Bài tập nguyên hàm của hàm hữu tỷ có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỷ có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.${{I}_{1}}=\int{\frac{4}{2x-1}dx}$ B.${{I}_{2}}=\int{\frac{x+1}{x-1}dx}$ C.${{I}_{3}}=\int{\frac{2x+1}{3-4x}dx}$ D. ${{I}_{4}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+x+4}{x+3}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=\int{\frac{4}{2x-1}dx=\frac{4}{2}\int{\frac{d\left( 2x-1 \right)}{2x-1}=2\ln \left| 2x-1 \right|+C}}$
b) ${{I}_{2}}=\int{\frac{x+1}{x-1}dx=\int{\frac{x-1+2}{x-1}dx=\int{\left( 1+\frac{2}{x-1} \right)dx=\int{dx}+2\int{\frac{dx}{x-1}}=x+2\ln \left| x-1 \right|+C.}}}$
c) ${{I}_{3}}=\int{\frac{2x+1}{3-4x}dx=\int{\frac{-\frac{1}{2}\left( 3-4x \right)+\frac{5}{2}}{3-4x}dx=\int{\left( -\frac{1}{2}+\frac{5}{2\left( 3-4x \right)} \right)dx=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\int{\frac{dx}{3-4x}=}}}}$
$=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}\int{\frac{d\left( 3-4x \right)}{3-4x}=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}\ln \left| 3-4x \right|+C\to {{I}_{3}}=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}\ln \left| 3-4x \right|+C}$
d) ${{I}_{4}}=\int{\frac{{{x}^{2}}+x+4}{x+3}=\int{\left( x-2+\frac{10}{x+3} \right)}}dx=\int{\left( x-2 \right)dx}+10\int{\frac{d\left( x+3 \right)}{x+3}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}-2x+10\ln \left| x+3 \right|+C.$
| Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{5}}=\int{\frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}dx}$ B. ${{I}_{6}}=\int{\frac{3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2}{x-1}}dx$ C. ${{I}_{7}}=\int{\frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) Chia tử số cho mẫu số ta được $\frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{4}x+\frac{21}{8}-\frac{\frac{49}{8}}{2x+5}$
Khi đó: ${{I}_{5}}=\int{\frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}dx}=\int{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{4}x+\frac{21}{8}-\frac{\frac{49}{8}}{2x+5} \right)dx}=\int{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{4}x+\frac{21}{8} \right)dx-\frac{49}{8}\int{\frac{dx}{2x+5}}}$
$=\frac{1}{2}.\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{5}{4}.\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{21}{8}x-\frac{49}{16}\int{\frac{d\left( 2x+5 \right)}{2x+5}}=\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{5{{x}^{2}}}{8}+\frac{21x}{8}-\frac{49}{16}\ln \left| 2x+5 \right|+C.$
b) Ta có ${{I}_{6}}=\int{\frac{3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2}{x-1}dx}=\int{\left( 3{{x}^{2}}+6x+7+\frac{9}{x-1} \right)}dx={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+7x+9\ln \left| x-1 \right|+C.$
c) Chia tử số cho mẫu số ta được $\frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}=2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-\frac{1}{2}+\frac{\frac{5}{2}}{2x+1}$
${{I}_{7}}=\int{\frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}dx}=\int{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-\frac{1}{2}+\frac{\frac{5}{2}}{2x+1} \right)}dx=\int{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-\frac{1}{2} \right)}dx+\frac{5}{2}\int{\frac{dx}{2x+1}}$
$=2.\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{2x+1}=\frac{{{x}^{4}}}{2}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\ln \left| 2x+1 \right|}+C$
| Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-2x-3}dx}$ B. ${{I}_{2}}=\int{\frac{2dx}{-3{{x}^{2}}+4x-1}}$ C. ${{I}_{3}}=\int{\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}$ D. ${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-2x-3}}dx=\int{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}}dx=\frac{1}{4}\left( \int{\frac{dx}{x-3}}-\int{\frac{dx}{x+1}} \right)=\frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-3}{x+1} \right|+C$
b) Ta có ${{I}_{2}}=\int{\frac{2dx}{-3{{x}^{2}}+4x-1}=-2\int{\frac{dx}{3{{x}^{2}}-4x+1}=-2\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( 3x-1 \right)}=\frac{-2}{4}\int{\frac{\left( 3x-1 \right)-3\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( 3x-1 \right)}dx}}}}$
$=-\frac{1}{2}\left( \int{\frac{dx}{x-1}}-3\int{\frac{dx}{3x-1}} \right)=-\frac{1}{2}\ln \left| x-1 \right|+\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 3x-1 \right)}{3x-1}}=-\frac{1}{2}ln\left| x-1 \right|+\frac{1}{2}\ln \left| 3x-1 \right|+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{3x-1}{x-1} \right|+C.$
c) ${{I}_{3}}=\int{\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}$
Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$, khi đó $\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}=\frac{2x+3}{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-4}$
Đồng nhất ta được $2x+3\equiv A\left( x-4 \right)+B\left( x+1 \right)\to \left\{ \begin{array} {} 2=A+B \\ {} 3=-4A+B \\ \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=-\frac{1}{5} \\ {} B=\frac{11}{5} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow {{I}_{3}}=\int{\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx=\int{\left( \frac{-\frac{1}{5}}{x+1}+\frac{\frac{11}{5}}{x-4} \right)dx}=-\frac{1}{5}\int{\frac{dx}{x+1}}+\frac{11}{5}\int{\frac{dx}{x-4}}=-\frac{1}{5}\ln \left| x+1 \right|}+\frac{11}{5}\ln \left| x-4 \right|+C.$
Vậy ${{I}_{3}}=-\frac{1}{5}\ln \left| x+1 \right|+\frac{11}{5}\ln \left| x-4 \right|+C$
Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
${{I}_{3}}=\int{\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}}dx=\int{\frac{2x-3+6}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}=\int{\frac{\left( 2x-3 \right)dx}{{{x}^{2}}-3x-4}}+6\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-3x-4}}=\int{\frac{d\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right)}{{{x}^{2}}-3x-4}}+6\int{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}}$$=\ln \left| {{x}^{2}}-3x-4 \right|+\frac{6}{5}\int{\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-4 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}dx}=\ln \left| {{x}^{2}}-3x-4 \right|+\frac{6}{5}\left( \int{\frac{dx}{x-4}}-\int{\frac{dx}{x+1}} \right)=\ln \left| {{x}^{2}}-3x-4 \right|+\frac{6}{5}\ln \left| \frac{x-4}{x+1} \right|+C$ Nhận xét:
Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarit đơn giản ta có ngay cùng kết quả.
Thật vậy, thao cách 2 ta có:
$\ln \left| {{x}^{2}}-3x-4 \right|+\frac{6}{5}\ln \left| \frac{x-4}{x+1} \right|=\ln \left| x-4 \right|+\ln \left| x+1 \right|+\frac{6}{5}\ln \left| x-4 \right|-\frac{6}{5}\ln \left| x+1 \right|+C=-\frac{1}{5}\ln \left| x+1 \right|+\frac{11}{5}\ln \left| x-4 \right|.$
Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cùng không cần đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!
