Bài tập chọn lọc cực trị khoảng cách liên quan đến mặt cầu có đáp án
Dưới đây là một số bài tập liên quan đến mặt cầu có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 0;1;1 \right);B\left( 0;0;-1 \right);C\left( 1;2;-1 \right)D\left( -1;-2;-3 \right)$và mặt cầu (S) có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ . Tìm điểm D trên mặt phẳng (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;0;-1 \right)$ và bán kính R = 2.
Ta có: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}d\left( D;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow d\left( D;\left( ABC \right) \right)$ lớn nhất
Gọi ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$ là đường kính của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Khi đó$\Leftrightarrow d{{\left( D;\left( ABC \right) \right)}_{\max }}\Leftrightarrow D$ trùng với 1 trong 2 điểm ${{D}_{1}}$ hoặc ${{D}_{2}}$
Đường thẳng ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$qua $I\left( 1;0;-1 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -2;2;-1 \right)$
Phương trình mặt phẳng$\left( ABC \right):2x-2y+z+1=0$.
Suy ra ${{D}_{1}}{{D}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2t \\ {} z=-1+t \\ \end{array} \right.$, tọa độ ${{D}_{1}};{{D}_{2}}$là nghiệm của hệ phương trình
${{D}_{1}}{{D}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2t \\ {} z=-1+t \\ {} {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} t=\frac{2}{3} \\ {} t=\frac{-2}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{D}_{1}}\left( \frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3} \right);{{D}_{1}}\left( -\frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{5}{3} \right)$
Do $d\left( {{D}_{1}};\left( ABC \right) \right)>d\left( {{D}_{2}};\left( ABC \right) \right)\Rightarrow D\left( \frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3} \right)$ là điểm cần tìm.
| .Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng$(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Độ dài MB là:
A. $MB=\sqrt{5}.$ $MB=\sqrt{5}.$ B. $MB=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ C. $MB=\frac{\sqrt{41}}{2}.$ D. $MB=\sqrt{41}.$ |
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$và vuông góc $(Q)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=2+4t \\ {} z=-3-4t \\ \end{array} \right..$
Vì $B=d\cap \left( P \right)\Rightarrow B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)\in \left( P \right)$ suy ra $t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{array} {} M\in \left( P \right) \\ {} MA\bot MB \\ \end{array} \right.\Rightarrow M$thuộc đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$và mặt cầu $\left( S \right)$ (tâm I, đường kính AB).
Phương trình mặt cầu$\left( S \right)$ là ${{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=\frac{41}{4}$ và $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -\frac{1}{2} \right)+2.0+1+9 \right|}{3}=3$.
Khi đó $BK=\sqrt{I{{B}^{2}}-{{d}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, với K là tâm đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$và $\left( S \right)$.
Để MB lớn nhất$\Leftrightarrow $ MB là đường kính đường tròn giao tuyến$\Rightarrow MB=2BK=\sqrt{5}$. Chọn A.
| Bài tập 3: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$cắt $\left( P \right)$ tại điểm B. Điểm M thay đổi trong $\left( P \right)$sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc $90{}^\circ $. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $J\left( -3;2;7 \right).$ B. $K\left( 3;0;15 \right).$ C. $H\left( -2;-1;3 \right).$ D. $I\left( -1;-2;3 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+3}{-4}$. Vì $B\in d\Rightarrow B\left( 3b+1;4b+2;-4b-3 \right).$
Mà$B=d\cap \left( P \right)$ suy ra $2\left( 3b+1 \right)+2\left( 4b+2 \right)+4b+3+9=0\Leftrightarrow b=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right).$
Gọi là hình chiếu của A trên $\left( P \right)$$\Rightarrow A{A}’:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{-1}\Rightarrow {A}’\left( -3;-2;-1 \right).$
Theo bài ra, ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}\le A{{B}^{2}}-A{{{A}’}^{2}}={A}'{{B}^{2}}.$
Độ dài MB lớn nhất khi $M\equiv {A}’\Rightarrow MB:\left\{ \begin{array} {} x=-2+t \\ {} y=-2 \\ {} z=1+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( -1;-2;3 \right)\in MB$. Chọn D.
| Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$có tâm$J(2;1;5)$ bán kính bằng 2. $\left( P \right)$là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến $\left( P \right)$. Giá trị M + m bằng
A. 8. B. $8\sqrt{3}.$ C. 9 D. $\sqrt{15}.$ |
Lời giải chi tiết:
Do $IJ=4>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử $IJ$cắt $\left( P \right)$tại M ta có $\frac{MJ}{MI}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2\Rightarrow $J là trung điểm của MI
Suy ra $M\left( 2;1;9 \right)$ . Khi đó $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
Mặt khác $d\left( I;\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \frac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;b=\sqrt{3}\cot t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\frac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cot t+9 \right|}{2}$
Mặt khác $\begin{array} {} -\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cot t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \frac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{0}}\le \frac{\sqrt{15}+9}{2}\Rightarrow M+m=9. \\ {} \\ \end{array}$ Chọn C.
| Bài tập 5: (Đề thi thử nghiệm Bộ GD{}ĐT 2017) Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$ . Giả sử điểm $M\in \left( P \right)$và $N\in \left( S \right)$sao cho $\overrightarrow{MN}$cùng phương với véc tơ $\overrightarrow{u}\left( 1;0;1 \right)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A. $MN=3.$ B. $MN=1+2\sqrt{2}.$ C. $MN=3\sqrt{2}.$ D. $MN=14.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $(P):x-2y+2z-3=0$và $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$
Gọi $\overrightarrow{MN}=k\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\frac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{MN;\left( P \right)}=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $\left( P \right)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;\left( P \right) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$ . Chọn C.
| Bài tập 6: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+y-z-3=0$ và hai điểm $A\left( 1;1;1 \right);B\left( -3;-3;-3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
A. $R=4.$ B. $R=6.$ C. $R=\frac{2\sqrt{33}}{3}.$ D. $R=\frac{2\sqrt{11}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng AB là: $\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=t \\ {} z=t \\ \end{array} \right..$
Suy ra $M\left( 3;3;3 \right)$ là giao điểm của AB và mặt phẳng $\left( P \right)$khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ .
Theo tính chất phương tích ta có: $MA.MB=M{{C}^{2}}\Rightarrow M{{C}^{2}}=2\sqrt{3}.6\sqrt{3}=36$
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm $M\left( 3;3;3 \right)$ bán kính $R=6.$ . Chọn B.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+18=0$ , M là điểm di chuyển trên mặt phẳng $\left( P \right)$; N là điểm nằm trên tia OM sao cho $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ N đến mặt phẳng $\left( P \right)$.
|
Lời giải chi tiết:
Gọi $N\left( a;b;c \right)$ thì $ON=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
Nên $OM=\frac{24}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\overrightarrow{ON}=\frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\left( a;b;c \right)$
Lại có $M\in \left( P \right)\Rightarrow 24\left[ \frac{a}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\frac{2b}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\frac{2c}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)} \right]+18=0$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{4a}{3}+\frac{8b}{3}+\frac{8c}{3}=0\Rightarrow N\in \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{4x}{3}+\frac{8y}{3}+\frac{8z}{3}=0;$
$\Rightarrow I\left( \frac{-2}{3};\frac{-4}{3};\frac{-4}{3} \right);R=2$. Khi đó $d{{\left( N;\left( P \right) \right)}_{\min }}=d\left( N;\left( P \right) \right)-R=2$. Chọn C.
