Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án.
Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn
Chú ý tính chất: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}du$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=12.$
Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx.$ A. $I=6.$ B. $I=36.$ C. $I=2.$ D. $I=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}d\left( 3x \right)\xrightarrow{t=3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( t \right)}dt=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=\frac{12}{3}=4.$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -1;+\infty \right)$ và $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)}dx=8.$ Tính $I=\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( x \right)}dx$
A. $I=2.$ B. $I=8.$ C. $I=4.$ D. $I=16.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=3\Rightarrow t=2 \\\end{matrix} \right..$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=2}\int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=8}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{x.f\left( x \right)dx=4.}}$ Chọn C.
| Bài tập 3: Cho $\int\limits_{4}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=a}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=b$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx$ theo a và b.
A. $I=\frac{a}{2}+2b.$ B. $I=2a+b.$ C. $I=2\left( a+b \right).$ D. $I=\frac{a+b}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\int\limits_{4}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=}\int\limits_{4}^{9}{2f\left( \sqrt{x} \right)d}\left( \sqrt{x} \right)\xrightarrow{t=\sqrt{x}}\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=a\Rightarrow }\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=\frac{a}{2}}$
Do đó $\int\limits_{2}^{3}{2f\left( x \right)dx=\frac{a}{2}}.$
Lại có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}d\left( 2x \right)\xrightarrow{u=2x}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}d\left( u \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=b$
Do đó $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=2b\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)}dx=2b+\frac{a}{2}.$ Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right)}.\cos 3xdx=1$ và $\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}.f\left( {{e}^{x}} \right)}dx=3.$
Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx.$ A. $I=4.$ B. $I=5.$ C. $I=2.$ D. $I=6.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).\cos 3xdx=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).d\left( \sin 3x \right)}\xrightarrow{t=\sin 3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right).dt=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}1$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}3$
Lại có: $\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}.f\left( {{e}^{x}} \right)}dx=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( {{e}^{x}} \right)}d\left( {{e}^{x}} \right)\xrightarrow{u={{e}^{x}}}\int\limits_{1}^{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx.$ A. $I=3.$ B. $I=\frac{3}{2}.$ C. $I=2.$ D. $I=\frac{5}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
$A=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x}f}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx$
Đặt $t={{\sin }^{2}}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx,$ đổi cận suy ra $A=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( t \right)}{2t}dt}=1\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=2.$
Mặt khác $B=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1\xrightarrow{u=\sqrt{x}}\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{{{u}^{2}}}}2udu\Rightarrow B=2\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{u}}du=1\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=\frac{1}{2}$
Xét $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx\xrightarrow{v=4x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{\frac{v}{4}}}.\frac{dv}{4}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{v}}dv=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=A+B=\frac{5}{2}.$ Chọn D.
| Bài tập 6: Cho các khẳng định sau:
(1). $\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$ (2). $\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$ (3). $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}.$ (4). $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}.$ Số khẳng định đúng là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}-\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}\xrightarrow{t=1-x}-\int\limits_{1}^{0}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$
$\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}2\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin udu=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$
$\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)d\left( \sin 2x \right)=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( v \right)dv=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
$2\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( z \right)dz}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}.$
Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)}.dx=a$ và $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=b.$
Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx$ theo a và b. A. $I=a-b.$ B. $I=a+b.$ C. $I=\frac{a}{b}.$ D. $I=a+b-1.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4} \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)}{{{\tan }^{2}}t+1}.}\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}b$
Suy ra $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right).f\left( \tan x \right)dx}$
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{f\left( \tan x \right)dx}{{{\cos }^{2}}x}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)d\left( \tan x \right)=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=a+b.$ Chọn A.
