Bài tập tính Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ có đáp án
Phương pháp đổi biến số với hàm số chẵn hàm số lẻ
| Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right].$ Chứng minh rằng:
a) $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=2}\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$ nếu $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn. b) $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=0}$ nếu $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ. |
Lời giải chi tiết
- a) Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm chẵn thì $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$
Ta có: $\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx=-}\int\limits_{-a}^{0}{f\left( -x \right)d\left( -x \right)}\xrightarrow{t=-x}-\int\limits_{a}^{0}{f\left( t \right)dt=-}\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx.}$
Do đó $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx=2}}\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx.}$
- b) Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm lẻ thì $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$
Ta có: $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=-\int\limits_{-a}^{a}{f\left( -x \right)dx}=}\int\limits_{-a}^{a}{f\left( -x \right)d\left( -x \right)}\xrightarrow{t=-x}\int\limits_{a}^{-a}{f\left( t \right)dt=-}\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Do đó $2\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=}0\Leftrightarrow \int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0.$
Bài tập trắc nghiệm đổi biến số tích phân có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\sqrt{2+2\cos 2x},\forall x\in \mathbb{R}.$
Tính $I=\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx.$ A. $I=-6.$ B. $I=0.$ C. $I=-2.$ D. $I=6.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy tích phân 2 vế của $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\cos 2x$ cận từ $-\frac{3\pi }{2}\to \frac{3\pi }{2}$ ta có:
$\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\sqrt{2+2\cos 2x}}dx=2\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| \cos x \right|dx}=12$ (Sử dụng máy tính Casio).
Đặt $t=x\Rightarrow dt=-dx$ và đổi cận $\left| \begin{matrix} x=-\frac{3\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{2} \\ x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{3\pi }{2} \\\end{matrix} \right..$
Khi đó $\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx.$
Suy ra $\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=2I=12\Rightarrow I=6.$
Cách 2: Vì $\sqrt{2+2\cos 2x}=\sqrt{2+2\cos \left( -2x \right)}$ta có thể chọn $f\left( x \right)=\frac{\sqrt{2+2\cos 2x}}{2}.$
Sau đó sử dụng Casio để bấm $I=\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\frac{\sqrt{2+2\cos 2x}}{2}dx.}$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn
$f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}.$ Khi đó $I=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx$ bằng: A. 2. B. $-2.$ C. $\frac{1}{2}.$ D. $\frac{\sqrt{3}}{4}.$ |
Lời giải chi tiết
Lấy tích phân 2 vế của $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\cos 2x$,$\forall x\in \mathbb{R}$ cận từ $-\frac{\pi }{6}\to \frac{\pi }{6}$ ta có:
$\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\cos 2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\cos 2x}d\left( 2x \right)=\frac{1}{2}\sin 2x\left| \begin{matrix} ^{\frac{\pi }{6}} \\ _{\frac{-\pi }{6}} \\\end{matrix} \right.=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-\frac{\pi }{6},t=\frac{\pi }{6} \\ x=\frac{\pi }{6},t=-\frac{\pi }{6} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{-\frac{\pi }{6}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx.$
Suy ra $\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=2\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ Chọn D.
Cách 2: Vì $\cos 2x=\cos \left( -2x \right)$ ta chọn $f\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\cos 2x}{2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{4}.$
| Bài tập 3: Cho hàm số y= $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x,\forall x\in \mathbb{R}.$
Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx.$ A. $I=\frac{3}{2}.$ B. $I=1.$ C. $I=\frac{1}{2}.$ D. $I=2.$ |
Lời giải chi tiết
Cách 1: Ta có$f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=3\int\limits_{0}^{1}{x}dx=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{3}{2}.$
Đặt $t=1-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=0,t=1 \\ x=1,t=0 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx.$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{3}{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow I=\frac{1}{2}.$ Chọn C.
Cách 2: Ta có $f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\Rightarrow f\left( 1-x \right)+2f\left( x \right)=3\left( 1-x \right)=3-3x.$
Khi đó $\left\{ \begin{matrix} f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\text{ (1) } \\ f\left( 1-x \right)+2f\left( x \right)=3-3x\text{ }\left( 2 \right) \\\end{matrix} \right.,$ lấy $2.\left( 2 \right)-\left( 1 \right),$ ta được
$3f\left( x \right)=2\left( 3-3x \right)-3x\Leftrightarrow f\left( x \right)=2-3x.$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-3x \right)}dx=\left( 2x-\frac{3{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}.$ Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên$\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( -x \right)={{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}.$
Tính $I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx.$ A. $I=\frac{2}{3}.$ B. $I=1.$ C. $I=2.$ D. $I=\frac{1}{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $f\left( x \right)+f\left( -x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}dx\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx+}\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dx.$
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-1,t=1 \\ x=1,t=-1 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{1}^{-1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx.$
Suy ra $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dx\Leftrightarrow 2\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{{{x}^{3}}}{3}\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{-1} \\\end{matrix} \right.=\frac{2}{3}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và số thực a dương. Biết rằng với mọi $x\in \left[ 0;a \right]$ thì $f\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{1+f\left( x \right)}}.$
A. $I=\frac{a}{2}.$ B. $I=2a.$ C. $I=a.$ D. $I=-\frac{a}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1\Leftrightarrow \left( 1+f\left( x \right) \right)f\left( a-x \right)=1+f\left( a-x \right)\Leftrightarrow \frac{1}{1+f\left( x \right)}=\frac{f\left( a-x \right)}{1+f\left( a-x \right)}$
Lấy tích phân 2 vế ta có: $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{f\left( a-x \right)}{1+f\left( a-x \right)}}dx$
Đặt $t=a-x\Rightarrow dt=-dx$ khi đó $\int\limits_{0}^{a}{\frac{1+f\left( a-x \right)}{f\left( a-x \right)}}dx=\int\limits_{a}^{0}{\frac{f\left( t \right)}{1+f\left( t \right)}}\left( -dt \right)=\int\limits_{0}^{a}{\frac{f\left( t \right)}{1+f\left( t \right)}}dt=\int\limits_{0}^{a}{dt}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{dt}{1+f\left( t \right)}}$
$=a-\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{a+f\left( x \right)}}.$ Khi đó $I=a-I\Leftrightarrow I=\frac{a}{2}.$ Chọn A.
Cách 2: Vì $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1$ ta có thể chọn $f\left( x \right)=1\Rightarrow f\left( a-x \right)=1\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{2}}=\frac{x}{2}\left| \begin{matrix} ^{a} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{a}{2}.$
