Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến
Phương pháp giải tìm điểm thuộc đồ thị hàm số
þ Bài toán 1: Tìm hai điểm $A\left( a;f\left( a \right) \right)$ và $B\left( b;f\left( b \right) \right)$ $\left( a\ne b \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $\left( C \right)$ song song với nhau và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.
Cách giải: Giải hệ phương trình ${f}’\left( a \right)={f}’\left( b \right)$ và điều kiện $K$.
þ Bài toán 2: Tìm hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\,\,\left( C \right)$ sao cho $AB\bot \Delta $ (hoặc $AB//\Delta $) và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.
Cách giải:
§ Dựa vào giả thiết $AB\bot \Delta $ hoặc $AB//\Delta $ ta viết phương trình đường thẳng $AB$ theo một tham số $m$ nào đó.
§ Viết phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và đồ thị $\left( C \right)$.
§ Dựa vào điều kiện $K$ để tìm giá trị của tham số $m$.
Bài tập điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến có đáp án
|
Bài tập 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1$ tại điểm $A\left( -3;-2 \right)$ cắt đồ thị tại điểm thứ hai là $B$. Điểm $B$ có tọa độ A. $B\left( 1;10 \right).$ B. $B\left( -2;1 \right).$ C. $B\left( 2;33 \right).$ D. $B\left( -1;0 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}+8x+4\Rightarrow {y}’\left( -3 \right)=7$
PTTT tại điểm $A\left( -3;-2 \right)$ là: $y=7\left( x+3 \right)-2=7x+19$ (d)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến $d$ là: ${{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1=7x+19$
$\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-3\Rightarrow y=-2 \\ x=2\Rightarrow y=33 \\\end{array} \right..$ Vậy $B\left( 2;33 \right)$. Chọn C.
|
Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1$ tại điểm $A$ cắt đồ thị tại điểm thứ hai là $B\left( -1;-2 \right)$. Điểm $A$ có tọa độ A. $A\left( 2;5 \right).$ B. $A\left( -1;-4 \right).$ C. $A\left( 0;1 \right).$ D. $A\left( 1;2 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-2x+1$, gọi $A\left( a;{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1 \right)$
Phương trình tiếp tuyến tại $A$ là: $y=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:
${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$
$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}} \right)-\left( x-a \right)\left( x+a \right)+\left( x-a \right)=\left( 3{{a}^{2}}-2a+1 \right)\left( x-a \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}}-x-a+1-3{{a}^{2}}+2a-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+xa-2{{a}^{2}}-x+a \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x+2a-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=a\Rightarrow A \\ x=-2a+1 \\\end{array} \right.$
Do ${{x}_{B}}=-1\Leftrightarrow -2a+1=-1\Leftrightarrow a=1\Rightarrow A\left( 1;2 \right)$. Chọn D.
|
Bài tập 3: Điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$ mà tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại đó có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ là A. $M\left( 0;2 \right).$ B. $M\left( -1;6 \right).$ C. $M\left( 1;4 \right).$ D. $M\left( 2;6 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $k={y}’=-3{{x}^{2}}+6x=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\le 3$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là $x=1$
Khi đó $M\left( 1;4 \right)$. Chọn C.
|
Bài tập 4: Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}\left( C \right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và $AB=4\sqrt{2}$. Tính $T=OA+OB.$ A. $T=5.$ B. $T=6.$ C. $T=7.$ D. $T=8.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;2+\frac{4}{a-1} \right),B\left( b;2+\frac{4}{b-1} \right)\,\,\left( a,b\ne 1,a\ne b \right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:
${y}’\left( a \right)={y}’\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{4}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=\frac{4}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a-1=b-1\,\,\left( l \right) \\ a-1=1-b \\\end{array} \right.\Rightarrow a+b=2.$
Ta có: $A{{B}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+\frac{16{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{\left[ \left( a-1 \right)\left( b-1 \right) \right]}^{2}}}={{\left( a-b \right)}^{2}}\left[ 1+\frac{9}{{{\left( ab-a-b+1 \right)}^{2}}} \right]={{\left( a-b \right)}^{2}}\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right]$
$=\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right]=4\left( 1-ab \right)\left[ 1+\frac{16}{{{\left( ab-1 \right)}^{2}}} \right].$
Đặt $t=1-ab$ ta có: $4t\left( 1+\frac{16}{{{t}^{2}}} \right)=32\Leftrightarrow t+\frac{16}{t}=8\Leftrightarrow t=4\Rightarrow ab=-3\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+b=2 \\ ab=-3 \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=-1\Rightarrow b=3 \\ a=3\Rightarrow b=4 \\\end{array} \right.$
Vậy $A\left( -1;0 \right),B\left( 3;4 \right)$ hoặc ngược lại suy ra $T=OA+OB=6$. Chọn B.
