Bài tập trắc nghiệm tích phân cơ bản (dùng công thức) có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tích phân cơ bản có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tích các tích phân sau:
A. $I=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{2-{{x}^{2}}}dx}$ B. $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}+x}dx}$ C. $I=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+{{e}^{3x-1}} \right)dx}$ D. $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{1+\cos x}dx}$ |
Lời giải chi tiết
- a) $I=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}d\left( 2-{{x}^{2}} \right)}=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( 2-{{x}^{2}} \right)=}-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left. {{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right|_{0}^{1}$
$=-\frac{1}{3}\left. \sqrt{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{3}}} \right|_{0}^{1}=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$
- b) $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+x}{{{x}^{2}}+x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\int\limits_{1}^{2}{dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+x \right)}{{{x}^{2}}+x}dx}=1+\left. \ln \left| {{x}^{2}}+x \right| \right|_{1}^{2}=1+\ln \frac{5}{3}$
- c) $I=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+{{e}^{3x-1}} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{e}^{3x-1}}}{3} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{{{e}^{2}}}{3}-\frac{1}{3e}$
- d) $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{1+\cos x}dx}=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\left( \cos x \right)}{1+\cos x}=\left. -\ln \left| 1+\cos x \right| \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}}=\ln 2$
| Bài tập 2: Tính các tích phân sau:
A. $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}}$ B. $I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}dx}$ C. $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}$ D. $I=\int\limits_{0}^{3}{3x\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+16} \right)dx}$ |
Lời giải chi tiết
- a) $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right)dx}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+3} \right)\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right)}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}{3}}dx$
$=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x+3 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( x+3 \right)-}\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{3}{{{x}^{\frac{1}{2}}}dx}=\left. \left[ \frac{2}{9}\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}-\frac{2}{9}\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{1}^{2}=\frac{2}{9}\left( 5\sqrt{5}-2\sqrt{2}-7 \right)$
- b) $I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}d\left( {{e}^{x}}-1 \right)}=\left. \frac{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{0}^{\ln 2}=\frac{1}{3}$
- c) $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left. \sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}} \right|_{0}^{\sqrt{3}}=\frac{7}{3}$
- d) $I=\int\limits_{0}^{3}{3x\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+16} \right)dx}=\int\limits_{0}^{3}{3{{x}^{2}}dx}+3\int\limits_{0}^{3}{x\sqrt{{{x}^{2}}+16}dx}=\left. \left( {{x}^{3}}+\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+16 \right)}^{3}}} \right) \right|_{0}^{3}=88.$
| Bài tập 3: Biết rằng $\int\limits_{2}^{3}{\frac{x}{{{x}^{2}}-1}}dx=a\ln 2-b\ln 3$ , trong đó $a,b\in \mathbb{Q}$ .
Tính giá trị của biểu thức $S=4ab+a+b$ A. $S=5$ B. $S=6$ C. $S=\frac{5}{2}$ D. $S=\frac{7}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\int\limits_{2}^{3}{\frac{x}{{{x}^{2}}-1}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{3}{\frac{d\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{x}^{2}}-1}}=\frac{1}{2}\left. \ln \left| {{x}^{2}}-1 \right| \right|_{2}^{3}=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{3}=\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=\frac{3}{2} \\ {} b=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$
Suy ra $S=4.\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=5$ . Chọn A.
| Bài tập 4: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và $3F\left( a \right)-2=3F\left( b \right)$
Tính tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ A. $I=-2$ B. $I=2$ C. $I=\frac{2}{3}$ D. $I=\frac{-2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $3F\left( a \right)-2=3F\left( b \right)\Leftrightarrow 3\left[ F\left( b \right)-F\left( a \right) \right]=-2\Leftrightarrow F\left( b \right)-F\left( a \right)=\frac{-2}{3}$
Do đó $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right)=-\frac{2}{3}$. Chọn D.
| Bài tập 5: Cho các tích phân $\int\limits_{-3}^{2}{f\left( x \right)dx=2;}\int\limits_{-3}^{5}{f\left( t \right)dt=4}$ . Tính $\int\limits_{2}^{5}{f\left( y \right)dy}$
A. $I=2$ B. $I=6$ C. $I=-2$ D. $I=-6$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\int\limits_{-3}^{2}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{-3}^{2}{f\left( y \right)dy=}2;\int\limits_{-3}^{5}{f\left( t \right)dt=\int\limits_{-3}^{5}{f\left( y \right)dy=4}}$ (tích phân không phụ thuộc vào biến)
Lại có: $\int\limits_{-3}^{2}{f\left( y \right)dy+\int\limits_{2}^{5}{f\left( y \right)dy=}}\int\limits_{-3}^{5}{f\left( y \right)dy\Rightarrow I=4-2=2}$ . Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ 1;2 \right];f\left( 1 \right)=-1$ và $f\left( 2 \right)=3$
Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2x+{f}’\left( x \right) \right]dx}$ A. $I=5$ B. $I=4$ C. $I=\frac{11}{2}$ D. $I=7$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int\limits_{1}^{2}{2xdx}+\int\limits_{1}^{2}{{f}’\left( x \right)dx}=\left. {{x}^{2}} \right|_{1}^{2}+f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=3+4=7$. Chọn D.