| Bài tập 8: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ . Điểm $M\left( 1;0;1 \right)$ di động trên $\left( S \right)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| 2x+2y-z+16 \right|.$
A. 6. B. 3. C. 24. D. 2. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu $\left( S \right)$có tâm$I\left( 2;-1;3 \right)$ , bán kính R = 3. Xét mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+16=0$
Đường thẳng $\Delta $ qua I và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $x=2+2t,y=-1+2t,z=3-t$
Cho $\Delta \cap \left( S \right)\Rightarrow \Delta $ và $\left( S \right)$ cắt nhau tại 2 điểm: $A\left( 0;-3;4 \right);B\left( 4;1;2 \right).$
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=2,d\left( B,\left( P \right) \right)=8$
Lấy $M\left( x;y;z \right)\in \left( S \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2x+2y-z+16 \right|}{3}=\frac{1}{3}P$
Ta có: $d\left( A;\left( P \right) \right)\le d\left( M;\left( P \right) \right)\le d\left( B;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow 2\le \frac{P}{3}\le 8\Leftrightarrow 6\le P\le 24$.
Vậy ${{P}_{\min }}=6$ khi $x=0,y=-3,z=4$. Chọn A.
| Bài tập 9: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 0;1;1 \right),B\left( 3;0;-1 \right),C\left( 0;21;-19 \right)$và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ . $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$sao cho biểu thức $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
A. $a+b+c=0.$ B. $a+b+c=12.$ C. $a+b+c=\frac{12}{5}.$ D. $a+b+c=\frac{14}{5}.$ |
Lời giải chi tiết:
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} 3\left( 0-{{x}_{1}} \right)+2\left( 3-{{x}_{1}} \right)+\left( 0-{{x}_{1}} \right)=0 \\ {} 3\left( 1-{{y}_{1}} \right)+2\left( 0-{{y}_{1}} \right)+\left( 21-{{y}_{1}} \right)=0 \\ {} 3\left( 1-{{z}_{1}} \right)+2\left( -1-{{z}_{1}} \right)+\left( -19-{{z}_{1}} \right)=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( 1;4;-3 \right)$
Ta có: $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$\Rightarrow T=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=6M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
$=6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$nhỏ nhất $\Leftrightarrow $MI nhỏ nhất.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $K\left( 1;1;1 \right)$ $\Rightarrow I:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=1+3t \\ {} z=1-4t \\ \end{array} \right.$. Cho $KI\cap \left( S \right)\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{M}_{1}}\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right) \\ {} {{M}_{2}}\left( 1;\frac{2}{5};\frac{9}{5} \right) \\ \end{array} \right.$
Tính ${{M}_{1}}I=4;{{M}_{2}}I=6\Rightarrow {{M}_{1}}$ là điểm thỏa mãn yêu cầu nên $a+b+c=\frac{14}{5}.$ Chọn D.
Bài tập 10: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$với $a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ ngoại tiếp tứ diện OABC. Khi tổng $OA+OB+OC$ đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
|
Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O.ABC$ là $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90.$
Ta có $P=OA+OB+OC=a+b+c$. Đặt $m=a-4\ge 0,n=b-5\ge 0,p=c-6\ge 0.$
Khi đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( m+4 \right)}^{2}}+{{\left( n+5 \right)}^{2}}+{{\left( p+6 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+77=90.$
$T={{\left( m+n+p \right)}^{2}}+12\left( m+n+p \right)={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+2\left( mn+np+pm+2m+n \right).$
Vì ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p=13$và $m,n,p\ge 0$nên ${{\left( m+n+p \right)}^{2}}+12\left( m+n+p \right)-13\ge 0.$
$\Leftrightarrow m+n+p\ge 1\Leftrightarrow a+b+c\ge 16\Rightarrow {{\left\{ OA+OB+OC \right\}}_{\min }}=16.$ Dấu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=5,c=7$.
Tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ là $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)\Rightarrow I\left( 2;\frac{5}{2};\frac{7}{2} \right)\Rightarrow d\left( I;{{\left( P \right)}_{D}} \right)=\frac{3\sqrt{10}}{2}.$Chọn D.
