• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Login
  • Trắc nghiệm 12
  • Khoá học
  • Đăng ký
Bạn đang ở:Trang chủ / Tổng ôn Toán 12 / Tổng hợp lý thuyết bài tập tiếp tuyến với bài toán tương giao có đáp án chi tiết toán lớp 12

Tổng hợp lý thuyết bài tập tiếp tuyến với bài toán tương giao có đáp án chi tiết toán lớp 12

16/04/2022 by Thầy Đồ Để lại bình luận

Bài tập Tiếp tuyến với bài toán tương giao có đáp án

Phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với bài toán tương giao

Viết phương trình hoành độ giữa đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=ax+b$. Gọi $A\left( {{x}_{i}};a{{x}_{i}}+b \right)$ là tọa độ giao điểm khi đó ${{k}_{i}}={f}’\left( {{x}_{i}} \right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm A.

Bài tập trắc nghiệm tiếp tuyến và tương giao có đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1}\left( C \right)$. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng $d:y=x+m$ luôn cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại A và B. Tìm m để tổng ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{-x+1}{2\text{x}-1}=x+m\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( 2\text{x}-1 \right)=-x+1$ (Do $x=\frac{1}{2}$ không phải là nghiệm) $\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}-m-1=0\left( * \right)$.

Ta có: ${\Delta }’={{m}^{2}}+2m+2>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow d$ luôn cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt.

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-m-1}{2} \\ \end{array} \right.$

Khi đó ${{k}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-1}{{{\left( 2{{\text{x}}_{1}}-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( 2{{\text{x}}_{2}}-1 \right)}^{2}}}=-\frac{4{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left[ 4{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right]}^{2}}}$

$=-4{{m}^{2}}-8m-6=-4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\le -2$.

Do đó ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow m=-1$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+3\left( C \right)$. Viết phương trình đường thẳng d qua $A\left( 0;3 \right)$ và cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau.

Lời giải

Phương trình đường thẳng d là: $y=k\text{x}+3$

Phương trình hoành độ giao điểm là: ${{x}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+3=k\text{x}+3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{3}}=0\Rightarrow A\left( 0;3 \right) \\  {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+4\text{x}-k=0 \\ \end{array} \right.$

Để d cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’=4+k>0 \\  {} k\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\ne k>-4$

Khi đó gọi, $B\left( {{x}_{1}};k{{\text{x}}_{1}}+3 \right)$, $C\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+3 \right)$$\Rightarrow {{k}_{1}}={y}’\left( {{x}_{1}} \right)=3\text{x}_{1}^{2}+8{{\text{x}}_{1}},{{k}_{2}}=3\text{x}_{2}^{2}+8{{\text{x}}_{2}}$

Để các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau $\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}\left( 3{{\text{x}}_{1}}+8 \right)\left( 3{{\text{x}}_{2}}+8 \right)=-1\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}\left( 9{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}+24\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+64 \right)=-1$

$\Leftrightarrow -k\left( -9k-32 \right)=-1\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+32k+1=0\Leftrightarrow k=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy $k=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}\Rightarrow d_y=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}x+3$.

Ví dụ 3: Gọi ${{k}_{1}}$ và ${{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của $\left( C \right):y=\frac{x-1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=2\text{x}+1$. Giá trị của ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ là:

A. 5 B. 10 C. 20 D. 30

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{x-1}{x-2}=2\text{x}+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ne 2 \\  {} 2{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}$

Mặt khác ta có: ${y}’=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}={y}’\left( \frac{2+\sqrt{6}}{2} \right)+{y}’\left( \frac{2-\sqrt{6}}{2} \right)=20$. Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-2m\text{x}$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A và B bằng 4.

A. $m=2$  B. $m=-2$  C. $m=-3$  D. $m=3$

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{2}}-2m\text{x}+1=0$

Đk cắt tại 2 điểm phân biệt là: ${\Delta }’={{m}^{2}}-1>0$. Khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hoành độ giao điểm thì $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$

Lại có ${y}’=2\text{x}-2\Rightarrow {y}’\left( {{x}_{1}} \right)+{y}’\left( {{x}_{2}} \right)=2{{\text{x}}_{1}}-2+2{{\text{x}}_{2}}-2=4m-4=4\Leftrightarrow m=2$. Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\text{x}+2\left( C \right)$. Số các giá trị của m để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $A\left( 1;0 \right)$, B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của $\left( C \right)$ song song với nhau.

