Cách Tìm điểm M thuộc đường thẳng d thỏa mãn điều kiện K cho trước
Phương pháp xác định điểm m thuộc đường thẳng trong không gian
Tham số hóa tọa độ điểm $M\in d$và thế vào điều kiện K để tìm giá trị của tham số. Từ đó suy ra tọa độ điểm M.
Bài tập tìm điểm trong oxyz – tọa độ không gian có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với tọa độ Oxyz cho 2 điểm $A\left( 1;4;2 \right);B\left( -1;2;4 \right)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Tìm điểm $M\in \Delta $sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=28$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=1-t \\ {} y=-2+t \\ {} z=2t \\ \end{array} \right.$.
Gọi $M\left( 1-t;-2+t;2t \right)\in \Delta $, ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=28$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow {{t}^{2}}+{{\left( t-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}=28 \\ {} \Leftrightarrow 12{{t}^{2}}-48t+48=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow M\left( -1;0;4 \right). \\ \end{array}$
| Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A sao cho A cách đều đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z=0$. |
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua điểm $M\left( 1;0;-2 \right)$và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;2 \right)$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right)\in Ox\Rightarrow d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a \right|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{\left| 2a \right|}{3};d\left( A;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{8{{a}^{2}}-24a+36}}{3}$
Theo giả thiết ta có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=d\left( A;d \right)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{8{{a}^{2}}-24a+36}}{3}=\frac{\left| 2a \right|}{3}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-24a+36=0\Leftrightarrow a=3$
Vậy $A\left( 3;0;0 \right)$là điểm cần tìm.
| Bài tập 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm $A\left( 2;-1;1 \right);B\left( 0;1;-2 \right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất |
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d có phương trình tham số $d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=3-t \\ {} z=-1+2t \\ \end{array} \right.$
Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên $M\left( t;3-t;-1+2t \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-t;2t-2 \right) \\ {} \overrightarrow{BM}=\left( t;2-t;2t+1 \right) \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right]=\left( \left| \begin{matrix} 4-t {} 2t-2 \\ 2-t {} 2t+1 \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 2t-2 {} t-2 \\ 2t+1 {} t \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} t-2 {} 4-t \\ t {} 2-t \\\end{matrix} \right| \right)=\left( t+8;t+2;-4 \right)$
Do đó ${{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( t+8 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}+16}=\frac{1}{2}\sqrt{2{{\left( t+5 \right)}^{2}}+34}\ge \frac{1}{2}\sqrt{34}$
Vậy $\min S=\frac{\sqrt{34}}{2}$khi $t=-5\Rightarrow M\left( -5;8;-11 \right).$
| Bài tập 4: Cho hai điểm $A\left( 1;-1;2 \right),B\left( -1;2;3 \right)$và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$. Tìm điểm $M\left( a;b;c \right)$thuộc d sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=28$, biết $c<0$.
A. $M\left( -1;0;-3 \right)$. B. $M\left( 2;3;-3 \right)$. C. $M\left( \frac{1}{6};\frac{7}{6};-\frac{2}{3} \right)$. D. $M\left( -\frac{1}{6};-\frac{7}{6};-\frac{2}{3} \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $M\left( 1+t;2+t;1+2t \right)\left( 1+2t>0\Leftrightarrow t>-\frac{1}{2} \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{t}^{2}}+{{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}=28$
$\Leftrightarrow 12{{t}^{2}}-2t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1\left( loai \right) \\ {} t=\frac{-5}{6} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( \frac{1}{6};\frac{7}{6};-\frac{2}{3} \right)$. Chọn C.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 5;8;-11 \right);B\left( 3;5;-4 \right);C\left( 2;1;-6 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Điểm M thuộc d sao cho $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
$P={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}$. A. $P=-\frac{14}{9}.$ B. $P=\frac{14}{9}.$ C. $P=\frac{13}{9}.$ D. $P=-\frac{13}{9}.$ |
Lời giải chi tiết:
Điểm M thuộc d nên $M\left( 1+2t;2+2t;1+t \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MA}=\left( 2t-4;2t-6;t+12 \right) \\ {} \overrightarrow{MB}=\left( 2t-2;2t-3;t+5 \right) \\ {} \overrightarrow{MC}=\left( 2t-1;2t+1;t+7 \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\left( -2t-1;-2t-4;-t \right)$
$\Rightarrow \left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\sqrt{{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+4 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}}=\sqrt{9{{t}^{2}}+20t+17}=\sqrt{9{{\left( t+\frac{10}{9} \right)}^{2}}+\frac{53}{9}}\ge \frac{\sqrt{53}}{3}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $t=-\frac{10}{9}\Rightarrow M=\left( -\frac{11}{9};-\frac{2}{9};-\frac{1}{9} \right)\Rightarrow P=-\frac{14}{9}$. Chọn A.
