Bài toán Tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau
Phương pháp giải bài toán tiếp xúc
Cho 2 hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Đồ thị 2 hàm số trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ {} {f}’\left( x \right)={g}’\left( x \right) \\ \end{array} \right.$ và nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ của tiếp điểm.
Bài tập trắc nghiệm tìm điều
|
Bài tập 1: Biết rằng hai đường cong $y={{x}^{3}}+\frac{5\text{x}}{4}-2$ và $y={{x}^{2}}+x-2$ tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$. Tính OM. A. $OM=\frac{1}{2}$ B. $OM=\frac{\sqrt{29}}{2}$ C. $OM=\frac{\sqrt{29}}{4}$ D. $OM=\frac{\sqrt{29}}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}+\frac{5\text{x}}{4}-2={{x}^{2}}+x-2 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}+\frac{5}{4}=2\text{x}+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Khi đó $M\left( \frac{1}{2};-\frac{5}{4} \right)\Rightarrow OM=\frac{\sqrt{29}}{4}$.
|
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m\text{x}+m+1$ tiếp xúc với trục hoành. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m\text{x}+m+1=0 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}-3m=0 \\ \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m\text{x}+m+1=0\left( 1 \right) \\ {} m={{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.
Thế $m={{x}^{2}}$ vào phương trình (1) ta có: ${{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{3}}+{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow m=1$. Chọn A.
|
Bài tập 3: Số các giá trị của tham số m để hai đồ thị $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3\text{x}+1$ và đường thẳng $d:y=m\left( x-1 \right)-1$ tiếp xúc với nhau là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 |
Lời giải chi tiết
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3\text{x}+1=m\left( x-1 \right)-1 \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}-3=m \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.
Suy ra ${{x}^{3}}-3\text{x}+1=\left( 3{{\text{x}}^{2}}-3 \right)\left( x-1 \right)-1\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-\frac{1}{2}\Rightarrow m=-\frac{9}{4} \\ {} x=1\Rightarrow m=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
|
Bài tập 4: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\left( C \right):y={{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}$ tiếp xúc với đường thẳng $y=x+9m$. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 0 B. 3 C. $-3$ D. 4 |
Lời giải chi tiết
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}=x+9m\left( 1 \right) \\ {} 3{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}-8-1\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}-9\text{x}-9m=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}\left( x+m \right)-9\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-9 \right)\left( x+m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\pm 3 \\ {} x=-m \\ \end{array} \right.$
Với $x=3\Rightarrow m=-3$
Với $x=-3\Rightarrow m=3$
Với $x=-m$ ta có: $3{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}=9\Leftrightarrow m=\pm 3$.
Vậy $m=\pm 3$ là các giá trị cần tìm. Vậy tổng các phần tử của tập S là 0. Chọn A.
|
Bài tập 5: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=2{{\text{x}}^{3}}-3\left( m+3 \right){{x}^{2}}+18m\text{x}-8$ tiếp xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 9 B. $\frac{278}{27}$ C. 8 D. $\frac{208}{27}$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} {} 2{{\text{x}}^{3}}-3\left( m+3 \right){{x}^{2}}+18m\text{x}-8=0 \\ {} 6{{\text{x}}^{2}}-6\left( m+3 \right)x+18m=0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2{{\text{x}}^{3}}-3\left( m+3 \right){{x}^{2}}+18m\text{x}-8=0\left( 1 \right) \\ {} {{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+3m=0\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$ có nghiệm.
Ta có: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \text{x}\left( x-m \right)-3\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=m \\ \end{array} \right.$
Với $x=3$ thế vào (1) ta có: $54-27\left( m+3 \right)+54m-8=0\Leftrightarrow m=\frac{35}{27}$.
Với $x=m$ thế vào (1) ta có:
$2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}\left( m+3 \right)+18{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow -{{m}^{3}}+9{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-8m-8 \right)=0$
Ta được tổng các giá trị của tập hợp S là: $\frac{35}{27}+1+8=\frac{278}{27}$. Chọn B.
|
Bài tập 6: Tính tổng S tất cả các giá trị tham số m để đồ thị $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3m\text{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$ tiếp xúc với trục hoành. A. $S=\frac{4}{3}$ B. $S=1$ C. $S=0$ D. $S=\frac{2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị đã cho tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3m\text{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\ {} {f}’\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}-6m\text{x}+3m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3m\text{x}+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2m\text{x}+m=0\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$
Lấy $\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ ta được $f\left( x \right)=g\left( x \right).\left( x-m \right)+\left( 2m-2{{m}^{2}} \right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$
Suy ra $\left( 2m-2{{m}^{2}} \right)x+2{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow \left( 2m-2{{m}^{2}} \right)\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=1 \\ {} x=-m \\ \end{array} \right.$
Với $x=-m\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2{{m}^{2}}+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=-\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$
Vậy $m=0,m=1,m=-\frac{1}{3}$. Chọn D.
