Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán tìm m để hàm số có tiệm cận
þ Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $c\ne 0$ .
– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $ad-bc\ne 0$.
þ Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{x-{{x}_{0}}}$ với $a\ne 0$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không có nghiệm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow g\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0$.
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow g\left( {{x}_{0}} \right)=0$.
þ Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x-{{x}_{0}}}{a{{x}^{2}}+bx+c}\,\,\left( C \right)$ với $a\ne 0$.
– Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khác ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} g\left( {{x}_{0}} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0$.
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta <0$.
þ Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}\,\,\,\,\left( C \right)$ với $a\ne 0,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.
– Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không nhận ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} g\left( {{x}_{1}} \right)\ne 0 \\ {} g\left( {{x}_{2}} \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{1}}$ hoặc $x={{x}_{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array} {} g\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\ {} g\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\ \end{array} \right.$ (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ nhận $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}$ là nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} g\left( {{x}_{1}} \right)=0 \\ {} g\left( {{x}_{2}} \right)=0 \\ \end{array} \right..$
þ Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$.
– Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$.
