Cách Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng
Phương pháp xác định tọa độ hình chiếu
- Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng $\Delta $
Tham số hóa điểm $H\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AH}$. Do $AH\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H.
Chú ý: Nếu ${A}’$là điểm đối xứng của A qua đường thẳng $\Delta $ thì H là trung điểm của $\text{A{A}’}$.
Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm ${A}’$.
- Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra $H=d\cap \left( P \right)$.
Chú ý: Nếu ${A}’$là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của $\text{A{A}’}$.
Bài tập tìm điểm trong tọa độ không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm$A\left( 2;-3;1 \right)$ lên đường thẳng $\Delta $. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $H\left( -1+2t;-2-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2t-3;1-t;2t-1 \right)$
Cho $\overrightarrow{αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left( 2t-3;1-t;2t-1 \right).\left( 2;-1;2 \right)=0$
$\Leftrightarrow 2\left( 2t-3 \right)+\left( t-1 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H=\left( 1;-3;2 \right).$
| Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
$A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 0;0;1 \right),D\left( -2;1;-1 \right)$. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. |
Lời giải chi tiết:
PT mặt phẳng $\left( ABC \right):x+y+z-1=0$, phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$
$\Rightarrow H=d\cap \left( ABC \right)$. Gọi $H\left( -2+t;1+t;-1+t \right)\in d$
Do $H\in \left( P \right)\Rightarrow -2+t+1+t-1+t-1=0\Leftrightarrow t=1$. Vậy $H\left( -1;2;0 \right)$.
| Bài tập 3: Hình chiếu vuông góc của $M\left( 2;0;0 \right)$lên đường thẳng $\left\{ \begin{array} {} x=-t \\
{} y=3+t \\ {} z=1+t \\ \end{array} \right.$ có tọa độ là: A. $\left( -2;2;1 \right)$. B. $\left( -2;0;0 \right)$. C. $\left( 2;1;-1 \right)$. D. $\left( 1;2;-1 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $H\left( -t;3+t;1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -t-2;3+t;1+t \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;1 \right)$
Cho $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+2+3+t+1+t=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( 2;1;-1 \right)$. Chọn C.
| Bài tập 4: Hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;4;2 \right)$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z-1=0$có tọa độ là:
A. $\left( -1;2;0 \right)$. B. $\left( 2;-1;0 \right)$. C. $\left( -2;3;1 \right)$. D. $\left( 3;2;-1 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha \right)$là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$
$H=d\cap \left( \alpha \right)$, gọi $H\left( 1+t;4+t;2+t \right)\in d\Rightarrow 1+t+4+t+2+t-1=0\Leftrightarrow t=-2$
$\Rightarrow H\left( -1;2;0 \right)$. Chọn A.
| Bài tập 5: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+3y-z-27=0$. Điểm đối xứng với điểm $M\left( 2;1;0 \right)$qua mặt phẳng $\left( \alpha \right)$có tọa độ là:
A. $\left( 2;-1;0 \right)$. B. $\left( -2;-1;0 \right)$. C. $\left( 13;6;-4 \right)$. D. $\left( 6;13;-4 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha \right)$là: $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$
$H=d\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( 4;7;-2 \right)$ là trung điểm của $M{M}’\Rightarrow {M}’\left( 6;13;-4 \right)$. Chọn D.
| Bài tập 6: Điểm đối xứng với điểm $A\left( 1;-2;-5 \right)$qua đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-1-t \\ {} z=2t \\ \end{array} \right.$ có tọa độ là:
A. $\left( -2;-1;7 \right)$. B. $\left( -1;-2;5 \right)$. C. $\left( -3;2;1 \right)$. D. $\left( 1;2;-4 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi ${A}’$là điểm đối xứng quả A qua d.
Gọi $H\left( 1+2t;-1-t;2t \right)$ ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( 2t;1-t;2t+5 \right)$
Cho $\overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+t-1+4t+10=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left( -1;0;-2 \right)\Rightarrow {A}’\left( -3;2;1 \right)$. Chọn C.
| .Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( 2;3;-1 \right),B\left( 0;-1;2 \right),C\left( 1;0;3 \right)$. Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là :
A. $\left( 3;1;0 \right)$. B. $\left( 1;0;3 \right)$. C. $\left( -2;-3;1 \right)$. D. $\left( 3;2;-1 \right)$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)$
Phương trình đường thẳng BC là $BC:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$.
Gọi $H\left( t;-1+t;2+t \right)\in BC$ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( t-2;t-4;t+3 \right);\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)=0$
$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=0\Leftrightarrow 3t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 1;0;3 \right)$. Chọn B.
