• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Login
  • Trắc nghiệm 12
  • Khoá học
  • Đăng ký
Bạn đang ở:Trang chủ / Tổng ôn Toán 12 / Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc toán lớp 12

Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc toán lớp 12

20/04/2022 by Thầy Đồ Để lại bình luận

Bài tập Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

Phương pháp đổi biến số hàm vô tỉ quen thuộc

– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.

– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.

– Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân hàm vô tỉ có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) $I=\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}.$            b) $I=\int\limits_{0}^{\ln 3}{\frac{dx}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}}.$          c) $I=\int\limits_{1}^{9}{x.\sqrt[3]{1-x}}dx.$       d) $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}}dx.$

Lời giải chi tiết

Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.

  1. a) Đặt $t=\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+1\Leftrightarrow dx=tdt.$ Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=1 \\   x=4\Rightarrow t=3  \\\end{matrix} \right..$

Khi đó $I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{t}{3+t}dt=}\int\limits_{1}^{3}{\left( 1-\frac{3}{t+3} \right)dt=}\left( t-3\ln \left| t+3 \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{3}  \\   _{1}  \\\end{matrix} \right.=3-3.\ln 6-1+3.\ln 4=2+3.\ln \frac{2}{3}.$

  1. b) Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}+1\Leftrightarrow 2tdt={{e}^{x}}dx\Leftrightarrow dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt.$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=\sqrt{2}  \\   x=\ln 3\Rightarrow t=2  \\\end{matrix} \right.,$ khi đó $I=2\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}{\frac{dt}{{{t}^{2}}-1}=}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|\left| \begin{matrix}   ^{2}  \\   _{\sqrt{2}}  \\\end{matrix} \right.=-\ln 3\left( 3-2\sqrt{2} \right).$

  1. c) Đặt $t=\sqrt[3]{1-x}\Leftrightarrow {{t}^{3}}=1-x\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}dt=-dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=1\Rightarrow t=0\text{ }  \\   x=9\Rightarrow t=-2  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{-2}{\left( 1-{{t}^{3}} \right)t\left( -3{{t}^{2}} \right)dt=}\int\limits_{0}^{-2}{\left( {{t}^{6}}-{{t}^{3}} \right)dt=}3\left( \frac{{{t}^{7}}}{7}-\frac{{{t}^{4}}}{4} \right)\left| \begin{matrix}   ^{-2}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{-468}{7}.$

  1. d) Đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt\left( t\in \left[ 0;\pi \right] \right).$ Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0\text{  }  \\   x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}  \\\end{matrix} \right..$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}}dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{2\cos t}dt=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{dt=}2t\left| \begin{matrix}   ^{\frac{\pi }{3}}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{\pi }{3}.$

Bài tập 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho  $\int\limits_{16}^{55}{\frac{dx}{x\sqrt{x+9}}}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 11$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. $a-b=-c.$                                B. $a+b=c.$                                        C. $a+b=3c.$                               D. $a-b=-3c.$

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+9}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+9\Rightarrow 2tdt=dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=16\Rightarrow t=5\text{  }  \\   x=55\Rightarrow t=8  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\int\limits_{5}^{8}{\frac{2tdt}{\left( {{t}^{2}}-9 \right)t}=}\int\limits_{5}^{8}{\frac{2dt}{\left( t-3 \right)\left( t+3 \right)}=}\frac{2}{6}\ln \left| \frac{t-3}{t+3} \right|\left| \begin{matrix}   ^{8}  \\   _{5}  \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{11}-\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}=\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\ln 5-\frac{1}{3}\ln 11$

Do đó $a=\frac{2}{3};b=\frac{1}{3};c=-\frac{1}{3}\Rightarrow a-b=-c.$ Chọn A.

Bài tập 3: Cho  $I=\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}}=a\ln 3+b\ln 2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ, tính tổng $A=a+4b+12c.$

A. $A=-2.$                                    B. $A=-4.$                                          C. $A=4.$                                      D. $A=2.$

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{4x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=4x+1\Rightarrow tdt=2dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=6\Rightarrow t=5  \\   x=2\Rightarrow t=3  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2} \right)+t}}dt=\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{{{(t+1)}^{2}}}=\int\limits_{3}^{5}{\left( \frac{1}{t+1}-\frac{1}{{{(t+1)}^{2}}} \right)dt=}}\left( \ln \left| t+1 \right|+\frac{1}{t+1} \right)\left| \begin{matrix}   ^{5}  \\   _{3}  \\\end{matrix} \right.=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{12}$

$=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{12}\Rightarrow a=1;b=-1;c=\frac{-1}{12}$

Do đó $A=a+4b+12c=1-4-1=-4.$ Chọn B.

Thuộc chủ đề:Tổng ôn Toán 12 Tag với:TICH PHAN - TOAN 12

Bài liên quan:

  1. Luyện tập Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân – ứng dụng – Toán 12
  2. Tổng hợp lý thuyết bài tập tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết – chia dạng và cách giải toán lớp 12
  3. Tổng hợp lý thuyết bài tập tích phân đặc biệt có đáp án chi tiết và cách giải toán lớp 12
  4. Tổng hợp lý thuyết bài tập tích phân hàm hữu tỉ và lượng giác có đáp án chi tiết toán lớp 12
  5. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án chi tiết toán lớp 12
  6. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết toán lớp 12
  7. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án chi tiết toán lớp 12
  8. Tổng hợp lý thuyết công thức từng phần tính tích phân 100% gặp trong đề thi toán lớp 12
  9. Bài tập tính Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ có đáp án chi tiết
  10. Tổng hợp lý thuyết bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết. toán lớp 12

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Bài viết mới

  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Sinh học 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Lợi
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Địa lí 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Trung Kiên
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 lớp 12 môn Toán năm 2022-2023 Trường THPT Trần Phú
  • [LOP12.COM] Đề thi giữa HK2 môn Tiếng Anh 12 năm 2022-2023 Trường THPT Lê Quý Đôn
  • [LOP12.COM] Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Hóa học Trường THPT Ngô Gia Tự

Chuyên mục

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2023.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.
Hocz - Học Trắc nghiệm - Sách toán - QAzdo - Hoc Tap VN - Giao vien Viet Nam

Login

Mất mật khẩu>
Đăng ký
Bạn không có tài khoản à? Xin đăng ký một cái.
Đăng ký tài khoản