Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần với hàm ẩn có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn điều kiện $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right)f’\left( x \right)dx=10}$ và $2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=2$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$
A. $I=-12$. B. $I=8$. C. $I=12$. D. $I=-8$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x+1 \\ {} dv={f}’\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.$ , khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right)f’\left( x \right)dx=\left. \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right|}_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow 10=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-I\Leftrightarrow I=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-10=2-10=-8$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho $\int\limits_{0}^{2}{\left( 1-2x \right){f}’\left( x \right)dx=3f\left( 2 \right)+f\left( 0 \right)=2016}$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}$ bằng:
A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016. |
Lời giải chi tiết
Xét tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( 1-2x \right){f}’\left( x \right)dx}$
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=1-2x \\ {} dv={f}’\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=-2dx \\ {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( 1-2x \right)f\left( x \right) \right|_{0}^{2}+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$=3f\left( 2 \right)+f\left( 0 \right)+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow 2016=-2016+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2016$
Xét $J=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}$, đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx$, đổi cận suy ra $J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=1008$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn điều kiện $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{f}’\left( x \right)}{x+1}dx=1}$ và $f\left( 1 \right)-2f\left( 0 \right)=2$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}$
A. B. C. D. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\frac{1}{x+1} \\ {} dv={f}’\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ du=-\frac{dx}{\begin{array} {} {{\left( x+1 \right)}^{2}} \\ {} v=f\left( x \right) \\ \end{array}} \right.$ , khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{f}’\left( x \right)}{x+1}dx=\left. \frac{f\left( x \right)}{x+1} \right|}_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}$
Suy ra $1=\left. \frac{f\left( x \right)}{x+1} \right|_{0}^{1}+I\Rightarrow I=1-\left[ \frac{f\left( 1 \right)}{2}-f\left( 0 \right) \right]=1-\frac{1}{2}\left[ f\left( 1 \right)-2f\left( 0 \right) \right]=1-\frac{1}{2}.2=0$. Chọn A.
| Bài tập 4: Cho $F\left( x \right)={{x}^{2}}+{{\ln }^{3}}x$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left( x \right)}{x}$. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{e}{{f}’\left( x \right)}\ln xdx$
A. $I={{e}^{2}}+3e$. B. $I={{e}^{2}}+3$. C. $I=-{{e}^{2}}+e$. D. $I={{e}^{2}}+4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\ln x \\ {} dv={f}’\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=\frac{1}{x}dx \\ {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \ln x.f\left( x \right) \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx$
$\Rightarrow I=\left. \left[ \ln xf\left( x \right)-{{x}^{2}}-{{\ln }^{3}}x \right] \right|_{1}^{e}=f\left( e \right)-{{e}^{2}}-2+2=f\left( e \right)-{{e}^{2}}$
Mặt khác $f\left( x \right)=x{F}’\left( x \right)=x\left( 2x+\frac{3{{\ln }^{2}}x}{x} \right)\Rightarrow f\left( e \right)=2{{e}^{2}}+3$
Do đó $I={{e}^{2}}+3$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho $F=\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).{{e}^{3x}}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right).{{e}^{3x}}}dx$
A. $I=e$. B. $I=e+1$. C. $I=-e+1$. D. $I=-e$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{e}^{3x}} \\ {} dv={f}’\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=3{{e}^{3x}}dx \\ {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow I=\left. {{e}^{3x}}f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-3\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx=\left. \left[ {{e}^{3x}}f\left( x \right)-3\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{e}^{3x}} \right] \right|}_{0}^{1}$
Trong đó $f\left( x \right)=\frac{{F}’\left( x \right)}{{{e}^{3x}}}=\frac{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x}{{{e}^{2x}}}\Rightarrow I=\left. {{e}^{x}}\left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{1}=e$. Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và luôn dương trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f\left( 1 \right)=2,\,\,\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{f\left( x \right)}}=\ln \sqrt{2}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}dx$
A. $I=2+\ln 2$. B. $I=-\frac{1}{2}+\ln 2$. C. $I=-\frac{1}{2}-\ln 2$. D. $I=-2+\ln 2$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{x}^{2}} \\ {} dv=\frac{{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2xdx \\ {} v=-\frac{1}{f\left( x \right)} \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow I=\left. \frac{-{{x}^{2}}}{f\left( x \right)} \right|_{0}^{1}+2\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{f\left( x \right)}=\frac{-1}{f\left( 1 \right)}+2\ln \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}+\ln 2$. Chọn B.