d) ${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}}dx=\int{\frac{3x+4}{\left( x+1 \right)\left( 5x+1 \right)}dx}$
$\frac{3x+4}{\left( x+1 \right)\left( 5x+1 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{5x+1}\to 3x+4\equiv A\left( 5x+1 \right)+B\left( x+1 \right)\leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3=5A+B \\ {} 4=A+B \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array} {} A=-\frac{1}{4} \\ {} B=\frac{17}{4} \\ \end{array} \right.$
Từ đó ${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+4}{\left( x+1 \right)\left( 5x+6 \right)}dx}=\int{\left( -\frac{1}{4\left( x+1 \right)}+\frac{17}{4\left( 5x+1 \right)} \right)dx}=-\frac{1}{4}\int{\frac{dx}{x+1}}+\frac{17}{4}\int{\frac{dx}{5x+1}}$
$\to {{I}_{4}}=-\frac{1}{4}\ln \left| x+1 \right|+\frac{17}{20}\ln \left| 5x+1 \right|+C$
Do mẫu số có đạo hàm là $10x+6$ nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}=\int{\frac{\frac{3}{10}\left( 10x+6 \right)+\frac{22}{10}}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}=\frac{3}{10}\int{\frac{\left( 10x+6 \right)}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}+\frac{22}{10}\int{\frac{dx}{5{{x}^{2}}+6x+1}}$
$=\frac{3}{10}\int{\frac{d\left( 5{{x}^{2}}+6x+1 \right)}{5{{x}^{2}}+6x+1}+\frac{22}{10}\int{\frac{dx}{\left( 5x+1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{3}{10}\ln \left| 5{{x}^{2}}+6x+1 \right|-\frac{22}{40}\int{\frac{\left( 5x+1 \right)-5\left( x+1 \right)}{\left( 5x+1 \right)\left( x+1 \right)}dx}}}$
$=\frac{3}{10}\ln \left| 5{{x}^{2}}+6x+1 \right|-\frac{22}{40}\left( \int{\frac{dx}{x+1}}-\int{\frac{5x}{5x+1}} \right)=\frac{3}{10}\ln \left| 5{{x}^{2}}+6x+1 \right|-\frac{11}{20}\ln \left| \frac{x+1}{5x+1} \right|+C.$
| Bài tập 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{5}}=\int{\frac{4{{x}^{3}}+2x-1}{{{x}^{2}}-1}dx}$ B. ${{I}_{6}}=\int{\frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}dx}$ |
Lời giải chi tiết
Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được ${{I}_{5}}=\int{\frac{4{{x}^{3}}+2x-1}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int{\left( 4x+\frac{6x-1}{{{x}^{2}}-1} \right)dx}$
Mà $\frac{6x-1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{6x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\Rightarrow 6x-1\equiv A\left( x-1 \right)+B\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 6=A+B \\ {} -1=-A+B \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=\frac{7}{2} \\ {} B=\frac{5}{2} \\ \end{array} \right.$
$\to {{I}_{5}}=\int{\left( 4x+\frac{7}{2\left( x+1 \right)}+\frac{5}{2\left( x-1 \right)} \right)dx=2{{x}^{2}}+\frac{7}{2}\ln \left| x+1 \right|+\frac{5}{2}\ln \left| x-1 \right|+C}$
b) Ta có: $\frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}=\frac{x-5}{{{x}^{2}}+2x-3}=\frac{x-5}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\to x-5\equiv A\left( x+3 \right)+B\left( x-1 \right)$
$\to \left\{ \begin{array} {} 1=A+B \\ {} -5=3A-B \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=-1 \\ {} B=2 \\ \end{array} \right.\to {{I}_{6}}=\int{\frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}dx}=\int{\left( \frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x+3} \right)}dx=-\int{\frac{dx}{x-1}}+2\int{\frac{dx}{x+3}}$
$=-\ln \left| x-1 \right|+2\ln \left| x+3 \right|+C=\ln \left| \frac{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}{x-1} \right|+C\to {{I}_{6}}=\ln \left| \frac{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}{x-1} \right|+C$ .
| Bài tập 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{1}}=\int{\frac{2dx}{{{x}^{2}}-2x+1}}$ B. ${{I}_{2}}=\int{\frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+1}}$ C. ${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{25{{x}^{2}}-10x+1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=\int{\frac{2dx}{{{x}^{2}}-2x+1}}=2\int{\frac{dx}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=2\int{\frac{d\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}=-\frac{2}{x-1}+C\to {{I}_{1}}=-\frac{2}{x-1}+C}$
b) ${{I}_{2}}=\int{\frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+1}=\int{\frac{dx}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}\int{\frac{d\left( 3x+1 \right)}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}}=-\frac{1}{3\left( 3x+1 \right)}+C\to {{I}_{2}}=-\frac{1}{3\left( 3x+1 \right)}+C.}}$
c) ${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{25{{x}^{2}}-10x+1}=\int{\frac{dx}{{{\left( 5x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{5}\int{\frac{d\left( 5x-1 \right)}{{{\left( 5x-1 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{5\left( 5x-1 \right)}+C\to {{I}_{3}}=-\frac{1}{5\left( 5x-1 \right)}+C}}}$
| Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{4}}=\int{\frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}$ b. ${{I}_{5}}=\int{\frac{4{{x}^{2}}-3}{4{{x}^{2}}+12x+9}dx}$ c. ${{I}_{6}}=\int{\frac{1-5x}{9{{x}^{2}}-24x+16}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{4}}=\int{\frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=\int{\frac{2x-1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $t=2x+1\to \left\{ \begin{array} {} 2x=t-1 \\ {} dt=2dx \\ \end{array} \right.\to {{I}_{4}}=\int{\frac{2x-1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{t-2}{{{t}^{2}}}\frac{dt}{2}}=\frac{1}{2}\left( \int{\frac{dt}{t}}-\int{\frac{2dt}{{{t}^{2}}}} \right)=\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+\frac{1}{t}+C$
$\to {{I}_{4}}=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|+\frac{1}{2x+1}+C$ .
