Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị
Phương pháp giải:
Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.
Biến đổi giả thiết về dạng $y=f\left( t \right)$ và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số$y=f\left( t \right)$.
Chú ý:
Tam thức bậc hai: \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)\)có đỉnh \(I\left( \frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a} \right).\)
Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ \(\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left( c;d \right)\) ta có: \(\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|\)
Khi đó \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}\) dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}.\)
Câu hỏi trắc nghiệm cực trị hình học oxyz có đáp án và lời giải chi tiết
|
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\)cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}\) và hai điểm \(A\left( 2;-1;1 \right)\); \(B\left( 0;1;-2 \right)\) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. . |
Lời giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=3-t \\ & z=-1+2t \\ \end{align} \right.\)
Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên \(M\left( t;3-t;-1+2t \right)\).
Diện tích tam giác M được tính bởi \(\text{S=}\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM} \right] \right|\)trong đó \(\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-t;2t-2 \right) \\ & \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-3 \right) \\ \end{align} \right.\)
Do đó \({{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( -8-t;-t-2;4 \right) \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( t+8 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}+16}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\left( t+5 \right)+34}\ge \frac{1}{2}\sqrt{34}.\) Vậy \(minS=\frac{\sqrt{34}}{2}t=-5\Rightarrow M\left( -5;8;-11 \right).\)
|
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\)cho ba điểm \(A\left( 1;0;-1 \right);B\left( 0;2;3 \right);C\left( -1;1;1 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}\) Tìm điểm M trên d sao cho: a) \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất? b) \({{\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC} \right|}_{\min }}\)đạt giá trị nhỏ nhất. |
Lời giải:
a) Gọi \(M\left( -1+t;1-2t;2t \right)\in d\) và I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( -5;0;-1 \right)\)
Biến đổi \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}\)lớn nhất \(\Leftrightarrow M{{I}^{2}}\)nhỏ nhất
Lại có: \(M{{I}^{2}}={{\left( t+4 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}=9{{t}^{2}}+8t+18\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow t=-\frac{4}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-13}{7};\frac{17}{9};\frac{-8}{9} \right).\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{AM}\left( t-2;1-2t;2t+1 \right);\overrightarrow{BC}=\left( -1;-1;-2 \right)\)
Khi đó \({{\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC} \right|}_{\min }}=\left| \left( t-3;-2t;2t-1 \right) \right|=\sqrt{{{\left( t-3 \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{9{{t}^{2}}-10t+10}\)nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow t=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{9}\Rightarrow M\left( \frac{-13}{9};\frac{-1}{9};\frac{19}{9} \right).\)
|
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\)cho hai điểm \(A\left( 0;0;3 \right);B\left( 0;3;3 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\) Tìm điểm M trên d sao cho: a) \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất b) \(MA+MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. |
Lời giải:
a) Gọi\(M\left( t;t;t \right)\) ta có: \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=2t+{{(t-3)}^{2}}+2\left[ {{t}^{2}}+2{{\left( t-3 \right)}^{2}} \right]=9{{t}^{2}}-30t+45\) đạt giá trị nhỏ nhất
$t=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{3}\Rightarrow M\left( \frac{5}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right).$
b) Ta có: \(MA+MB==\sqrt{2{{t}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{t}^{2}}+2{{\left( t-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{3}\left( \sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}+\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+2} \right)\)
\(=\sqrt{3}\left( \sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}+\sqrt{{{\left( 2-t \right)}^{2}}+2} \right)\ge \sqrt{3}.\sqrt{{{\left( t-1+2-t \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}=3\sqrt{3}.\)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{t-1}{2-t}=1\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right).$
|
Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\), gọi là điểm thuộc ssss sao cho A. x$OM=\sqrt{87}.$ B. $OM=\sqrt{93}.$ C. $OM=\sqrt{41}.$ D. $OM=3\sqrt{3}.$ |
nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng OM là. Lời giải:
Gọi $M\left( 2-t;-1-t;2t \right)$ khi đó $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=3{{\left( t-2 \right)}^{2}}+2{{\left( t+1 \right)}^{2}}-4{{t}^{2}}$
$={{t}^{2}}-8t+14={{\left( t-4 \right)}^{2}}-2\ge -2$. Do đó ${{A}_{\min }}=-2$ khi $t=4\Rightarrow M\left( -2;-5;8 \right)$
Khi đó $OM=\sqrt{93}$. Chọn B.
