( 0;-1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2}$. Chọn B.
|
Bài tập 3: Cho hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2\left( C \right)$. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho là A. $y=-2x+2.$ B. $y=2x+2.$ C. $y=-2x-2.$ D. $y=-2x-1.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+2\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right)-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0 \\ {{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2 \\\end{array} \right.\left( * \right)$
Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$. Chọn A.
|
Bài tập 4: Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$ luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$ A. $AB=2\sqrt{2}.$ B. $AB=2.$ C. $AB=1.$ D. $AB=4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \\ x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.$
Khi đó $A\left( 1;0 \right),B\left( -1;0 \right)\Rightarrow AB=2$. Chọn B.
|
Bài tập 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $2.$ B. $4.$ C. $5.$ D. $6.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{2x-2}{x+1}=\frac{2\left( x+1 \right)-4}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$
Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$. Chọn D.
|
Bài tập 6: Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}\left( C \right)$ sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. Tính độ dài $MN$ A. $MN=2\sqrt{2}.$ B. $MN=\sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 1 \right)=\left\{ \pm 1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x+1=-1 \\ x+1=1 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-2 \\ x=0 \\\end{array} \right.$
Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ là $M\left( -2;4 \right),N\left( 0;2 \right)$
Khi đó $MN=2\sqrt{2}$. Chọn A.
|
Bài tập 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $6.$ B. $7.$ C. $5.$ D. $8.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+\frac{9}{x+3}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-4 \\ x=-6 \\ x=-2 \\ x=0 \\ x=-12 \\ x=6 \\\end{array} \right.$
Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $\left( C \right)$. Chọn A.
|
Bài tập 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+7}{2x-1}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $3.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=\frac{3x+7}{2x-1}\Rightarrow 2y=\frac{6x+14}{2x-1}=\frac{3\left( 2x-1 \right)+17}{2x-1}=3+\frac{17}{2x-1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$\left( 17 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 17 \right\}$ Suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-1=-17 \\ 2x-1=-1 \\ 2x-1=1 \\ 2x-1=17 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-8\Rightarrow y=1 \\ x=0\Rightarrow y=-7 \\ x=1\Rightarrow y=10 \\ x=9\Rightarrow y=2 \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.