${{I}_{4}}=\int{\frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=\int{\frac{\frac{1}{4}\left( 8x+4 \right)-2}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=\frac{1}{4}\int{\frac{\left( 8x+4 \right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}-2\int{\frac{dx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}}$
$=\frac{1}{4}\int{\frac{d\left( 4{{x}^{2}}+4x+1 \right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}}=-\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}\int{\frac{d\left( 4{{x}^{2}}+4x+1 \right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}}-\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}}}$
$=\frac{1}{4}\ln \left| 4{{x}^{2}}+4x+1 \right|+\frac{1}{2x+1}+C=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+1 \right|+\frac{1}{2x+1}+C$
b) ${{I}_{5}}=\int{\frac{4{{x}^{2}}-3}{4{{x}^{2}}+12x+9}dx}=\int{\left( 1-\frac{12x+12}{4{{x}^{2}}+12x+9} \right)dx}-12\int{\frac{dx}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}}=x-6\int{\frac{d\left( 2x+3 \right)}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}=x+\frac{6}{2x+3}}+C$
c) ${{I}_{6}}=\int{\frac{1-5x}{9{{x}^{2}}-24x+16}dx}=\int{\frac{1-5x}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $t=3x-4\to \left\{ \begin{array} {} x=\frac{t+4}{3} \\ {} dt=3dx \\ \end{array} \right.\to {{I}_{6}}=\int{\frac{1-5x}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{1-\frac{5\left( t+4 \right)}{3}}{{{t}^{2}}}\frac{dt}{3}}=-\frac{1}{9}\int{\frac{5t+17}{{{t}^{2}}}dt}$
$=-\frac{1}{9}\left( 5\ln \left| t \right|-\frac{17}{t} \right)+C\to {{I}_{6}}=-\frac{1}{9}\left( 5\ln \left| 3x-4 \right|-\frac{17}{3x-4} \right)+C=-\frac{5}{9}\ln \left| 3x-4 \right|+\frac{17}{9\left( 3x-4 \right)}+C$
${{I}_{6}}=\int{\frac{1-5x}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{-\frac{5}{3}\left( 3x-4 \right)-\frac{17}{3}}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}dx}=-\frac{5}{3}\int{\frac{dx}{3x-4}}-\frac{17}{3}\int{\frac{dx}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}=}$
$=-\frac{5}{9}\int{\frac{d\left( 3x-4 \right)}{\left( 3x-4 \right)}}-\frac{17}{9}\int{\frac{d\left( 3x-4 \right)}{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}}=-\frac{5}{9}\ln \left| 3x-4 \right|+\frac{17}{9}.\frac{1}{3x-4}+C$
$\to {{I}_{6}}=-\frac{5}{9}\ln \left| 3x-4 \right|+\frac{17}{9\left( 3x-4 \right)}+C$
| Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+3}}$ b. ${{I}_{2}}=\int{\frac{dx}{4{{x}^{2}}+4x+2}}$ c. ${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{9{{x}^{2}}+24x+20}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+3}}=\int{\frac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2}}=\int{\frac{d\left( x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{x+1}{\sqrt{2}} \right)+C$
b) ${{I}_{2}}=\int{\frac{dx}{4{{x}^{2}}+4x+2}}=\int{\frac{dx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( 2x+1 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{2}\arctan \left( 2x+1 \right)+C$
c) ${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{9{{x}^{2}}+24x+20}}=\int{\frac{dx}{{{\left( 3x+4 \right)}^{2}}+4}}=\int{\frac{d\left( 3x+4 \right)}{{{\left( 3x+4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{1}{2}arctan\left( \frac{3x+4}{2} \right)+C$