|
Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\)cho ba điểm \(A\left( -1;1;6 \right);B\left( -3;-2;-4 \right);C\left( 1;2;-1 \right)D\left( 2;-2;0 \right)\). Gọi $M(a;b;c)$làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính $S=a+b+c$. A. $S=-1.$ B. $S=1.$ C. $S=-2.$ D. $S=2.$ |
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow{CD}\left( 1;-4;1 \right)$. Phương trình đường thẳng CD là: $CD:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=-2-4t. \\ & z=t \\ \end{align} \right.$
Vì $M\in CD$ nên $M\left( 2+t;-2-4t;t \right)$.
Chu vi tam giác MAB là: $P=AB+MA+MB$ Vì A,B cố định nên AB không đổi.
Ta có: $P=AB+\sqrt{{{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 4t+3 \right)}^{2}}+{{\left( t-6 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( t+5 \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}}$
=$\sqrt{18{{t}^{2}}+18t+18}+\sqrt{18{{t}^{2}}+18t+41}=\sqrt{18{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{27}{2}}+\sqrt{18{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{73}{2}}\ge \sqrt{\frac{27}{2}}+\sqrt{\frac{73}{2}}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right)\Rightarrow S=\frac{3}{2}+0-\frac{1}{2}=1$. Chọn B.
|
Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\)cho hai điểm \(A\left( -1;3;-2 \right);B\left( 1;1;4 \right)\) và đường thẳng D có phương trình $\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$ . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó độ dài OM là. A. $OM=\sqrt{3}.$ B. $OM=3.$ C. $OM=2.$ D. $OM=\sqrt{5}.$ |
Lời giải:
Gọi $M\left( -1+2t;-2-t;2t \right)$ ta có: ${{C}_{ABC}}$nhỏ nhất $\Leftrightarrow P=MA+MB$nhỏ nhất.
Khi đó $P=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{\left( t+5 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{9{{t}^{2}}+18t+29}+\sqrt{9{{t}^{2}}-18t+29}=\sqrt{{{\left( 3t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}$
Trong mặt phẳng tọa độ gọi \(\overrightarrow{u}=\left( 3t+1;2\sqrt{5} \right);\overrightarrow{v}=\left( 1-3t;2\sqrt{5} \right);\)
Ta có: \(\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|\Rightarrow P\ge \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 4\sqrt{5} \right)}^{2}}}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{3t+1}{1-3t}=1\Leftrightarrow t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;0 \right)\)do đó \(OM=\sqrt{5}\) . Chọn D.
|
Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ\(Oxyz\), cho hai đường thẳng\({{\Delta }_{1}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}\) và \({{\Delta }_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}\). Một mặt phẳng (P) vuông góc với \({{\Delta }_{1}}\), cắt trục \(Oz\) tại A và cắt \({{\Delta }_{2}}\) tại B. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AB. A. \(\frac{2\sqrt{30}}{5}\). B. \(\frac{2\sqrt{31}}{5}.\) C. \(\sqrt{\frac{6}{5}}.\) D. \(\frac{24}{5}.\) |
Lời giải:
Gọi \(A\left( 0;0;a \right)\)và \(B\left( b+1;2b;b-2 \right)\)suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( b+1;2b;b-a-2 \right)\).
Vì \(AB\subset \left( P \right)\)và vuông góc với\(\left( {{\Delta }_{1}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{\left( {{\Delta }_{1}} \right)}}}=0\Leftrightarrow 2\left( b+1 \right)-2b+b-a-2=0\Leftrightarrow a=b.\)
Khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( a+1;2a;-2 \right)\Rightarrow AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4}=\sqrt{5{{a}^{2}}+2a+5}\)
\(=\sqrt{5{{\left( a+\frac{1}{5} \right)}^{2}}+\frac{24}{5}}\ge \sqrt{\frac{24}{5}}=\frac{2\sqrt{30}}{5}\Rightarrow A{{B}_{\min }}=\frac{2\sqrt{30}}{5}\)
Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là \(\frac{2\sqrt{30}}{5}\). Chọn A.
