Bài tập Tiếp tuyến với bài toán tương giao có đáp án
Phương pháp giải bài toán tiếp tuyến với bài toán tương giao
Viết phương trình hoành độ giữa đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=ax+b$. Gọi $A\left( {{x}_{i}};a{{x}_{i}}+b \right)$ là tọa độ giao điểm khi đó ${{k}_{i}}={f}’\left( {{x}_{i}} \right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm A.
Bài tập trắc nghiệm tiếp tuyến và tương giao có đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1}\left( C \right)$. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng $d:y=x+m$ luôn cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại A và B. Tìm m để tổng ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{-x+1}{2\text{x}-1}=x+m\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( 2\text{x}-1 \right)=-x+1$ (Do $x=\frac{1}{2}$ không phải là nghiệm) $\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}-m-1=0\left( * \right)$.
Ta có: ${\Delta }’={{m}^{2}}+2m+2>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow d$ luôn cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-m-1}{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó ${{k}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-1}{{{\left( 2{{\text{x}}_{1}}-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( 2{{\text{x}}_{2}}-1 \right)}^{2}}}=-\frac{4{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2}{{{\left[ 4{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1 \right]}^{2}}}$
$=-4{{m}^{2}}-8m-6=-4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\le -2$.
Do đó ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow m=-1$.
| Ví dụ 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+3\left( C \right)$. Viết phương trình đường thẳng d qua $A\left( 0;3 \right)$ và cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau. |
Lời giải
Phương trình đường thẳng d là: $y=k\text{x}+3$
Phương trình hoành độ giao điểm là: ${{x}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+3=k\text{x}+3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{3}}=0\Rightarrow A\left( 0;3 \right) \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}+4\text{x}-k=0 \\ \end{array} \right.$
Để d cắt $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’=4+k>0 \\ {} k\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\ne k>-4$
Khi đó gọi, $B\left( {{x}_{1}};k{{\text{x}}_{1}}+3 \right)$, $C\left( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+3 \right)$$\Rightarrow {{k}_{1}}={y}’\left( {{x}_{1}} \right)=3\text{x}_{1}^{2}+8{{\text{x}}_{1}},{{k}_{2}}=3\text{x}_{2}^{2}+8{{\text{x}}_{2}}$
Để các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau $\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$
$\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}\left( 3{{\text{x}}_{1}}+8 \right)\left( 3{{\text{x}}_{2}}+8 \right)=-1\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}\left( 9{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}+24\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+64 \right)=-1$
$\Leftrightarrow -k\left( -9k-32 \right)=-1\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+32k+1=0\Leftrightarrow k=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}$ (thỏa mãn)
Vậy $k=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}\Rightarrow d_y=\frac{-16\pm \sqrt{247}}{9}x+3$.
| Ví dụ 3: Gọi ${{k}_{1}}$ và ${{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của $\left( C \right):y=\frac{x-1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=2\text{x}+1$. Giá trị của ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}$ là:
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{x-1}{x-2}=2\text{x}+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 2 \\ {} 2{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}$
Mặt khác ta có: ${y}’=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}={y}’\left( \frac{2+\sqrt{6}}{2} \right)+{y}’\left( \frac{2-\sqrt{6}}{2} \right)=20$. Chọn C.
| Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-2m\text{x}$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tổng hệ số góc tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A và B bằng 4.
A. $m=2$ B. $m=-2$ C. $m=-3$ D. $m=3$ |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{2}}-2m\text{x}+1=0$
Đk cắt tại 2 điểm phân biệt là: ${\Delta }’={{m}^{2}}-1>0$. Khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hoành độ giao điểm thì $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$
Lại có ${y}’=2\text{x}-2\Rightarrow {y}’\left( {{x}_{1}} \right)+{y}’\left( {{x}_{2}} \right)=2{{\text{x}}_{1}}-2+2{{\text{x}}_{2}}-2=4m-4=4\Leftrightarrow m=2$. Chọn A.
| Ví dụ 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\text{x}+2\left( C \right)$. Số các giá trị của m để $\left( C \right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $A\left( 1;0 \right)$, B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C của $\left( C \right)$ song song với nhau.
