Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước

Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp xác định điểm M trên mặt phẳng P sao cho MA=MB

Cách 1: Do $MA=MB\Rightarrow $điểm M thuộc mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB (mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB).

Khi đó $M\in d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$, ta tham số hóa điểm M theo ẩn t và thế vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.

Để viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) ta có thể cho $x=t$ và tìm y và z theo ẩn t.

Cách 2: Gọi tọa độ $M\left( x;y;z \right)$ giải hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình $M\in \left( P \right);M\in \left( Q \right)$và điều kiện K để tìm tọa độ điểm M.

Bài tập trắc nghiệm tìm điểm m trong tọa độ không gian oxyz

Bài tập 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 0;-2;3 \right)$ và mặt phẳng  $\left( P \right):2x-y-z+4=0$.Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB=3$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua $I\left( 1;-1;2 \right)$ và có VTPT là 

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right)$suy ra $\left( Q \right):x+y-z+2=0\Rightarrow M\in \left( P \right)\cap \left( Q \right).$

Cho $x=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} y+z=2t+4 \\  {} y-z=-t-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} y=\frac{1}{2}t+1 \\  {} z=\frac{3}{2}t+3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( t;\frac{t}{2}+1;\frac{3t}{2}+3 \right)$

Ta có: $M{{A}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{t}{2}+1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3t}{2}+2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \frac{7}{2}{{t}^{2}}+3t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=0\Rightarrow M\left( 0;1;3 \right) \\  {} t=-\frac{6}{7}\Rightarrow M\left( -\frac{6}{7};\frac{4}{7};\frac{12}{7} \right) \\ \end{array} \right..$

Bài tập 2: Cho ba điểm $A\left( 3;1;2 \right),B\left( -1;1;0 \right),C\left( 0;1;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x+2z-5=0$. Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB$và $MC=\sqrt{11}$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB đi qua $I\left( 1;1;1 \right)$ có VTPT:

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( -4;0;-2 \right)=-2\left( 2;0;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):2x+z-3=0.$

Khi đó điểm $M=\left( P \right)\cap \left( Q \right):\left\{ \begin{array}  {} 3x+2z-5=0 \\  {} 2x+z-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} y=t \\  {} z=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 1;t;1 \right)$

Lại có: $M{{C}^{2}}=1+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+9=11\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=0\Rightarrow M\left( 1;0;1 \right) \\  {} t=2\Rightarrow M\left( 1;2;1 \right). \\ \end{array} \right.$

Bài tập 3: Cho ba điểm $A\left( 1;0;-2 \right),B\left( -1;2;4 \right),C\left( 4;5;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+3z-10=0$.  Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB$và $MB\bot MC$.

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là $I\left( 0;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left( -2;2;6 \right)=-2\left( 1;-1;-3 \right)$

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: $\left( Q \right):x-y-3z+4=0$

Khi đó điểm $M=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. Cho $z=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x+y=-3t+10 \\  {} x-y=3t-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=3 \\  {} y=-3t+7 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( 3;-3t+7;t \right)$

Mặt khác $MB\bot MC\Rightarrow \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\Leftrightarrow \left( -4;3t-5;-t+4 \right)\left( 1;3t-2;3-t \right)=0$

$\Leftrightarrow -4+\left( 3t-5 \right)\left( 3t-2 \right)+\left( 4-t \right)\left( 3-t \right)=0\Leftrightarrow 10{{t}^{2}}-28t+18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1\Rightarrow M\left( 3;4;1 \right) \\  {} t=\frac{9}{5}\Rightarrow M\left( 3;\frac{8}{5};\frac{9}{5} \right). \\ \end{array} \right.$

Bài tập 4: Cho hai điểm $A\left( 2;-1;1 \right);B\left( 0;3;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-z=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$trên (P) thỏa mãn $MA=MB=3\sqrt{10}$. Biết ${{x}_{M}}>0$, tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$. A. $T=-9.$ B. $T=14.$ C. $T=-12.$ D. $T=9.$

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là $I\left( 1;1;2 \right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left( -2;4;2 \right)=-2\left( 1;-2;-1 \right)$

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: $\left( Q \right):x-2y-z+3=0$

Khi đó điểm $M=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. Cho $x=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} t=z \\  {} 2y=x-z+3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} z=2t \\  {} y=\frac{-t+3}{2} \\ \end{array} \right.$(với ${{x}_{M}}=t>0$)

Suy ra $M\left( t;\frac{-t}{2}+\frac{3}{2};2t \right)$, lại có: $M{{A}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-t}{2}+\frac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}=90$

$\Leftrightarrow \frac{21}{4}{{t}^{2}}-\frac{21}{2}t-\frac{315}{4}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=5 \\  {} t=-3 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{t>0}t=5\Rightarrow M\left( 5;-1;10 \right)$

Vậy $a+b+c=14$. Chọn B.

Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm $A\left( 3;5;4 \right),B\left( 3;1;4 \right)$và mặt phẳng  $\left( P \right):x-y-z-1=0$. Điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng $2\sqrt{17}$. Biết điểm C có cao độ dương. Độ dài OC bằng: A. $OC=5.$ B. $OC=8.$ C. $OC=\sqrt{67}.$ D. $OC=\sqrt{65}.$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow{AB}=\left( 0;-4;0 \right)$, gọi $I\left( 3;3;4 \right)$là trung điểm của AB thì $CI\bot AB$(do tam giác ABC cân tại C).