| Bài tập 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+5}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}$ b. ${{I}_{5}}=\int{\frac{4x-1}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}$ c. ${{I}_{6}}=\int{\frac{2{{x}^{4}}-x}{{{x}^{2}}+2x+7}}dx$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{4}}=\int{\frac{3x+5}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}=\int{\frac{\frac{3}{4}\left( 4x+1 \right)+\frac{17}{4}}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}=\frac{3}{4}\int{\frac{\left( 4x+1 \right)dx}{2{{x}^{2}}+x+10}}+\frac{17}{4}\int{\frac{dx}{2{{x}^{2}}+x+10}}$
$=\frac{3}{4}\int{\frac{d\left( 2{{x}^{2}}+x+10 \right)}{2{{x}^{2}}+x+10}}+\frac{17}{8}\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+\frac{x}{2}+5}}=\frac{3}{4}\ln \left( 2{{x}^{2}}+x+10 \right)+\frac{17}{8}\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{79}{16}}}$
$=\frac{3}{4}\ln \left( 2{{x}^{2}}+x+10 \right)+\frac{17}{8}\int{\frac{d\left( x+\frac{1}{4} \right)}{{{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{79}}{4} \right)}^{2}}}}=\frac{3}{4}\ln \left( 2{{x}^{2}}+x+10 \right)+\frac{17}{8}.\frac{4}{\sqrt{79}}arc\tan \left( \frac{4x+1}{\sqrt{79}} \right)+C$
Vậy ${{I}_{4}}=\frac{3}{4}\ln \left( 2{{x}^{2}}+x+10 \right)+\frac{17}{2\sqrt{79}}\arctan \left( \frac{4x+1}{\sqrt{79}} \right)+C$
b) ${{I}_{5}}=\int{\frac{4x-1}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}=\int{\frac{\frac{1}{3}\left( 12x+9 \right)-4}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{\left( 12x+9 \right)dx}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}-4\int{\frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+4}}$
$=\frac{1}{3}\int{\frac{d\left( 6{{x}^{2}}+9x+4 \right)}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}-4\int{\frac{dx}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}+3}}=\frac{1}{3}\ln \left( 6{{x}^{2}}+9x+4 \right)-\frac{4}{3}\int{\frac{d\left( 3x+1 \right)}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}}$
$=\frac{1}{3}\ln \left( 6{{x}^{2}}+9x+4 \right)-\frac{4}{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{3x+1}{\sqrt{3}} \right)+C$
$\Rightarrow {{I}_{5}}=\frac{1}{3}\ln \left( 6{{x}^{2}}+9x+4 \right)-\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{3x+1}{\sqrt{3}} \right)+C$
c) ${{I}_{6}}=\int{\frac{2{{x}^{4}}-x}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=\int{\left( 2{{x}^{2}}-4x+1+\frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7} \right)dx}=\frac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+\int{\frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}$
Đặt $J=\int{\frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=\int{\frac{\frac{25}{2}\left( 2x+2 \right)-32}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=\frac{25}{2}\int{\frac{\left( 2x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}-32\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+7}}$
$=\frac{25}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}}+2x+7 \right)}{{{x}^{2}}+2x+7}}-\int{\frac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+6}=\frac{25}{2}}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+7 \right)-32\int{\frac{d(x+1)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}}}$
$=\frac{25}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}}+2x+7 \right)}{{{x}^{2}}+2x+7}}-\frac{32}{\sqrt{6}}\arctan \frac{x+1}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow {{I}_{6}}=\frac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+\frac{25}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+7 \right)-\frac{32}{\sqrt{6}}\arctan \left( \frac{x+1}{\sqrt{6}} \right)+C$
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán là xử lý mẫu số.