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 |
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm là: ${{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\text{x}+2=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x-2=0 \\ \end{array} \right.$
+) Để $\left( C \right)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}+8>0 \\ {} g\left( 1 \right)=-3m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$
Khi đó gọi, $B\left( {{x}_{1}};0 \right),C\left( {{x}_{2}};0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m+2 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2 \\ \end{array} \right.\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)$
Ta có: ${{k}_{1}}={y}’\left( {{x}_{1}} \right)=3\text{x}_{1}^{2}-6\left( m+1 \right){{x}_{1}}+3m,{{k}_{2}}={y}’\left( {{x}_{2}} \right)=3x_{2}^{2}-6\left( m+1 \right){{x}_{2}}+3m$
Do tiếp tuyến tại B và C song song nên ta có: ${{k}_{1}}={{k}_{2}}\Leftrightarrow x_{1}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{1}}=x_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2m-2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2\Leftrightarrow 3m+2=2m+2\Leftrightarrow m=0$ (t/m). Chọn A.
| Ví dụ 6 [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $A\in \left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ (M, N khác A) thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=6\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$?
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Từ giả thiết ta được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( 1;6 \right)$.
Suy ra hệ số góc của đường thẳng MN bằng 6.
Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ ta có: ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=6\Leftrightarrow x_{0}^{3}-7{{\text{x}}_{0}}=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{0}}=3 \\ {} {{x}_{0}}=-1 \\ {} {{x}_{0}}=-2 \\ \end{array} \right.$.
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là $y=6x-\frac{117}{4}$, $y=6\text{x}+\frac{11}{4}$, $y=6\text{x}+2$.
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm
Ta xét phương trình $\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}=6\text{x}+m\Leftrightarrow g\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}-6\text{x}=m\left( * \right)$.
Khi đó ${g}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-7\text{x}-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=-1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Ta được bảng biến thiên sau:
Dựa vào BBT suy ra $m=\frac{11}{4}$, $m=2$ thì phương trình (*) có ba nghiệm.
Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}\left( C \right)$. Biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ có cùng hệ số góc $k=5$. Biết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$ giá trị của m là:
A. $m=\pm 1$ B. $m=\pm \sqrt{2}$ C. $m=\pm 2$ D. $m=\pm \sqrt{3}$ |
Lời giải
Ta có ${y}’\left( {{x}_{1}} \right)={y}’\left( {{x}_{2}} \right)=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 3\text{x}_{1}^{2}+6m{{\text{x}}_{1}}+2=5 \\ {} 3\text{x}_{2}^{2}+6m{{\text{x}}_{1}}+2=5 \\ \end{array} \right.$. Khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình
$3{{\text{x}}^{2}}+6m\text{x}+2=5$ hay ${{x}^{2}}+2m\text{x}-1=0\left( {{m}^{2}}+1>0 \right)$. Theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.$
Lại có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\text{x}}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}}+2=10\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$. Chọn B.
| Ví dụ 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{\text{x}}^{2}}+3\left( m+1 \right)x\left( C \right)$. Số các giá trị nguyên của m để trên $\left( C \right)$ tồn tại 2 điểm $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ phân biệt sao cho tiếp tuyến tại M và N cùng vuông góc với đường thẳng $d:x-3y+2=0$ và $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\sqrt{5}$.
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 |
Lời giải
Viết lại $d:y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$. ${y}’=3{{\text{x}}^{2}}-6m\text{x}+3\left( m+1 \right)$
Ta có: ${y}’\left( {{x}_{1}} \right).\frac{1}{3}=-1$, ${y}’\left( {{x}_{2}} \right).\frac{1}{3}=-1$ nên ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT: ${{x}^{2}}-2m\text{x}+m+1=-1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2m\text{x}+m+2=0\left( 1 \right)$
Để tồn tại 2 điểm M, N thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }’={{m}^{2}}-m-2>0 \\ {} 2m>0 \\ {} m+2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\left( \sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2m+2\sqrt{m+2}=20$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m<10 \\ {} m+2={{\left( 10-m \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=7$ ™. Chọn A.