Do $CA=CB\Rightarrow C$thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB có phương trình $\left( Q \right):y=3$.

Gọi $C\in \left( P \right)\cap \left( Q \right):\left\{ \begin{array}  {} y=3 \\  {} x-y-z-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} y=3 \\  {} x-z=4 \\ \end{array} \right.$

Gọi $C\left( t;3;t-4 \right)$ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.CI.AB=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( t-3 \right)}^{2}}+{{\left( t-8 \right)}^{2}}}.4=2\sqrt{17}\Leftrightarrow {{\left( t-3 \right)}^{2}}+{{\left( t-8 \right)}^{2}}=17$

$\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-22t+56=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=4 \\  {} t=7 \\ \end{array} \right.\Rightarrow C\left( 7;3;3 \right),C\left( 4;3;0 \right).$

Vì ${{z}_{C}}>0\Rightarrow C\left( 7;3;3 \right)\Rightarrow OC=\sqrt{67}$. Chọn C.

 

Bài tập 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm $A\left( 2;7;3 \right);B\left( 4;5;3 \right)$ và mặt phẳng  $\left( P \right):x-y-z=-4$. Điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC đều. Tính $P=O{{C}_{\max }}$. A. $P=\sqrt{66}.$ B. $P=\sqrt{30}.$ C. $P=\sqrt{76}.$ D. $P=2\sqrt{3}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB ta có $M\left( 3;6;3 \right);\overrightarrow{AB}\left( 2;-2;0 \right)$

Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình $\left( Q \right):x-y=-3$

Do tam giác ABC đều nên $BC=AB\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8.$

Giải hệ phương phương trình 

$\left\{ \begin{array}  {} x-y-z=-4 \\  {} x-y=-3 \\  {} {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} z=1 \\  {} x+3=y \\  {} {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} z=1,x=2,y=5 \\  {} z=1,x=4,y=7 \\ \end{array} \right.$

Vậy $C\left( 2;5;1 \right),C\left( 4;7;1 \right)$là các điểm cần tìm suy ra $O{{C}_{\max }}=\sqrt{66}$. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hai điểm $A\left( 0;1;-1 \right);B\left( 2;3;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-z+4=0$. Điểm M có hoành độ nguyên nằm trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng$4\sqrt{6}$. Tính P = OM. A. $P=2\sqrt{5}.$ B. $P=\sqrt{21}.$ C. $P=2\sqrt{21}.$ D. $P=2\sqrt{7}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB ta có $I\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;2 \right)=2\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} MI\bot AB \\  {} AB=2\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$

Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình $\left( Q \right):x+y+z-3=0.$

Khi đó $M=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$, cho $x=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} y-z=-2t-4 \\  {} y+z=-t+3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} y=\frac{-3}{2}t-\frac{1}{2} \\  {} z=\frac{t}{2}+\frac{7}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( t;\frac{-3}{2}t-\frac{1}{2};\frac{t}{2}+\frac{7}{2} \right)$

Lại có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}MI.AB=\frac{1}{2}MI.2\sqrt{3}=4\sqrt{6}\Rightarrow MI=4\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{3t}{2}-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{t}{2}+\frac{7}{2} \right)}^{2}}=32\Leftrightarrow \frac{7{{t}^{2}}}{2}+9t-\frac{25}{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=-\frac{25}{7} \\ \end{array} \right.$

Do M có hoành độ nguyên nên $M\left( 1;-2;4 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{21}$. Chọn B.

Bài tập 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  $\left( P \right):x-2y-z-5=0$và các điểm  $A\left( 3;-1;-3 \right);B\left( 5;1;1 \right)$. Điểm C thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng$\sqrt{3}$. Tính $P=O{{C}_{\max }}$ A. $P=5.$ B. $P=\sqrt{26}.$ C. $P=\sqrt{13}.$ D. $P=\sqrt{5}.$

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Q) chứa AB vuông góc với (P) nên có VTPT là: $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 1;1;-1 \right)$

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là: $x+y-z-5=0\Rightarrow C\in \left( Q \right)\Rightarrow C=\left( P \right)\cap \left( Q \right).$

Phương trình giao tuyến của (Q) và (P) xét hệ $\left\{ \begin{array}  {} x+y-z-5=0 \\  {} x-2y-z-5=0 \\ \end{array} \right..$ Cho $x=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=0 \\  {} z=-5+t \\ \end{array} \right.$

Gọi $C\left( t;0;t-5 \right)$. Ta có ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{3{{\left( 2t-8 \right)}^{2}}}=\sqrt{3}\left| t-4 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=5 \\  {} t=3 \\ \end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}  {} C\left( 5;0;0 \right) \\  {} C\left( 3;0;-2 \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} OC=5 \\  {} OC=\sqrt{13} \\ \end{array} \right.\Rightarrow P=O{{C}_{\max }}=5$. Chọn A.