Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số m
Phương pháp giải bài toán tính đồng biến ngịch biến của hàm phân thức có m
Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{-d}{c} \right\}$.
Ta có $y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow {y}’=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$.
Nếu $ad=bc$ thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad-bc>0$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad-bc<0$.
Hàm số đồng biến trên miền $D=\left( i;j \right)\Leftrightarrow {y}’>0\text{ }\forall x\in \left( i;j \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} ad-bc>0 \\ {} \frac{-d}{c}\notin \left( i;j \right) \\ \end{array} \right.$.
Hàm số nghịch biến trên miền $D=\left( i;j \right)\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\forall x\in \left( i;j \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} ad-bc<0 \\ {} \frac{-d}{c}\notin \left( i;j \right) \\ \end{array} \right.$.
Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số phân thức chứa tham số m có đáp án
| Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2m}$
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)$. |
Lời giải
a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2m \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-2m-1}{{{\left( x-2m \right)}^{2}}}$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi ${y}’>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -2m-1>0$
$\Leftrightarrow -2m>1\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m<-\frac{1}{2} \\ {} 2m\ge -10 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m<-\frac{1}{2}$.
| Ví dụ 2: Cho hàm số $y=\frac{x+m-2}{x-m}$
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right)$. |
Lời giải
a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-m-m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}=\frac{-2m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi $-2m+22\Leftrightarrow m>1$
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m>1 \\ {} m\le 5 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 5$.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{mx+4m}{x+m}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=\frac{{{m}^{2}}-4m}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\left( \forall x\ne -m \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m<0\Leftrightarrow 0<m<4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=1,\text{ }m=2,\text{ }m=3$. Chọn D.
| Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{mx-16}{x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-{{m}^{2}}+16}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
$\Leftrightarrow {y}’>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+16>0\text{ }\left( \forall x\subset D \right)\Leftrightarrow -4<m<4$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}\Rightarrow $ có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.
| Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{mx-4}{2x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{m}{2} \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-{{m}^{2}}+8}{{{\left( 2x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
$\Leftrightarrow {y}’>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8>0\text{ }\Leftrightarrow -2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\Rightarrow $ có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.
| Ví dụ 6: Cho hàm số $y=\frac{\left( m+1 \right)x+20}{x+m}$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. |
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{m\left( m+1 \right)-20}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}’>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-20>0\Leftrightarrow -5<m<4$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}\Rightarrow $ có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y=\frac{-mx-5m+4}{x+m}$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 16. B. -10. C. -15. D. 15. |
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-{{m}^{2}}+5m-4}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+5m-44 \\ {} m<1 \\ \end{array} \right.$.Kết hợp 
.
Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 
. Chọn B.
| Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\frac{mx+1}{mx-2}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là:
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. |
Lời giải
Với $m=0\Rightarrow y=\frac{-1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu.
Với $m\ne 0$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2}{m} \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{-3m}{{{\left( mx-2 \right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}'<0\text{ }\forall x\in D\Leftrightarrow -3m0$.
Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
| Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+m+1}{mx+2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.
A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. |
Lời giải
Với $m=0\Rightarrow y=\frac{x+1}{2}$ (thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định).
Với $m\ne 0$ khi đó TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{-2}{m} \right\}$. Ta có: ${y}’=\frac{2-m\left( m+1 \right)}{{{\left( mx+2 \right)}^{2}}}$.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\Leftrightarrow {y}’>0\text{ }\left( \forall x\in D \right)\Leftrightarrow -{{m}^{2}}-m+2>0\Leftrightarrow -2<m<1$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1;0 \right\}$. Chọn A.
| Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)$?
A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 3. |
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-10 \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {y}’=\frac{5m-2}{{{\left( x+5m \right)}^{2}}}>0 \\ {} -5m\ge -10 \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( -\infty ;-10 \right) \right)$
$\Leftrightarrow \frac{2}{5}<m\le 2$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$.
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  nghịch biến trên khoảng  ?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.. |
Lời giải
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 10;+\infty \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {y}’=\frac{5m-6}{{{\left( x+5m \right)}^{2}}}<0 \\ {} -5m\le 10 \\ \end{array} \right.\left( \forall x\in \left( 10;+\infty \right) \right)$
$\Leftrightarrow -2<m\le \frac{6}{5}$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
| Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{\left( m+1 \right)x+12}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=\frac{{{m}^{2}}-m-12}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{m}^{2}}-m-12<0 \\ {} -m\notin \left( -\infty ;0 \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3<m<4 \\ {} -m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -3<m\le 0$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
| Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{mx+20}{x+m-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=\frac{{{m}^{2}}-m-20}{{{\left( x+m-1 \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{m}^{2}}-m-20<0 \\ {} \left( 1-m \right)\notin \left( 0;+\infty \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -4<m<5 \\ {} 1-m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le m<5$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
| Ví dụ 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{2x+7}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=\frac{-2m-7}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -2m-7\frac{-7}{2} \\ {} m\le 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{-7}{2}<m\le 2$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -3;-2;-1;0;1;2 \right\}$$\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D.
| Ví dụ 15: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số $y=\frac{{{m}^{2}}x+5}{2mx+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$?
A. 55. B. 35. C. 40. D. 45.. |
Lời giải
HD: Điều kiện: $x\ne -\frac{1}{2m}$. Ta có: ${y}’=\frac{{{m}^{2}}-10m}{{{\left( 2mx+1 \right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {y}'<0 \\ {} -\frac{1}{2m}\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{m}^{2}}-10m<0 \\ {} \frac{6m+1}{2m}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 0<m0 \\ {} m\le -\frac{1}{6} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<m<10$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\Rightarrow $Tổng các số nguyên là 45. Chọn D.
