Cách Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = MC
Phương pháp xác định điểm trên mặt phẳng
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} M\in \left( P \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow $giải hệ phương trình tìm tọa độ điểm M.
Bài tập xác định điểm trên mặt phẳng P sao cho MA=MB=MC có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho ba điểm$A\left( 0;1;2 \right),B\left( 2;-2;1 \right),C\left( -2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-3=0$. Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB=MC$. |
Lời giải chi tiết:
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} M\in \left( P \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 2;-3;-1 \right)\left( x;y;z \right)=2 \\ {} \left( -2;-1;-1 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\ {} 2x+2y+z=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=3 \\ {} z=-7 \\ \end{array} \right.$. Vậy $M\left( 2;3;-7 \right)$.
| Bài tập 2: Cho ba điểm $A\left( 1;3;1 \right),B\left( 3;1;5 \right),C\left( 5;1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x-y-z-8=0$. Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB=MC$. |
Lời giải chi tiết:
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} M\in \left( P \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 2;-2;4 \right)\left( x;y;z \right)=12 \\ {} \left( 4;-2;-2 \right)\left( x;y;z \right)=8 \\ {} 3x-y-z=8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=4 \\ {} y=2 \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.$. Vậy $M\left( 4;2;2 \right)$.
| Bài tập 3: Cho ba điểm$A\left( 1;1;3 \right),B\left( 3;-1;1 \right),C\left( 2;2;-1 \right)$và mặt phẳng$\left( P \right):2x-y+z-4=0$. Tìm điểm M trên (P) sao cho $MA=MB=MC$. |
Lời giải chi tiết:
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} M\in \left( P \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( 2;-2;-2 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\ {} \left( 1;1;-4 \right)\left( x;y;z \right)=-1 \\ {} 2x-y+z=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=1 \\ {} z=1 \\ \end{array} \right.$. Vậy $M\left( 2;1;1 \right)$.
| Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left( 4;3;0 \right);B\left( -2;5;-2 \right);C\left( 0;-1;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y+z-1=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)$ và thỏa mãn $MA=MB=MC$, tính $a+b+c$.
A. $a+b+c=1$. B. $a+b+c=0$. C. $a+b+c=2$. D. $a+b+c=3$. |
Lời giải chi tiết:
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OM}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ {} M\in \left( P \right) \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left( -6;2;-2 \right)\left( a;b;c \right)=4 \\ {} \left( -4;-4;0 \right)\left( a;b;c \right)=-12 \\ {} 2a+b+c=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1 \\ {} b=2 \\ {} c=-3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow a+b+c=0$. Chọn B.