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là: ${{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\text{x}+2=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x-2=0 \\ \end{array} \right.$

+) Để $\left( C \right)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}+8>0 \\  {} g\left( 1 \right)=-3m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$

Khi đó gọi, $B\left( {{x}_{1}};0 \right),C\left( {{x}_{2}};0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m+2 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2 \\ \end{array} \right.\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)$

Ta có: ${{k}_{1}}={y}’\left( {{x}_{1}} \right)=3\text{x}_{1}^{2}-6\left( m+1 \right){{x}_{1}}+3m,{{k}_{2}}={y}’\left( {{x}_{2}} \right)=3x_{2}^{2}-6\left( m+1 \right){{x}_{2}}+3m$

Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có: ${{k}_{1}}={{k}_{2}}\Leftrightarrow x_{1}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{1}}=x_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2m-2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2\Leftrightarrow 3m+2=2m+2\Leftrightarrow m=0$ (t/m). Chọn A.

Ví dụ 6 [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $A\in \left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ (M, N khác A) thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=6\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$?

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Lời giải

Từ giả thiết ta được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( 1;6 \right)$.

Suy ra hệ số góc của đường thẳng MN bằng 6.

Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ ta có: ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=6\Leftrightarrow x_{0}^{3}-7{{\text{x}}_{0}}=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=3 \\  {} {{x}_{0}}=-1 \\  {} {{x}_{0}}=-2 \\ \end{array} \right.$.

Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là $y=6x-\frac{117}{4}$, $y=6\text{x}+\frac{11}{4}$, $y=6\text{x}+2$.

Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm

Ta xét phương trình $\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}=6\text{x}+m\Leftrightarrow g\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}-6\text{x}=m\left( * \right)$.

Khi đó ${g}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-7\text{x}-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3 \\  {} x=-1 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Ta được bảng biến thiên sau:

Dựa vào BBT suy ra $m=\frac{11}{4}$, $m=2$ thì phương trình (*) có ba nghiệm.

Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}\left( C \right)$. Biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ có cùng hệ số góc $k=5$. Biết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$ giá trị của m là:

A. $m=\pm 1$  B. $m=\pm \sqrt{2}$  C. $m=\pm 2$  D. $m=\pm \sqrt{3}$

Lời giải

Ta có ${y}’\left( {{x}_{1}} \right)={y}’\left( {{x}_{2}} \right)=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} 3\text{x}_{1}^{2}+6m{{\text{x}}_{1}}+2=5 \\  {} 3\text{x}_{2}^{2}+6m{{\text{x}}_{1}}+2=5 \\ \end{array} \right.$. Khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình

$3{{\text{x}}^{2}}+6m\text{x}+2=5$ hay ${{x}^{2}}+2m\text{x}-1=0\left( {{m}^{2}}+1>0 \right)$. Theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.$

Lại có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}}+2=10\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$. Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3\left( m+1 \right)x\left( C \right)$. Số các giá trị nguyên của m để trên $\left( C \right)$ tồn tại 2 điểm $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ phân biệt sao cho tiếp tuyến tại M và N cùng vuông góc với đường thẳng $d:x-3y+2=0$ và $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\sqrt{5}$.

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Lời giải

Viết lại $d:y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$. ${y}’=3{{\text{x}}^{2}}-6m\text{x}+3\left( m+1 \right)$

Ta có: ${y}’\left( {{x}_{1}} \right).\frac{1}{3}=-1$, ${y}’\left( {{x}_{2}} \right).\frac{1}{3}=-1$ nên ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT: ${{x}^{2}}-2m\text{x}+m+1=-1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2m\text{x}+m+2=0\left( 1 \right)$

Để tồn tại 2 điểm M, N thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’={{m}^{2}}-m-2>0 \\  {} 2m>0 \\  {} m+2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>2$.

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2m+2\sqrt{m+2}=20$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<10 \\  {} m+2={{\left( 10-m \right)}^{2}} \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow m=7$ ™. Chọn A.

Thuộc chủ đề:Tổng ôn Toán 12 Tag với:Tiep tuyen - HAM SO - TOAN 12

Bài liên quan:

  1. Tổng hợp lý thuyết bài toán tìm điều kiện để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau toán lớp 12
  2. Tổng hợp lý thuyết bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số hợp có đáp án chi tiết toán lớp 12
  3. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết
  4. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết
  5. Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Bài viết mới

  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Sinh học 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Lợi
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Địa lí 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Trung Kiên
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 lớp 12 môn Toán năm 2022-2023 Trường THPT Trần Phú
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Tiếng Anh 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Quý Đôn
  • [LOP12.COM] Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Hóa học Trường THPT Ngô Gia Tự

Chuyên mục

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2023.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.
Hocz - Học Trắc nghiệm - Sách toán - QAzdo - Hoc Tap VN - Giao vien Viet Nam

Login

Mất mật khẩu>
Đăng ký
Bạn không có tài khoản à? Xin đăng ký một cái.
Đăng ký tài khoản