Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}}\cos xdx$ và $u={{x}^{2}};\,\,dv=\cos xdx$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. B. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. C. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. D. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{array} {} u={{x}^{2}} \\ {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2xdx \\ {} v=\sin x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$ . Chọn D.
| Bài tập 2: Cho tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=a{{e}^{2}}+be+c$ $\left( a,b,c\in \mathbb{Q} \right)$. Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $S=13$. B. $S=10$. C. $S=5$. D. $S=8$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=2x+1 \\ {} du={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2dx \\ {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x+1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=3{{e}^{2}}+1$
Suy ra $a=3;b=0;c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=10$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sin xdx=a{{\pi }^{2}}}+b\pi +c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $T=9$. B. $T=12$. C. $T=2$. D. $T=10$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{x}^{2}}+1 \\ {} dv=\sin xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2xdx \\ {} v=-\cos x \\ \end{array} \right.$
Khi đó $I=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left. \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx-1+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}}$
Xét tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}$, ta đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\sin x \\ \end{array} \right.$
Khi đó $J=\left. x\sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x}dx=\left. \frac{\pi }{2}+\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-1$
Vậy $I=\pi -1\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=0 \\ {} b=1 \\ {} c=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=2$. Chọn C.
| Bài tập 4: Cho tích phân $I=\int\limits_{2}^{3}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln xdx=a\ln 3+b\ln 2+c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. $a=3b$. B. $a=-3b$. C. $a+b=40$. D. $a-b=20$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\ln x \\ {} dv=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=\frac{dx}{x} \\ {} v={{x}^{3}}+x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( {{x}^{3}}+x \right)\ln x \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$
$=30\ln 3-10\ln 2-\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x \right) \right|_{2}^{3}=30\ln 3-10\ln 2-\frac{22}{3}\Rightarrow a=30;b=-10;c=-3b$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho $I=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}}}dx=a.\ln 3+b.\ln 2+c$ , với $a,b,c\in \mathbb{Q}$, tổng $a+b+c$ bằng
A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \\ {} v=\frac{dx}{\sqrt{x}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=\frac{dx}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ {} v=2\left( \sqrt{x}+1 \right) \\ \end{array} \right.$, khi đó $I=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}$
$=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}=6.\ln 3-4.\ln 2-2=a.\ln 3+b.\ln 2+c\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=6 \\ {} b=-4 \\ {} c=-2 \\ \end{array} \right.$
Vậy tổng $a+b+c=6-4-2=0$. Chọn D.
| Bài tập 6: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}}dx=\frac{a}{b}\pi -c$ với $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a+b=3c$. B. $a+2b=c$. C. $a+b=2c$. D. $a+2b=3c$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\frac{1}{1+\cos x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \frac{x}{1+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+\cos x}}$
$=\frac{1}{2}\pi -\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\pi -\left. \tan \frac{x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\pi -1\Rightarrow a=1;b=2;c=1$
Do đó $a+b=3c$. Chọn A.
