Xét tính đơn điệu của hàm số – phương pháp và lý thuyết
Định nghĩa về đồng biến nghịch biến:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $v=f\left( x \right)$ xác định trên K.
■ Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà thì $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ tức là ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$.
■ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà ${{x}_{1}}f\left( {{x}_{2}} \right)$ tức là ${{x}_{1}}f\left( {{x}_{2}} \right)$.
Bài tập minh họa có đáp án
| Ví dụ 1: Xét hàm số $y=f\left( x \right)=2x+1$ |
Xét ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}<2{{x}_{2}}\Rightarrow 2{{x}_{1}}+1<2{{x}_{2}}+1\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ suy ra hàm số $y=f\left( x \right)=2x+1$ là một hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
| Ví dụ 2: Hàm số $y=f\left( x \right)=-7x+2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, vì: Giả sử ${{x}_{1}}0\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$ suy ra hàm số $y=f\left( x \right)=-7x+2$ là một hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. |
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: $\forall {{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}\in K$ và ${{x}_{1}}\ne \text{ }{{x}_{2}}$, thì hàm số
$f\left( x \right)$ đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$
$f\left( x \right)$ nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0$
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
Định lý về tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K.
- a) Nếu ${f}’\left( x \right)>0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên K.
- b) Nếu ${f}’\left( x \right)<0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên K.
Tóm lại xét trên K $K:{f}’\left( x \right)>0\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến; ${f}’\left( x \right)<0\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến.
Chú ý: Nếu ${f}’\left( x \right)=0\text{ }\left( \forall x\in K \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$là hàm số không đổi trên K.
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG
| Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K. Nếu ${f}’\left( x \right)\ge 0\left( {f}’\left( x \right)\le 0 \right),\text{ }\forall x\in K$ và ${f}’\left( x \right)=0$chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. |
Ví dụ: Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+10$ thì ${y}’=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$, dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm $x=1$ do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.
