Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải {} bài tập có đáp án
Phương pháp giải: bài toán viết pttt tại 1 điểm
Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\in \left( C \right)$ là
$y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$.
Trong đó ${{x}_{0}}$ được gọi là hoành độ tiếp điểm: ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ là tung độ tiếp điểm và $k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ được gọi là tiếp điểm.
Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án
| Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3\text{x}\left( C \right)$ tại:
a) Điểm $A\left( 1;4 \right)$. b) Điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-1$ c) Điểm có tung độ ${{y}_{0}}=14$. d) Giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $d:y=3x-8$. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ${f}’\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}+3\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=6$.
Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $A\left( 1;4 \right)$ là $y=6\left( x-1 \right)+4=6\text{x}-2$
b) Với $x={{x}_{0}}=-1\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=-4\Rightarrow {f}’\left( {{x}_{0}} \right)=6$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là $y=6\left( x+1 \right)-4=6x+2$
c) Với ${{y}_{0}}=14\Rightarrow {{x}^{3}}+3x=14\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2;{f}’\left( 2 \right)=15$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=15\left( x-2 \right)+14=15x-16$
d) Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là ${{x}^{3}}+3\text{x}=3x-8\Leftrightarrow x=-2$
Với $x=-2\Rightarrow y=-14\Rightarrow {f}’\left( -2 \right)=15$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=15\left( x+2 \right)-14=15x+16$.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}\left( C \right)$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có tung độ ${{y}_{0}}=3$. b) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $d:y=x-2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}$
a) Ta có: ${{y}_{0}}=3\Rightarrow \frac{x-2}{2x+1}=3\Leftrightarrow 5\text{x}=-5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {y}’\left( -1 \right)=5$.
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left( x+1 \right)+3$ hay $y=5x+8$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( C \right)$ là: $\frac{x-2}{2x+1}=x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$
Với ${{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0;{y}’\left( 2 \right)=\frac{1}{5}$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$.
Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-2;{y}’\left( 0 \right)=5$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=5x-2$.
| Bài tập 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4x+2$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. $y=-x-2$ B. $y=x-2$ C. $y=-x$ D. $y=-x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1;{f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=-1$
Do vậy PTTT là: $y=-\left( x-1 \right)-1=-x$. Chọn C.
| Bài tập 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung là:
A. $y=-3x-1$ B. $y=-3x-3$ C. $y=-3x$ D. $y=-3x+3$ |
Lời giải chi tiết
$\left( C \right)\cap Oy=A\left( 0;-1 \right)$. Lại có ${y}’=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}’\left( 0 \right)=-3$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.
| Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}$ tại điểm có hoành độ $x-2$ là:
A. $y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ B. $y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$ C. $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$ D. $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Với $x=2\Rightarrow y=1$. Lại có ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\Rightarrow {f}’\left( 2 \right)=\frac{3}{4}$
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{3}{4}\left( x-2 \right)+1=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+1$ tại điểm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${{f}’}’\left( {{x}_{0}} \right)=4$ là:
A. $y=-3x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x-1$ D. $y=-4x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x\Rightarrow {{f}’}’\left( x \right)=6x-8$.
Giải ${{f}’}’\left( x \right)=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-7;{f}’\left( 2 \right)=-4$
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-2 \right)-7=-4x+1$. Chọn D.
| Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$ là:
A. $y=4x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x+2$ D. $y=4x+3$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$. Mặt khác ${y}’=4{{x}^{3}}-8x\Rightarrow {y}’\left( -1 \right)=4$
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4\left( x+1 \right)-1=4x+3$. Chọn D.
| Bài tập 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục hoành là:
A. $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$ B. $y=\frac{1}{25}\left( x-2 \right)$ C. $y=\frac{2}{5}\left( x-2 \right)$ D. $y=\frac{-3}{25}\left( x-2 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left( C \right)\cap Ox=A\left( 2;0 \right)$. Mặt khác ${f}’\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}’\left( 2 \right)=\frac{1}{5}$
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( 2;0 \right)$là: $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$. Chọn A.
| Bài tập 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3x+1\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thứ 2 có hoành độ là:
A. 0 B. $-2$ C. 3 D. $-1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x=1\Rightarrow y=0;{f}’\left( x \right)=6{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=3$.
Phương trình tiếp tuyến là: $y=3\left( x-1 \right)\left( d \right)$
Xét $d\cap \left( C \right)\Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
| .Bài tập 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ tại điểm có tung độ bằng $-3$ là:
A. $y=3x+2$ B. $y=5\left( x+1 \right)$ C. $y=3x+5$ D. $y=5x+2$ |
Lời giải chi tiết
Giải $\frac{2x-1}{x+2}=-3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x\ne -2 \\{} 2x-1=-3x-6 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$. Lại có ${f}’\left( x \right)=\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}’\left( -1 \right)=5$
Phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left( x+1 \right)-3=5x+2$. Chọn D.
| Bài tập 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2$ tại thời điểm có hoành độ $x=-1$ cắt trục hoành tại điểm.
A. $A\left( 0;-1 \right)$ B. $A\left( -\frac{7}{2};0 \right)$ C. $A\left( -\frac{7}{4};0 \right)$ D. $A\left( -\frac{1}{4};0 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x=-1;y=3;{y}’\left( -1 \right)=-4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x+1 \right)+3=-4x-1\left( d \right)$.
Do đó $d\cap Ox=A\left( \frac{-1}{4};0 \right)$. Chọn D.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1\left( C \right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
A. $d=\frac{2}{\sqrt{5}}$ B. $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. $d=\frac{1}{\sqrt{5}}$ D. $d=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $x=1\Rightarrow y=0;{f}’\left( 1 \right)=8-6=2$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=2\left( x-1 \right)\left( d \right)$.
Do đó $d:2\text{x}-y-2=0$ suy ra $d\left( 0;d \right)=\frac{\left| -2 \right|}{5}$. Chọn A.
Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+m\text{x}\left( C \right)$. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ của $\left( C \right)$ bằng $\sqrt{2}$ là:
A. $\left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array} {} m=-5 \\ {} m=-3 \\ \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} m=-2 \\ {} m=0 \\ \end{array} \right.$. |
Lời giải chi tiết
Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1+m;{f}’\left( 1 \right)=3+m$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=\left( m+3 \right)\left( x-1 \right)+m+1\left( d \right)$
$d\left( O;d \right)=\frac{\left| -m-3+m+1 \right|}{\sqrt{{{\left( m+3 \right)}^{2}}+1}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+1=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