Nếu $\frac{P\left( x \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}\left\langle \begin{array} {} a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\to \frac{P\left( x \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{1}{a}\left( \frac{A}{x-{{x}_{1}}}+\frac{B}{x-{{x}_{2}}} \right) \\ {} a{{x}^{2}}+bx+c={{\left( mx+n \right)}^{2}}+{{k}^{2}}\to \int{\frac{du}{{{u}^{2}}+{{\alpha }^{2}}}=\frac{1}{\alpha }\arctan \frac{u}{\alpha }+C} \\ {} a{{x}^{2}}+bx+c={{\left( mx+n \right)}^{2}}\to \int{\frac{du}{{{u}^{2}}}}=-\frac{1}{u}+C \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)}}$ b. ${{I}_{2}}=\int{\frac{6{{x}^{2}}+x-2}{x\left( {{x}^{2}}-1 \right)}dx}$ c. ${{I}_{3}}=\int{\frac{3{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3z-7}{x\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)}}$=$\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)}}$
Ta có $\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-3}\Rightarrow 1\equiv A\left( {{x}^{2}}-9 \right)+B\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)+C\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 0=A+B+C \\ {} 0=-5B+C \\ {} 1=-9A+6B-6C \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=-\frac{1}{5} \\ {} B=\frac{1}{30} \\ {} C=\frac{1}{6} \\ \end{array} \right.$
Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán. Suy nghĩ:
${{I}_{1}}=\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)}}=\frac{1}{6}\int{\frac{\left( x+3 \right)-\left( x-3 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)}dx}=\frac{1}{6}\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{dx}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}}$
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b) ${{I}_{2}}=\int{\frac{6{{x}^{2}}+x-2}{x\left( {{x}^{2}}-1 \right)}dx}=\int{\frac{6{{x}^{2}}+x-2}{x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}dx}$
Ta có $\frac{6{{x}^{2}}+x-2}{x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}\to 6{{x}^{2}}+x-2\equiv A\left( {{x}^{2}}-1 \right)+Bx\left( x-1 \right)+Cx\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 6=A+B+C \\ {} 1=-B+C \\ {} -2=-A \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=2 \\ {} B=\frac{3}{2} \\ {} C+\frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\to {{I}_{2}}=\int{\left( \frac{2}{x}+\frac{\frac{3}{2}}{x+1}+\frac{\frac{5}{2}}{x-1} \right)dx}=2\ln \left| x \right|+\frac{3}{2}\ln \left| x+1 \right|+\frac{5}{2}\ln \left| x-1 \right|+C$
${{I}_{2}}=\int{\frac{6{{x}^{2}}+x-2}{x\left( {{x}^{2}}-1 \right)}dx}=\int{\frac{2\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)+\left( x-1 \right)+1}{{{x}^{3}}-x}dx}=2\int{\frac{\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)dx}{{{x}^{3}}-x}dx}+\int{\frac{\left( x-1 \right)dx}{{{x}^{3}}-x}}+\int{\frac{dx}{{{x}^{3}}-x}=}$
$=2\int{\frac{d\left( {{x}^{3}}-x \right)}{{{x}^{3}}-x}dx}+\int{\frac{dx}{x\left( x+1 \right)}}+\int{\frac{dx}{x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}=2\ln \left| {{x}^{3}}-x \right|+J+K$
$J=\int{\frac{dx}{x\left( x+1 \right)}}=\int{\frac{\left( x+1 \right)-x}{x\left( x+1 \right)}dx}=\int{\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)dx}=\ln \left| x \right|-\ln \left| x+1 \right|=\ln \left| \frac{x}{x+1} \right|$
$K=\int{\frac{dx}{x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}=\int{\frac{\left( x+1 \right)-x}{x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}dx}=\int{\frac{dx}{x\left( x-1 \right)}}-\int{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}=}$
$=\int{\frac{x-\left( x-1 \right)}{x\left( x-1 \right)}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}dx}=\int{\frac{x-\left( x-1 \right)}{x\left( x-1 \right)}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}dx}$
$=\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \right)dx}-\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)dx}=\ln \left| \frac{x-1}{x} \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$
Từ đó ta được ${{I}_{2}}=2\ln \left| {{x}^{3}}-x \right|+\ln \left| \frac{x}{x+1} \right|+\ln \left| \frac{x-1}{x} \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C$
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, xin dành cho các bạn đọc!