| Bài tập 7: Cho $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx=5}$ . Tính $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+2\sin x \right]dx}$ A. $I=7$ B. $I=5+\frac{\pi }{2}$ C. $I=3$ D. $I=5+\pi $ |
Lời giải chi tiết
Ta có $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+2\sin x \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=\left. \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}-2\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=7$. Chọn A.
| Bài tập 8: Cho tích phân $\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx=2}$ và $\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)dx=-1}$ . Tính $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]dx}$
A. $I=\frac{5}{2}$ B. $I=\frac{7}{2}$ C. $I=\frac{17}{2}$ D. $I=\frac{11}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{2}{xdx}+2\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}-3\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)dx}$
$=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-1}^{2}+2.2-3.\left( -1 \right)=2-\frac{1}{2}+4+3=\frac{17}{2}$ . Chọn C.
| Bài tập 9: Biết $\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=3\ln \frac{a}{b}-\frac{c}{6}$ trong đó a, b là hai số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a+b=2c$ B. $a-b=4c$ C. $a-b=5c$ D. $a+b=c$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{3}{x+3}-\frac{10}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}} \right)d\left( x+3 \right)=\left. \left( 3\ln \left| x+3 \right|+\frac{10}{x+3} \right) \right|}_{0}^{1}=3\ln \frac{4}{3}-\frac{5}{6}$
Do đó $a=4;b=3;c=5\Rightarrow a-b=5c$ . Chọn C.
| Bài tập 2: Biết $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}}dx=a+b\ln 2+c\ln 3\left( a,b,c\in \mathbb{Q} \right)$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $2\left( a+b+c \right)=7$ B. $2\left( a+b-c \right)=7$ C. $2\left( a+b-c \right)=5$ D. $2\left( a+b+c \right)=5$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1-\frac{6}{x+2}+\frac{9}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \right]}dx=\left. \left( x-6\ln \left| x+2 \right|-\frac{9}{x+2} \right) \right|_{0}^{1}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\frac{5}{2}+6\ln 2-6\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=\frac{5}{2} \\ {} b=6,c=-6 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} 2\left( a+b+c \right)=5 \\ {} 2\left( a+b-c \right)=29 \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.
| Bài tập 11: Cho hàm số $f\left( x \right)=a.\sin \left( \pi x \right)+b$ biết rằng ${f}’\left( 1 \right)=2,\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=4}$
Tính giá trị biểu thức $P=a.\pi +b$ A. 2 B. – 1 C.1 D. 0 |
Lời giải chi tiết
Ta có $f\left( x \right)=a.\sin \left( \pi x \right)+b\to {f}’\left( x \right)=a.\pi .cos\left( \pi x \right)\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=-a.\pi =2\Leftrightarrow a=-\frac{2}{\pi }$
Mà $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=4}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left[ a.\sin \left( \pi x \right)+b \right]dx=\left. \left( b.x-\frac{\cos \left( \pi x \right)}{a.\pi } \right) \right|}_{0}^{2}=2b=4\Rightarrow b=2$. Chọn D.
| Bài tập 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ luôn dương và có đạo hàm trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ . Biết rằng $\int\limits_{1}^{2}{{f}’\left( x \right)dx=3}$ và $\int\limits_{1}^{2}{\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\ln 2}$. Tính $f\left( 2 \right)$
A. $f\left( 2 \right)=3$ B. $f\left( 2 \right)=6$ C. $f\left( 2 \right)=4$ D. $f\left( 2 \right)=8$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\int\limits_{1}^{2}{{f}’\left( x \right)dx=f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=3}$$\left( 1 \right)$
Lại có $\int\limits_{1}^{2}{\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{f\left( x \right)}=}\ln }\left. \left[ f\left( x \right) \right] \right|_{1}^{2}=\ln \left[ f\left( 2 \right) \right]-\ln \left[ f\left( 1 \right) \right]=\ln \frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 1 \right)}=\ln 2$
Do đó $\frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 1 \right)}={{e}^{\ln 2}}=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2f\left( 1 \right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $f\left( 2 \right)=6;f\left( 1 \right)=3$ . Chọn B.
| Bài tập 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết $\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c$ với a, b, c là các số nguyên dương. Tính $P=a+b+c$
A. $P=24$ B. $P=12$ C. $P=18$ D. $P=46$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)}}$
Lại có $\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)=1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$
$\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x-1}} \right)}}dx=2\left( \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{2\sqrt{x}}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left( x+1 \right)}{2\sqrt{x+1}}}} \right)$
$=\left. \left( 2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1} \right) \right|_{1}^{2}=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\Rightarrow a=32;b=12;c=2$
Vậy $a+b+c=46$ . Chọn D.
