Công thức tích phân 100% có trong đề đại học cần nhớ
1. Khái niệm hình thang cong
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, không đổi dấu trên đoạn $\left[ a;b \right]$ . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được gọi là hình thang cong.
2. Tích phân là gì?
Định nghĩa tích phân
Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Giả sử $F(x)$là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn $\left[ a;b \right]$) của hàm số $f(x)$, kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$.
Ta còn dùng kí hiệu $\mathop{\left. F\left( x \right) \right|}_{a}^{b}$ để chỉ hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$
Vậy $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=}\mathop{\left. F\left( x \right) \right|}_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$
Ta gọi $\int\limits_{a}^{b}{{}}$là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, $f\left( x \right)dx$là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp $a=b$ hoặc $a>b$, ta quy ước $\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx=}0$;$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=}-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Nhận xét: Tích phân của hàm số $f$ từ a đến b có thể kí hiệu bởi $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ hay $\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}$. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào $f$ và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Tức là: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)du}$
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;b \right]$, thì tích phân $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của $f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b$ .
Vậy $S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$
– Tính chất 1: $\int\limits_{a}^{b}{kf\left( x \right)dx}=k\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ (với k là hằng số)
– Tính chất 2: $\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\pm \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}$
– Tính chất 3: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}\left( a<c<b \right)$
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{{{c}_{1}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{c}_{1}}}^{{{c}_{2}}}{f\left( x \right)dx}+…\int\limits_{{{c}_{n}}}^{b}{f\left( x \right)dx}\left( a<{{c}_{1}}<{{c}_{2}}<…<{{c}_{n}}<b \right)$