c) ${{I}_{3}}=\int{\frac{3{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3x-7}{x\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}dx}=\int{\left[ 3x-3\frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{x\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)} \right]dx}=\frac{3{{x}^{2}}}{2}-3x+J$
Với $J=\int{\frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{x\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}dx}=\int{\frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{x\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}dx}$
Ta có: $\frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{x\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\to 8{{x}^{2}}-3x+7\equiv A\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)+Bx\left( x+2 \right)+Cx\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 8=A+B+C \\ {} -3=A+2B-C \\ {} 7=-2A \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=-\frac{7}{2} \\ {} B=4 \\ {} C=\frac{15}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow J=-\frac{7}{2}\ln \left| x \right|+4\ln \left| x-1 \right|+\frac{15}{2}\ln \left| x+2 \right|+C.$
Vậy ${{I}_{3}}=\frac{3{{x}^{2}}}{2}-3x-\frac{7}{2}\ln \left| x \right|+4\ln \left| x-1 \right|+\frac{15}{2}\ln \left| x+2 \right|+C$
Bài tập 10: Tìm nguyên hàm:$I=\int{\frac{4x+1}{2x+3}dx}$
A. $I=2x-\ln \left| 2x+3 \right|+C$ B. $I=2x-\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C$
C. $I=x-\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C$ D. $I=x-\ln \left| 2x+3 \right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{4x+1}{2x+3}dx}=\int{\frac{2\left( 2x+1 \right)-1}{2x+3}dx}=\int{2dx}-\int{\frac{dx}{2x+3}}=2x-\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C.$ Chọn B.
Bài tập 11: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{x+1}dx}$
A. $I=\frac{3}{2}{{x}^{2}}+x+\ln \left| x+1 \right|+C$ B. $I=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-x-2\ln \left| x+1 \right|+C$
C. $I=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-2x+\ln \left| x+1 \right|+C$ D. $I=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2\ln \left| x+1 \right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{x+1}=\frac{3x\left( x+1 \right)-\left( x+1 \right)+2}{x+1}=3x-1+\frac{2}{x+1}$
Khi đó $I=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2\ln \left| x+1 \right|+C.$ Chọn D.
Bài tập 12: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{dx}{2{{x}^{2}}+x-1}.}$
A. $I=\frac{1}{3}\ln \left| \frac{2x-1}{x+1} \right|+C$ B. $I=\ln \left| \frac{2x-1}{x+1} \right|+C$ C. $I=\frac{2}{3}\ln \left| \frac{2x-1}{x+1} \right|+C$ D. $I=\frac{1}{3}\ln \frac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{x+1}+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{dx}{2{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dx}{\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)}}=\frac{1}{3}\int{\frac{2\left( x+1 \right)-\left( 2x-1 \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)}dx}$
$=\frac{1}{3}\int{\left( \frac{2}{2x-1}-\frac{1}{x+1} \right)dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{2dx}{2x-1}}-\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{x+1}}=\frac{1}{3}\ln \left| 2x-1 \right|-\frac{1}{3}\ln \left| x+1 \right|+C=\frac{1}{3}\ln \left| \frac{2x-1}{x+1} \right|+C$. Chọn A.
Bài tập 13: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{x-5}{{{x}^{2}}-1}dx.}$
A. $I=\frac{3}{2}\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right|+C$ B. $I=\frac{3}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C$ C. $I=\ln \left| \frac{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right|+C$ D. $I=\ln \left| \frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}} \right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{x-5}{{{x}^{2}}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{\left( A+B \right)x+A-B}{{{x}^{2}}-1}$
Đồng nhất 2 vế ta có: $\left\{ \begin{array} {} A+B=1 \\ {} A-B=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=-2 \\ {} B=3 \\ \end{array} \right.$
Suy ra $I=\int{\left( \frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-1} \right)dx}=3\ln \left| x+1 \right|-2\ln \left| x-1 \right|+C=\ln \left| \frac{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right|+C.$ Chọn C.
