CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – CÁCH GIẢI BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN
@ Phương pháp giải: Loại 1: Cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|.$
Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|\Rightarrow y’=\frac{f’\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$ do đó
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f’\left( x \right).f\left( x \right)=0.$
Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).
Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án
| Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau.
Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới:
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$
Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$là: A. 4. B. 6. C. 3. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2\Rightarrow g’\left( x \right)=f’\left( x \right)$
Phương trình $g’\left( x \right)=f’\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$
Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.
| Bài tập 5: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right) \right|$ là:
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=f\left( x \right)$ thì $y’=\frac{f’\left( x \right)f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$
Xét $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)$
Ta có: $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$
Lại có: $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\Rightarrow f’\left( x \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2x-1 \right)$
$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \right]={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-6x-17 \right)=0\Rightarrow f’\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.
| Bài tập 6: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right|$ là:
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. |
Lời giải chi tiết
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x+2 \right)-x\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.
Phương trình $f’\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.
| Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là:
A. 0. B. 9. C. 8. D. vô số. |
Lời giải chi tiết
Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$
Phương trình $f’\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \\ x=2 \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.
Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$
Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
| Bài tập 8: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là:
A. 129. B. 2. C. 127. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Phương trình $f’\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ x=-1 \\ x=4\text{ } \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
| Bài tập 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị?
A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m\xrightarrow{{}}f’\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;\forall x\in \mathbb{R}.$
Phương trình $f’\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.
Mà $f’\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.
Dựa vào BBT hàm số $f\left( x \right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -5<-m<0\Leftrightarrow m\in \left( 0;5 \right)$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là:
A. 26. B. 25. C. 8. D. 9. |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y’=6{{x}^{2}}-6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=2\text{ } \\\end{matrix} \right.$
Suy ra hàm số 
có 2 điểm cực trị.
Để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình
$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2\Leftrightarrow h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt
Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} h\left( -1 \right)=9\text{ } \\ h\left( 2 \right)=-18 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-mm>-9$
Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.
| Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$ có 5 điểm cực trị?
A. 9. B. 10. C. 8. D. vô số. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$
TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 5 điểm cực trị.
TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 2.\left[ -4\left( m+8 \right) \right]-8.$
Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0\ge m-1\Leftrightarrow m\le 1.$
(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).
Vậy $-8<m\le 1.$ Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 9 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.
| Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+9 \right|$ có 7 điểm cực trị?
A. 9. B. 11. C. 10. D. 4 |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+4$
TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.
TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+4 \right) \right]-4.$
Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f’\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+4 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ {{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2} \\\end{matrix} \right..$
Hàm số có BTT như hình vẽ:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi
$\begin{array} {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+4} \right)<0 \\ {} \Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}-2{{\left( m+4 \right)}^{2}}+99\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m>-1 \\ m-1.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -10;10 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;…10 \right\}\Rightarrow $ có 11 giá trị của m. Chọn B.
| Bài tập 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8 \right|$ có 7 điểm cực trị?
A. 9. B. 11. C. 12. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8$
TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.
TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+1 \right) \right]-1.$
Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f’\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ {{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2} \\\end{matrix} \right..$
Hàm số có BTT như hình vẽ:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi
$\begin{array} {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+1} \right)<0 \\ {} \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{\left( m+1 \right)}^{2}}+88\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m>-1+2\sqrt{2} \\ m-1-2\sqrt{2}.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -20;20 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 2;3;…10 \right\}\Rightarrow $ có 9 giá trị của m. Chọn A.
