CÁCH NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( a\ne 0 \right)$
1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị hàm bậc 4
Giới hạn
– Với $a>0$ thì $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $.
– Với $a<0$ thì $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $.
Đạo hàm và cực trị: ${y}’=4a{{x}^{2}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right)$ nên ${y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} {{x}^{2}}=-\frac{b}{2a} \\ \end{array} \right.$
– Với $ab\ge 0$ thì hàm số có một điểm cực trị $x=0$.
– Với $ab<0$ thì hàm số có 3 điểm cực trị $x=0,\,\,x=\pm \sqrt{\frac{-b}{2a}}$
2. Bảng biến thiên hàm trùng phương
3. Đồ thị hàm số bậc 4
|
|
$ab\ge 0$ |
$ab<0$ |
|
$a>0$ |
|
|
|
$a<0$ |
|
|
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
4. Phương pháp giải toán
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( a\ne 0 \right)$ ta làm như sau:
Dựa vào $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ để xác định hệ số $a$:
Dựa vào giao điểm với trục tung $\left( 0;d \right)$ suy ra tính chất của hệ số $d$
Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số và hệ số a để xác định hệ số b.
– Với $ab\ge 0$ thì hàm số có một cực trị.
– Với $ab<0$ thì hàm số có 3 cực trị.
