Tìm điểm m thuộc P sao cho u=ma+mb+mc có u min nhỏ nhất
Bài toán:
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}$có $\left| \overrightarrow{u} \right|$đạt min.
Phương pháp giải:
+Tìm điểm I thõa mãn hệ thức $a\overrightarrow{IB}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ tọa độ điểm I là: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=\frac{a{{x}_{A}}+b{{x}_{B}}+c{{x}_{C}}}{a+b+c} \\ {} {{y}_{1}}=\frac{a{{y}_{A}}+b{{y}_{B}}+c{{y}_{C}}}{a+b+c} \\ {} {{z}_{1}}=\frac{a{{z}_{A}}+b{{z}_{B}}+c{{z}_{C}}}{a+b+c} \\ \end{array} \right.$
Phân tích $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=\left( a+b+c \right)\overrightarrow{MI}+\left( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right)=\left( a+b+c \right)\overrightarrow{MI}$
Khi đó $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| a+b+c \right|MI\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{u} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow $M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) $\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{IM}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$
Khi đó $M=\left( P \right)\cap \left( IM \right)$.
Bài tập cực trị oxyz có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho các điểm $A\left( 2;1;-1 \right);\text{ }B\left( 0;3;1 \right)$và $(P):x+y-z+3=0$. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) ${{\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|}_{\min }}$. b) ${{\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|}_{\min }}$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $I\left( 1;2;0 \right)$ là trung điểm của AB thì $\left| \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right|=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow $là M là hình chiếu của điểm I trên (P)
Phương trình đường thẳng MI là: $\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2+t \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 1+t;2+t;-t \right)$
Cho $M\in (P)\Rightarrow 1+t+2+t+t+3=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow M\left( -1;0;2 \right)$.
b) Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}{2-1}=4 \\ {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}{2-1}=-1 \\ {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}-{{z}_{B}}}{2-1}=-3 \\ \end{array} \right.$
Ta có: $\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right) \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI$nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của điểm I trên (P). Phương trình đường thẳng MI là: $\left\{ \begin{array} {} x=4+t \\ {} y=-1+t \\ {} z=-3-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 4+t;-1+t;-3-t \right)$
Cho $M\in (P)\Rightarrow 4+t-1+t+3+t+3=0\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow M\left( 1;-4;0 \right)$.
| Bài tập 2: Cho các điểm $A\left( 1;0;-1 \right);\text{ }B\left( 2;-2;1 \right)C\left( 0;-1;0 \right)$ và $(P):x-2y+2z+6=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) ${{\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|}_{\min }}$. b) ${{\left| 2\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|}_{\min }}$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} G(0;1;-2) \\ {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3MG$ $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).
Phương trình đường thẳng MG khi đó là: $\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1-2t \\ {} z=-2+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( t;-1-2t;-2+2t \right)$
Cho $M\in (P)\Rightarrow t+4t-2+4t-4+6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow M\left( 0;1;-2 \right)$.
b) Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}-4{{x}_{B}}+3{{x}_{C}}}{2-4+3}=-6 \\ {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}-4{{y}_{B}}+3{{y}_{C}}}{2-4+3}=5 \\ {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}-4{{z}_{B}}+3{{z}_{C}}}{2-4+3}=-6 \\ \end{array} \right.$
Phương trình đường thẳng MI khi đó là: $\left\{ \begin{array} {} x=-6+t \\ {} y=5-2t \\ {} z=-6+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( -6+t;5-2t;-6+2t \right)$
Cho $M\in (P)\Rightarrow -6+t+4t-10+4t-12+6=0\Leftrightarrow t=\frac{22}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-32}{9};\frac{89}{9};-\frac{10}{9} \right)$.
| Bài tập 3: Cho các điểm $A\left( 4;1;-1 \right);\text{ }B\left( 2;3;-2 \right)C\left( 6;3;-12 \right)$ và $(P):x+2y-z+1=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ${{\left| 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|}_{\min }}$. Độ dài đoạn thẳng OM là:
A. $OM=\sqrt{5}$. B. $OM=\sqrt{3}$. C. $OM=3$. D. $OM=9$. |
Lời giải chi tiết
Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=\frac{2{{x}_{A}}+3{{x}_{B}}-{{x}_{C}}}{2+3-1}=2 \\ {} {{y}_{1}}=\frac{2{{y}_{A}}+3{{y}_{B}}-{{y}_{C}}}{2+3-1}=2 \\ {} {{z}_{1}}=\frac{2{{z}_{A}}+3{{z}_{B}}-{{z}_{C}}}{2+3-1}=1 \\ \end{array} \right.$
Phương trình đường thẳng MI khi đó là: $\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=2+2t \\ {} z=1-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 2+t;2+2t;1-t \right)$
Cho $M\in (P)\Rightarrow 2+t+4t+4+t-1+1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{5}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Trong không gian tọa độ $Oxyz$cho tam giác ABC có $A\left( -1;2;3 \right);\text{ }B\left( 3;0;-1 \right)C\left( 1;4;7 \right)$ và $(P):x-2y+2z+6=0$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$nhỏ nhất. Giá trị biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$là.
A. $T=10$. B. $T=17$. C. $T=21$. D. $T=26$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $G\left( 1;2;3 \right)$ là trọng tâm tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$
=$3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)
Phương trình MG: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{2}$suy ra $M=MG\cap (P)\Rightarrow M(0;4;1)$
Do đó $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=17$ . Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng cho 3 điểm $A\left( 0;-3;1 \right);\text{ }B\left( 2;7;1 \right)$ và $C\left( 1;0;3 \right)$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x+y-z-3=0$ . Gọi $M\left( a;b;c \right)$ trên (P) sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất. Tính giá trị của $T=a+2b-3c$.
A. $T=0$. B. $T=4$. C. $T=3$. D. $T=-1$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn $\left| \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right|=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+2{{x}_{C}}}{1+1+2}=1 \\ {} {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+2{{y}_{C}}}{1+1+2}=2 \\ {} {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+2{{z}_{C}}}{1+1+2}=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow I\left( 1;1;2 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{MI}$
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow $M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P).
Ta có: $IM:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}\Rightarrow M=MI\cap (P)\Rightarrow M(2;1;0)T=4$. Chọn B.
