Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số: liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách
Phương pháp giải bài toán xác định điểm thuộc đồ thị hàm số
Điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Rightarrow M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Ox$ bằng: $d\left( M;Ox \right)=\left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right|$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Oy$ bằng: $d\left( M;Oy \right)=\left| {{x}_{0}} \right|$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ là: $d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b.f\left( {{x}_{0}} \right)+C \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
§ Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng $\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right)}^{2}}}$.
Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có đáp án
|
Bài tập 1: Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x-1}\left( C \right)$. Tìm điểm M thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ bằng $\sqrt{2}$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{a+2}{a-1} \right)\in \left( C \right),\,\left( a\ne 1 \right).$
Khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ là: $d=\frac{\left| a+\frac{a+2}{a-1} \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{a}^{2}}+2 \right|=2\left| a-1 \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}^{2}}-2a+4=0 \\ {{a}^{2}}+2a=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0\Rightarrow M\left( 0;-2 \right) \\ a=-2\Rightarrow M\left( -2;0 \right) \\\end{array} \right.$
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là $M\left( 0;-2 \right)$ hoặc $M\left( -2;0 \right)$.
|
Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)$. Gọi M là điểm nằm trên đồ thị $\left( C \right)$ và $H,K$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục $Ox$ và $Oy$. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác $MHOK$ có diện tích bằng 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Tứ giác $MHOK$ là hình chữ nhật.
Ta có: ${{S}_{MHOK}}=MH.MK=d\left( M;Ox \right).d\left( M;Oy \right)$
$=\left| a \right|.\left| \frac{2a+1}{a-1} \right|=\left| \frac{2{{a}^{2}}+a}{a-1} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}+a=2a-2 \\ 2{{a}^{2}}+a=-2a+2 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-a+2=0 \\ 2{{a}^{2}}+3a-2=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-2 \\\end{array} \right.$
Vậy $M\left( \frac{1}{2};4 \right)$ hoặc $M\left( -2:1 \right)$. Chọn C.
|
Bài tập 3: Cho hàm số $y=\frac{-x-1}{x-1}\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $M\in \left( C \right)$ để khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta :y=2x-1$ bằng $\frac{3}{\sqrt{5}}$. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{-a-1}{a-1} \right)\in \left( C \right)\,\left( a\ne 1 \right)$. Ta có: $\Delta :2x-y-1=0\Rightarrow d\left( M;\Delta \right)=\frac{\left| 2a+\frac{a+1}{a-1}-1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$
$\Leftrightarrow \left| 2{{a}^{2}}-2a+2 \right|=3\left| a-1 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-2a+2=3a-3 \\ 2{{a}^{2}}-2a+2=-3a+3 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-5a+5=0 \\ 2{{a}^{2}}+a-1=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=\frac{1}{2} \\ a=-1 \\\end{array} \right.$
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
|
Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2x+1$. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1. A. $M\left( 1;0 \right)$ hoặc $M\left( -1;2 \right)$. B. $M\left( 0;1 \right)$ hoặc $M\left( 2;-1 \right)$. C. $M\left( 1;0 \right)$. D. $M\left( 2;-1 \right)$. |
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=1\Rightarrow {{y}_{M}}=0 \\ {{x}_{M}}=-1\Rightarrow {{y}_{M}}=2 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} M\left( 1;0 \right) \\ M\left( -1;2 \right) \\\end{array} \right.$
Chọn A.
|
Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $K\left( 1;-3 \right)$. Biết điểm $M\left( x;y \right)$ trên $\left( C \right)$ thỏa mãn ${{x}_{M}}\ge -1$ và độ dài $KM$ nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng $OM$. A. $y=2x.$ B. $y=-x.$ C. $y=\sqrt{3}x.$ D. $y=-2x.$ |
Lời giải chi tiết
Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( x;{{x}^{3}}-3x \right)$ với $x\ge -1$.
Ta có $\overline{KM}=\left( x-1;{{x}^{3}}-3x+3 \right)\Rightarrow KM=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}}$. Đặt $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right)}^{2}}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;+\infty \right)$, ta có ${f}’\left( x \right)=2\left( x-1 \right)+6\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right);\,\forall x\ge -1.$
Phương trình ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right).\underbrace{\left[ 1+3\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3x+3 \right) \right]}_{g\left( x \right)}=0\Leftrightarrow x=1$ vì $g\left( x \right)\ge 0;\,\forall x\ge -1.$
Giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ bằng 1. Dấu$”=”$ xảy ra khi $x=1\Rightarrow M\left( 1;-2 \right)\Rightarrow \left( OM \right):y=-2x.$
Chọn D.
