Tổng hợp lý thuyết nguyên hàm của hàm hữu tỷ – các công thức giải nhanh bài tập tìm nguyên hàm toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm hữu tỷ – các công thức giải nhanh bài tập tìm nguyên hàm

I. Các công thức cần nhớ

(1). $\int{\frac{1}{x+a}dx=\ln \left| x+a \right|+C}\to \int{\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$ 

(2). $\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}$ 

(3). $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\to \int{\frac{1}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}du=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+C}}$ 

II. Nguyên hàm dạng $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{Q\left( x \right)}}$ 

Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có: 

$\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=g\left( x \right)+\frac{P’\left( x \right)}{Q\left( x \right)}.$  Dưới đây là một số dạng thường gặp.

@     Dạng 1: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{ax+b}}$ 

Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{ax+b}=g\left( x \right)+\frac{k}{ax+b}$ khi đó $I=\int{g\left( x \right)dx+k\int{\frac{dx}{ax+b}}}$ 

@     Dạng 2: $I=\int{\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx}$ 

þ Trường hợp 1: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0$ 

Phân tích: $\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{mx+m}{a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}=\frac{1}{a}\left( \frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{B}{x-{{x}_{2}}} \right)$ 

(Đồng nhất hệ số để tìm A, B). 

$\Rightarrow I=\frac{1}{a}\left( A\ln \left| x-{{x}_{1}} \right|+B\ln \left| x-{{x}_{2}} \right| \right)+C.$ 

þ Trường hợp 2: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=0$ 

$\frac{mx+n}{a.{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{mx+n}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=\frac{m\left( x-{{x}_{0}} \right)+p}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}=\frac{m}{a\left( x-{{x}_{0}} \right)}+\frac{P}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$ 

þ Trường hợp 3: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$ 

Phân tích: $\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{k\left( 2ax+b \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{p}{a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+q}$ 

Khi đó $I=\int{\frac{kd\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{p}{a}\int{\frac{1}{{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{n}^{2}}}dx}}$ 

@     Dạng 3: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{Q\left( x \right)}}$ với $Q\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ 

þ Trường hợp 1: $\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$ 

Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{B}{x-x{{ {} }_{2}}}+\frac{C}{x-x{{ {} }_{3}}}$ 

þTrường hợp 2: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right){{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}}$ 

Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{Bx+C}{{{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ 

þ Trường hợp 3: $\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( m{{x}^{2}}+nx+p \right)$ trong đó $m{{x}^{2}}+nx+p=0$ vô nghiệm.

Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{\text{a}{{\text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=\frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{Bx+C}{m{{x}^{2}}+nx+p}$ 

@     Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}\pm {{a}^{2}}}}$ trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.

þTrường hợp 1: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$ 

Phân tích: $\frac{P\left( x \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{A\left( {{x}^{2}}+a \right)+B\left( {{x}^{2}}-a \right)+C{{\text{x}}^{3}}+Dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}$ 

Khi đó ta có: ${{I}_{1}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}dx=\int{\frac{1+\frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{d\left( x-\frac{a}{x} \right)}{{{\left( x-\frac{a}{x} \right)}^{2}}+2a}\to {{I}_{1}}=\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+2a}}}}$ 

${{I}_{2}}=\int{\frac{{{x}^{2}}-a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}dx=\int{\frac{1-\frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{d\left( x+\frac{a}{x} \right)}{{{\left( x+\frac{a}{x} \right)}^{2}}-2a}}\to {{I}_{2}}=\int{\frac{du}{{{u}^{2}}-2a}}}}$ 

${{I}_{3}}=\int{\frac{{{x}^{3}}dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{4}}\int{\frac{d\left( {{x}^{4}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{4}\ln \left| {{x}^{4}}+{{a}^{2}} \right|+C}$ 

${{I}_{4}}=\int{\frac{xdx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}\to {{I}_{4}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}.}}}$ 

Từ đó suy ra nguyên hàm $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$ 

þ Trường hợp 2: $I=\int{\frac{P\left( x \right)dx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}$ 

Phân tích:$\frac{P\left( x \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}=\frac{A{{x}^{3}}+Bx+\left( C{{x}^{2}}+D \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}$ 

Khi đó xét: ${{I}_{1}}=\int{\frac{A{{x}^{3}}+Bx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}dx=\frac{A}{4}\int{\frac{d\left( {{x}^{4}}-{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}+\frac{B}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}\to {{I}_{1}}=\frac{A}{4}\int{\frac{du}{u}+\frac{B}{2}\int{\frac{dv}{{{v}^{2}}-{{a}^{2}}}}}}}$ 

Phân tích ${{I}_{2}}=\int{\frac{C{{x}^{2}}+D}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}dx=\int{\left( \frac{M}{{{x}^{2}}-a}+\frac{N}{{{x}^{2}}+a} \right)dx}}$ (Đồng nhất tìm M, N).

@ Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6.

• ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{6}}-1}=\int{\frac{dx}{\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{{{x}^{3}}+1} \right)}}}$ 
• ${{I}_{2}}=\int{\frac{xdx}{{{x}^{6}}-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{d{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}-1}\to {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{{{u}^{3}}-1}}}}$ 
• ${{I}_{3}}=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{x}^{6}}-1}=\frac{1}{3}\int{\frac{d\left( {{x}^{3}} \right)}{{{x}^{6}}-1}\to {{I}_{3}}=\frac{1}{3}\int{\frac{du}{{{u}^{2}}-1}}}}$ 
• ${{I}_{4}}=\int{\frac{{{x}^{3}}dx}{{{x}^{6}}-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}d\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{6}}-1}\to {{I}_{4}}=\frac{1}{2}\int{\frac{udu}{{{u}^{3}}-1}}}}$ 
• ${{I}_{5}}=\int{\frac{{{x}^{4}}dx}{{{x}^{6}}-1}=\int{\frac{\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)}dx=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}-\int{\frac{dx}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}-2\int{\frac{dx}{{{x}^{6}}-1}}}}}}$ 

Với $K=\int{\frac{dx}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx-\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx}}}}$ 

$=\frac{1}{2}\int{\frac{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx-\frac{1}{2}\int{\frac{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( x-\frac{1}{x} \right)}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+3}-\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( x+\frac{1}{x} \right)}{\left( x+\frac{1}{x} \right)-1}}}}}$

$\to K=\frac{1}{2}\int{\frac{du}{{{u}^{2}}+3}-\frac{1}{2}\int{\frac{dv}{{{v}^{2}}-1}}}$