Tính nhanh Góc giữa hai mặt bên có đáp án chi tiết
Phương pháp xác định góc giữa hai mặt bên:
Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC).
þ Cách 1: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC).
þ Cách 2: Dựng đường cao $SH\bot \left( ABC \right).$
Lấy điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng $MN\bot HC.$
Lại có: $MN\bot SH\Rightarrow MN\bot \left( SHC \right)\Rightarrow MN\bot SC.$
Dựng $MK\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( MKN \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAC \right);\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( MK,KN \right)}.$
Bài tập tính nhanh góc giữa hai mặt bên có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có $AB=a,BC=a\sqrt{3}$. Biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). |
Lời giải chi tiết
Dựng $BH\bot AC\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BH\bot SC.$
Dựng $BH\bot SC\Rightarrow \left( HKB \right)\bot SC$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SAC \right) \right)}=\widehat{HKB}.$
Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=2a.$
Khi đó $\sin \widehat{KCH}=\frac{HK}{HC}=\frac{SA}{SC}=\frac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow HK=\frac{a}{3}.$
Mặt khác: $BH=\frac{BA.BC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan \widehat{HKB}=\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \widehat{HKB}=60{}^\circ .$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng $60{}^\circ $.
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có $\widehat{ABC}=60{}^\circ $, $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SA=a$. Tính cosin góc giữa:
a) (SBC) và (SCD). b) (SBC) và (SCD). |
Lời giải chi tiết
a) Nhận xét $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh a vì $AB=BC=a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BD\bot AC \\ {} BD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC.$
Dựng $BE\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BED \right).$
Mặt khác: $SA=AC=a\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A suy ra
$\widehat{ECO}=45{}^\circ $. Khi đó $OE=OC\sin 45{}^\circ =\frac{a\sqrt{2}}{4}.$
Lại có: $OB=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan \widehat{BEO}=\frac{OB}{OE}=\sqrt{6}.$
Do $\widehat{BED}=2\widehat{BEO}$ sử dụng công thức lượng giác hoặc máy tính CASIO ta tính được $\cos \widehat{BED}=\frac{-5}{7}$.
Cách khác: Ta có: $BE=DE=\sqrt{O{{E}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\frac{\sqrt{14}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{BED}=\frac{E{{B}^{2}}+E{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2.EB.ED}=\frac{-5}{7}.$
Suy ra $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\frac{5}{7}.$
b) Dựng $CM\bot AD$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} CM\bot AD \\ {} CM\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CM\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CM\bot SD.$
Dựng $CK\bot SD\Rightarrow SD\bot \left( MKC \right).$
Tam giác ACD đều cạnh a nên $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $SA=AD=a\Rightarrow \Delta SAD$ vuông cân tại A suy ra $\widehat{SDM}=45{}^\circ $. Do đó $MK=MD\sin 45{}^\circ =\frac{a\sqrt{2}}{4}.$
Suy ra $\tan \widehat{MKC}=\frac{CM}{MK}=\sqrt{6}\Rightarrow \cos \widehat{MKC}=\frac{1}{\sqrt{7}}.$
Vậy $\cos \widehat{\left( \left( SCD \right);\left( SAD \right) \right)}=\frac{1}{\sqrt{7}}.$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với $AD=2a$, biết rằng $SA\bot \left( ABCD \right)$ và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC). |
Lời giải chi tiết
Do $AD=2a$ nên tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD=2a$
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} AC\bot CD \\ {} CD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)$
Suy ra $\widehat{\left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $
$\Rightarrow SA=AC=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Dựng $AE\bot SC\Rightarrow AE\bot \left( SCD \right)$
Dựng $\left\{ \begin{array} {} AH\bot BC \\ {} AF\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow AF\bot \left( SBC \right)$, góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC) là góc giữa AE và AF.
Tacó: $AE=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$; $AH=AC\sin 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $AF=\frac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$, do $AF\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AF\bot FE$. Do đó $\cos \widehat{FAE}=\frac{AF}{AE}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a;AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên $SA\bot \left( ABCD \right)$. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). |
Lời giải chi tiết
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $BC\bot AB\Rightarrow BC\bot \left( SBA \right)$
Do đó $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ ;AC=2a$
$\Rightarrow SA=AB\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3}.$
Dựng $DE\bot AC$$\left( E\in BC \right)$ tại I, mặt khác $DE\bot SA\Rightarrow DE\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DE\bot SC$. Dựng $IH\bot SC$
$\Rightarrow SC\bot \left( EHD \right)$. Ta có: $DI=DC\sin \widehat{ICD}$ trong đó $\tan \widehat{ICD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{ICD}=60{}^\circ .$
Suy ra $DI=a\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2};DE=\frac{D{{C}^{2}}}{DI}=\frac{2a}{\sqrt{3}}.$
$\Rightarrow IE=DE-DI=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow CI=\sqrt{EI.DI}=\frac{a}{2};\sin \widehat{ICH}=\frac{SA}{SC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\Rightarrow IH=IC\sin \widehat{IHC}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
Suy ra $EH=\sqrt{E{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\frac{2a}{\sqrt{21}};ED=\frac{a\sqrt{42}}{7}.$
Do đó $\cos \widehat{EHD}=\frac{E{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}{2.EH.HD}=\frac{-\sqrt{2}}{4}<0\Rightarrow \cos \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$, tính độ dài đoạn thẳng SA để góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng $60{}^\circ $. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BD\bot AC \\ {} BD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC.$
Kẻ $BI\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BID \right).$
Vậy $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( BI;ID \right)}=60{}^\circ .$
Dễ thấy $\left\{ \begin{array} {} OI\bot SC \\ {} \widehat{BIO}=\frac{1}{2}\widehat{BID} \\ \end{array} \right..$
■ Trường hợp 1: $\widehat{BID}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{BIO}=30{}^\circ .$
Ta có: $\tan \widehat{BIO}=\frac{BO}{IO}=\tan 30{}^\circ \Rightarrow OI=\frac{a\sqrt{6}}{2}>OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vô lý).
(OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC).
■ Trường hợp 2: $\widehat{BID}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{BIO}=60{}^\circ .$
Ta có: $\tan \widehat{BIO}=\frac{BO}{IO}=\tan 60{}^\circ \Rightarrow OI=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$
Mặt khác: $\sin \widehat{ICO}=\frac{OI}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \tan \widehat{ICO}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{ICO}=a.$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với $AB=2a$, biết rằng $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). |
Lời giải chi tiết
Do ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với $AB=2a\Rightarrow $ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Do đó $\widehat{ABD}=90{}^\circ .$
Gọi $I=AB\cap CD\Rightarrow SI=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right).$
Do $\left\{ \begin{array} {} AI\bot BD \\ {} BD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BD\bot SI.$
Dựng $BK\bot SI\Rightarrow SI\bot \left( BKD \right).$
Khi đó $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( BK;KD \right)}=\widehat{BKD}.$
Do $BD\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BD\bot BK\Rightarrow \Delta KBD$ vuông tại B có $BD=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Do $\left\{ \begin{array} {} BC//AD \\ {} BC=\frac{1}{2}AD \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ BC là đường trung bình trong tam giác $AID\Rightarrow AB=BI$ và $AI=2a$
$\Rightarrow BK=\frac{1}{2}d\left( A;SI \right)=\frac{1}{2}.\frac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\Rightarrow \tan \widehat{BKD}=\frac{BD}{BK}=\sqrt{7}.$
Trả lời