|
Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}\,\left( C \right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và tam giác \(OAB\) vuông tại $O$. Tính độ dài $AB$ A. $AB=4.$ B. $AB=2.$ C. $AB=2\sqrt{2}.$ D. $AB=\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;\frac{-a+2}{a-1} \right),B\left( b;\frac{-b+2}{b-1} \right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:
${y}’\left( a \right)={y}’\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=\frac{-1}{{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a-1=b-1 \\ a-1=1-b \\\end{array} \right.\Rightarrow a+b=2$
Mặt khác $\Delta OAB$ vuông tại $O$ nên: $\overline{OA}.\overline{OB}=ab+\frac{\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)}{\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}=0$
$\Leftrightarrow ab+\frac{4-2\left( a+b \right)+ab}{ab-\left( a+b \right)+1}=0\Leftrightarrow ab+\frac{ab}{ab-1}=0\Leftrightarrow ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0,b=2 \\ a=2,b=0 \\\end{array} \right.$
Vậy 2 điểm cần tìm là $A\left( 2;0 \right),B\left( 0;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}$. Chọn C.
|
Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4x+3\left( C \right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua $A,B$ vuông góc với đường thẳng $d:x+5y-7=0$. Tính độ dài $AB$ A. $AB=8.$ B. $AB=12.$ C. $AB=6\sqrt{2}.$ D. $AB=6\sqrt{26}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A\left( a;{{a}^{3}}-4a+3 \right),B\left( b;{{b}^{3}}-4b+3 \right)$ $\left( a\ne b \right)$.
Ta có: ${y}’\left( a \right)={y}’\left( b \right)\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=3{{b}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=b\,\left( l \right) \\ a=-b \\\end{array} \right.$
+) Ta có: \(\overline{AB}\left( b-a;{{b}^{3}}-{{a}^{3}}-4\left( b-a \right) \right)=\left( b-a;\left( b-a \right)\left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}-4 \right) \right)\), $\overline{{{u}_{d}}}\left( -5;1 \right)$
Do đó chọn $\overline{{{u}_{AB}}}=\left( 1;{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4 \right)\Rightarrow \overline{{{u}_{AB}}}\,.\,\overline{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow -5+{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4=0\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-ab=9$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=3,b=-3 \\ a=-3;b=3 \\\end{array} \right.$
Vậy $A\left( 3;18 \right),B\left( -3;-12 \right)$ hoặc ngược lại suy ra $AB=6\sqrt{26}$. Chọn D.
|
Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai $N\,\,\left( M\ne N \right)$ thỏa mãn ${{x}_{M}}+{{x}_{N}}=-3$. Hoành độ điểm $M$ là A. $3.$ B. $-1.$ C. $1.$ D. $-3.$ |
Lời giải chi tiết
Vì $M\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( m;{{m}^{3}}-3m \right)$. Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}-3\xrightarrow{{}}{y}’\left( m \right)=3{{m}^{2}}-3.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là $y-y\left( m \right)={y}’\left( m \right).\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow y-{{m}^{3}}+3m=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow y=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)+{{m}^{3}}-3m$ (d).
Hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ là nghiệm phương trình ${{x}^{3}}-3x=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)+{{m}^{3}}-3m$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{3}}-3\left( x-m \right)=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)-3\left( x-m \right)=\left( 3{{m}^{2}}-3 \right)\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x-m=0 \\ {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}-3=3{{m}^{2}}-3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=m \\ {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=m \\ \left( x-m \right)\left( x+2m \right)=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=m \\ x=-2m \\\end{array} \right..$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=m \\ {{x}_{N}}=-2m \\\end{array} \right.\xrightarrow{{}}{{x}_{M}}+{{x}_{N}}=m-2m=-m=-3\Leftrightarrow m=3.$
Vậy ${{x}_{M}}=3$. Chọn A.