Phương pháp giải: Loại 2: Cực trị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right).$
Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y’=\frac{x}{\left| x \right|}.f’\left( \left| x \right| \right)$ từ đó ta có nhận xét sau:
– Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$
– Số điểm cực trị dương của hàm số $y=f\left( x \right)$là m thì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là $2m+1$.
| Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)=6{{x}^{5}}-15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+1,$ số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là:
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f’\left( x \right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$
$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$
Lại có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y’=\frac{x}{\left| x \right|}.\left| x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)\left( \left| x \right|+1 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=\pm 1;x=\pm 2$ nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$có 5 điểm cực trị. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $\left( 2;-1 \right)$ và $\left( 5;0 \right)$
Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị. Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+1 \right)$là A. 4. B. 6. C. 5. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=\left( \left| x \right|+1 \right)’.f’\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0 \\\end{matrix} \right.(*)$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=0\text{ } \\ x=2\text{ } \\\end{matrix} \right.$
Suy ra $f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+1=-1 \\ \left| x \right|+1=0\text{ } \\ \left| x \right|+1=2\text{ } \\\end{matrix} \right.$hệ có 2 nghiệm.
Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D.
| Ví dụ 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m>-20$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 5 điểm cực trị A. 15. B. 19. C. 16. D. 18. |
Lời giải
Ta có: $y’=\left( \left| x \right|+m \right)’.f’\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f’\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f’\left( \left| x \right|+m \right)=0 \\\end{matrix} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-3 \\ x=-1 \\\end{matrix} \right.$
Do đó $f’\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+m=-3 \\ \left| x \right|+m=-1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|=-3-m \\ \left| x \right|=-1-m \\\end{matrix} \right.$(*)
Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -3-m>0 \\ -1-m>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.
| Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13. |
Lời giải
Ta có: $y’=\left( \left| x \right|+m \right)’.f’\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f’\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f’\left( \left| x \right|+m \right)=0 \\\end{matrix} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=5\text{ } \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.$
Do đó $f’\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+m=-2 \\ \begin{array} {} \left| x \right|+m=2\text{ } \\ {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|=-2-m \\ \begin{array} {} \left| x \right|=2-m\text{ } \\ {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.(*)$
Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -2-m>0 \\ \begin{array} {} 2-m>0\text{ } \\ {} 5-m>0 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-2.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -10;10 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 8 giá trị nguyên của m. Chọn A.
| Ví dụ 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6mx+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 100. B. 99. C. 97. D. 96. |
Lời giải
Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.
Ta có: $f’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m\text{ }(*)$
Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta ‘={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m>0 \\ S=2\left( m-1 \right)>0\text{ } \\ P=2m>0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -100;100 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị?
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. |
Lời giải
Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.
Ta có: $f’\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }(*)$
Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3.$
TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-9=0 \\ m+1>0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=3.$
Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -100;100 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
| Ví dụ 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f’\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m$ trên$\mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị là:
A. 100. B. 101. C. 198. D. 197. |
Lời giải
Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị có hoành độ dương.
$\Leftrightarrow f’\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.
Ta có: $f’\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+m\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=2\text{ } \\ g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-2m=0 \\\end{matrix} \right.$
Giả thiết bài toán thỏa mãn $\Leftrightarrow g\left( x \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta >0\text{ } \\ S=m+1>0\text{ } \\ \begin{array} {} P=2m>0 \\ {} g\left( 2 \right)\ne 0\text{ } \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+10m+1>0 \\ m>0\text{ } \\ 2\ne 0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -100;100 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 100 giá trị nguyên của m. Chọn A.
| Ví dụ 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên$\mathbb{R}$và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số $f\left( \left| x \right|+1 \right)$ là:
A. 4. B. 6. C. 5. D. 3. |
Lời giải
Ta có: $y’=\left( \left| x \right|+1 \right)’.f’\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0 \\\end{matrix} \right.(*)$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right) \\ \begin{array} {} x={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{ } \\ {} x={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\ {} x=2\text{ } \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.$
Suy ra $f’\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+1={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right) \\ \begin{array} {} \left| x \right|+1={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{ } \\ {} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\ {} \left| x \right|+1=2 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\ \left| x \right|+1=2\text{ } \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $hệ có 4 nghiệm.
Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.