|
Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}\,\left( C \right)$. Tổng khoảng cách từ một điểm M trên $\left( C \right)$ đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. $2\sqrt{3}.$ B. $2.$ C. $4.$ D. $4\sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi điểm $M\left( a;\frac{2a-1}{a+1} \right)\in \left( C \right)$. Hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ là $x=-1$ và $y=2.$
Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{d}_{1}}=d\left( M,x=-1 \right)=\left| a+1 \right| \\ {{d}_{2}}=d\left( M,y=2 \right)=\frac{3}{\left| a+1 \right|} \\\end{array}. \right.$
Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\left| a+1 \right|+\frac{3}{\left| a+1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a+1 \right|.\frac{3}{\left| a+1 \right|}}=2\sqrt{3}.$
Chọn A.
|
Bài tập 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. A. $M\left( -1;0 \right).$ B. $M\left( 1;0 \right).$ C. $M\left( 2;0 \right).$ D. $M\left( 1;0 \right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=0\Rightarrow y=2 \\ x=2\Rightarrow y=-2 \\\end{array} \right.\Rightarrow A\left( 0;2 \right);B\left( 2;-2 \right)$. Gọi $M\left( t;0 \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4={{\left( t-2 \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;0 \right)$.
Chọn D.
|
Bài tập 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ mà khoảng cách từ M đến trục $Oy$bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục $Ox$? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{a+2}{a-1} \right)\left( a\ne 1 \right)\in $ đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: $d\left( M;Oy \right)=\left| a \right|;d\left( M;Ox \right)=\left| \frac{a+2}{a-1} \right|$
Theo giả thiết ta có: $\left| \frac{a+2}{a-1} \right|=2\left| a \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{a+2}{a-1}=2a \\ \frac{a+2}{a-1}=-2a \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-3a-2=0 \\ -2{{a}^{2}}+a-2=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=2;a=-\frac{1}{2}$
Vậy có 2 điểm $A\left( 2;4 \right)$ và $B\left( -\frac{1}{2};-1 \right)$. Chọn C.
|
Bài tập 9: Tìm trên đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang của đồ thị. A. $M\left( -4;\frac{7}{5} \right)$ hoặc $M\left( 2;5 \right)$. B. $M\left( 4;3 \right)$ hoặc $M\left( -2;1 \right).$ C. $M\left( 4;3 \right)$ hoặc $M\left( 2;5 \right).$ D. $M\left( -4;\frac{7}{5} \right)$ hoặc $M\left( -2;1 \right)$. |
Lời giải chi tiết
Tiệm cận đứng: $x=1$. Tiệm cận ngang $y=2$. Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)$
Khi đó: $d\left( M;TCN \right)=\left| \frac{2a+1}{a-1}-2 \right|=\frac{3}{\left| a-1 \right|},\,d\left( M;TCD \right)=\left| a-1 \right|.$
Theo bài ra ta có: $\left| a-1 \right|=3.\frac{3}{\left| a-1 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=4\Rightarrow M\left( 4;3 \right) \\ a=-2\Rightarrow M\left( -2;1 \right) \\\end{array} \right..$
Chọn B.
|
Bài tập 10: Giả sử đường thẳng $d:x=a,a>0$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{0}}$. A. ${{y}_{0}}=-1.$ B. ${{y}_{0}}=5.$ C. ${{y}_{0}}=1.$ D. ${{y}_{0}}=2.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{2a+1}{a-1} \right)\,\left( a>0 \right)$ là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: $x=1$
Khi đó $d\left( M;x=1 \right)=1\Leftrightarrow \left| a-1 \right|=1\xrightarrow{a>0}a=2\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{2a+1}{a-1}=5$.
Chọn B.
|
Bài tập 11: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}\left( C \right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc $\left( C \right)$ sao cho tích khoảng cách từ điểm $M$ đến trục $Ox$ và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng A. $-1.$ B. $\frac{9}{2}.$ C. $8.$ D. $4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $M\left( a;\frac{a+1}{a-2} \right)\left( a\ne 2 \right)$. TCĐ: $x=2$ và TCN: $y=1$
a) Ta có: $d\left( M;Ox \right)=\left| \frac{a+1}{a-2} \right|={{d}_{1}}$; $d\left( M;TCN:y=1 \right)=\left| \frac{a+1}{a-2}-1 \right|=\frac{3}{\left| a-2 \right|}={{d}_{2}}$
Theo bài ra ta có: ${{d}_{1}}{{d}_{2}}=\left| \frac{3\left( a+1 \right)}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}} \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{a+1}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=2 \\ \frac{a+1}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=-2 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-9a+7=0 \\ 2{{a}^{2}}-7a+9=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=1\Rightarrow M\left( 1;-2 \right) \\ a=\frac{7}{2}\Rightarrow M\left( \frac{7}{2};3 \right) \\\end{array} \right.$
Vậy $M\left( 1;-2 \right)$ hoặc $M\left( \frac{7}{2};3 \right)$ là các điểm cần tìm. Chọn B.