|
Bài tập 9: Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}\,\left( C \right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $\left( C \right)$ sao cho $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $d:x+5y-11=0$. Tính tổng tung độ ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}$ A. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=3.$ B. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2.$ C. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=-4.$ D. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=4.$ |
Lời giải chi tiết
Viết lại phương trình đường thẳng $d:y=-\frac{1}{5}x+\frac{11}{5}$
Vì $AB\bot \left( d \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng: $y=5x+m$
Phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và $\left( C \right)$ là:
$\frac{2x+3}{x-1}=5x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne 1 \\ g\left( x \right)=5{{x}^{2}}+\left( m-7 \right)x-m-3=0 \\\end{array} \right.$
Để $AB$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác
$I\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \Delta >0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -5\ne 0 \\ {{\left( m-7 \right)}^{2}}+12\left( m+3 \right)>0 \\\end{array} \right.$ (*).
Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};5{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};5{{x}_{2}}+m \right)$. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{7-m}{5} \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-m-3}{5} \\\end{array} \right.$
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{5\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}{2}+m \right)$ hay $I\left( \frac{7-m}{10};\frac{m+7}{2} \right)\in \left( d \right)$
$\Rightarrow \frac{7-m}{10}+\frac{5m+35}{2}=11\Leftrightarrow m=-3$
Với $m=-3\,\,\left( tm \right)\Rightarrow A\left( 0;-3 \right),B\left( 2;7 \right)\Rightarrow {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=4$. Chọn D.
|
Bài tập 10: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}\,\,\left( C \right)$ và 2 điểm $C,D$ thuộc đường thẳng $d:y=x-4$. Gọi 2 điểm $A,B$ là hai điểm phân biệt nằm trên $\left( C \right)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có đường chéo bằng $\frac{5}{\sqrt{2}}$. Độ dài $AB$ khi đó thỏa mãn A. $AB<1.$ B. $1<AB<\frac{3}{2}.$ C. $\frac{3}{2}<AB<\frac{5}{2}.$ D. $AB>\frac{5}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Do $AB//CD$ nên phương trình đường thẳng $AB:y=x+m$ $\left( m\ne 4 \right)$
PT hoành độ giao điểm của $AB$ và $\left( C \right)$ là: $\frac{x-1}{x+2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne -2 \\ g\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2m+1=0 \\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} g\left( -2 \right)\ne 0 \\ \Delta >0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3\ne 0 \\ {{m}^{2}}-6m-3>0 \\\end{array} \right.$
Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1 \\\end{array} \right.$
Ta có: $A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left( {{m}^{2}}-6m-3 \right)$, $AD=d\left( AB;CD \right)=\frac{\left| m+4 \right|}{\sqrt{2}}$
$A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left( {{m}^{2}}-6m-3 \right)+\frac{{{m}^{2}}+8m+16}{2}$
$=\frac{5}{2}{{m}^{2}}-8m+2=\frac{25}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} m=-1 \\ m=\frac{21}{5}\,\left( loai \right) \\\end{array} \right.$
Với $m=-1\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}=1\Rightarrow A\left( 1;0 \right),B\left( -1;-2 \right) \\ {{x}_{1}}=-1\Rightarrow A\left( -1;-2 \right),B\left( 1;0 \right) \\\end{array} \right.$
Kết luận: Vậy 2 điểm thỏa mãn ycbt là: $\left( 1;0 \right),\left( -1;-2 \right)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}$. Chọn D.
|
Bài tập 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $\left( C \right)$. Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A,B$ thuộc $\left( C \right)$, đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng A. $2.$ B. $4.$ C. $2\sqrt{2}.$ D. $2\sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I\left( -2;1 \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có phương trình là $y=x$ và $y=-x$.
Do tính chất đối xứng nên $AB\bot d:y=-x\Rightarrow AB:y=x+m$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $AB$ là:
$\frac{x-2}{x+2}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne -2 \\ g\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2m+2=0 \\\end{array} \right.$
Điều kiện để $AB$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt là: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m+2 \right)>0 \\ g\left( -2 \right)\ne 0 \\\end{array} \right.$
Khi đó gọi là $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right);B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$, theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+2 \\\end{array} \right.$
Tam giác $ABC$ luôn cân tại $I$ suy ra nó đều khi $IH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Leftrightarrow d\left( I;AB \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$
$\Leftrightarrow \frac{\left| m-3 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}=3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=3\left( {{m}^{2}}+2m+1-8m-8 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m=15\Rightarrow AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-6m-7 \right)}=4$. Chọn B.