Bài tập 14: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{2x+1}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}dx}$
A. $I=\frac{2}{3}\ln \left| 3x+2 \right|-\frac{5}{9}.\frac{1}{3x+2}+C.$ B. $I=\frac{2}{3}\ln \left| 3x+2 \right|+\frac{1}{3}.\frac{1}{3x+2}+C$
C. $I=\frac{2}{3}\ln \left| 3x+2 \right|+\frac{1}{9}.\frac{1}{3x+2}+C$ D. $I=\frac{2}{9}\ln \left| 3x+2 \right|+\frac{1}{9}.\frac{1}{3x+2}+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{2x+1}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}dx}=\int{\frac{\frac{2}{3}\left( 3x+2 \right)-\frac{1}{3}}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}dx}=\frac{2}{3}\int{\frac{dx}{3x+2}}-\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}}$
$=\frac{2}{9}\ln \left| 3x+2 \right|+\frac{1}{9}.\frac{1}{3x+2}+C.$ Chọn D.
Bài tập 15: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{\left( 2x+3 \right)dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}.}$
A. $I=\frac{2}{1-2x}-\ln \left| 2x-1 \right|+C.$ B. $I=\frac{2}{2-4x}+2\ln \left| 2x-1 \right|+C.$
C. $I=\frac{2}{2x-1}+\frac{1}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C.$ D. $I=\frac{2}{1-2x}+\frac{1}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{\left( 2x+3 \right)dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}=\frac{2x+3}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{2x-1+4}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2x-1}+\frac{4}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$
Khi đó $I=\int{\frac{4dx}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}+\int{\frac{dx}{2x-1}}=\frac{-2}{2x-1}+\frac{1}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C.}$ Chọn D.
Bài tập 16: Tính nguyên hàm: $I=\int{\frac{4x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}.$
A. $I=2\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)-\arctan \left( x+1 \right)+C$ B. $I=2\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+\arctan \left( x+1 \right)+C$
C. $I=\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)-\arctan \left( x+1 \right)+C$ D. $I=\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+\arctan \left( x+1 \right)+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{4x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int{\frac{2\left( 2x+2 \right)-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1}dx}$
$=\int{\frac{2d\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}{{{x}^{2}}+2x+2}-\int{\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1}=2\ln \left| {{x}^{2}}+2x+2 \right|-\arctan \left( x+1 \right)+C}}$.
$=2\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)-\arctan \left( x+1 \right)+C.$ Chọn A.
Bài tập 17: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{dx}{{{x}^{3}}-x}}$
A. $I=\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|-\frac{1}{2}\ln \left| x \right|+C$ B. $I=\frac{1}{2}\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|-2\ln \left| x \right|+C$
C. $I=\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|-\ln \left| x \right|+C$ D. $I=\frac{1}{2}\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|-\ln \left| x \right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{dx}{{{x}^{3}}-x}}=\int{\frac{dx}{x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}}=\int{\frac{x+1-x}{x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}dx}$
$=\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)x}}-\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}=\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \right)dx}-\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)dx}$
$=\ln \left| \frac{x-1}{x} \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C=\frac{1}{2}\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|-\ln \left| x \right|+C.$ Chọn D.
Bài tập 18: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{dx}{{{x}^{3}}-3x+2}}$
A. $I=\frac{1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{9}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$ B. $I=-\frac{1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{9}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$
C. $I=-\frac{1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$ D. $I=\frac{1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=\int{\frac{dx}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}=\frac{1}{3}\int{\frac{\left( x+2 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}dx}}$
$=\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}=\frac{-1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{9}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} \right)dx}$
$=-\frac{1}{3\left( x-1 \right)}-\frac{1}{9}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+C.$ Chọn B.
Bài tập 19: Tính nguyên hàm:$I=\int{\frac{3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{4}}-4}dx}$
A. $I=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C.$ B. $I=\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C.$
C. $I=\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C.$ D. $I=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{4}}-4}=\frac{A\left( {{x}^{2}}+2 \right)+B\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\left( {{x}^{2}}-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)}=\frac{\left( A+B \right){{x}^{2}}+2A-2B}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)}$
Đồng nhất 2 vế ta có: $\left\{ \begin{array} {} A+B=3 \\ {} 2A-2B=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} A=2 \\ {} B=1 \\ \end{array} \right.$
Khi đó $I=\int{\frac{2dx}{{{x}^{2}}-2}}+\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C.$ Chọn D..
