Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án
Dưới đây là một số bài tập áp dụng bất đẳng thức để tính tích phân có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=6$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{5}{2}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{5}{2}}$ . Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\frac{23}{4}$ B. $\frac{5}{4}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{19}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du={f}’\left( x \right)dx \\ {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}’\left( x \right)dx}}$
Suy ra $\frac{5}{2}=\frac{f\left( 1 \right)}{2}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}’\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}=1$
Ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right){{x}^{2}}dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx}}}}=0$
$=5+2k+\frac{{{k}^{2}}}{2}=0\Rightarrow k=-5\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right)-5{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=0\Rightarrow {f}’\left( x \right)=5{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{3}}}{3}+C$
Do $f\left( 1 \right)=6\Rightarrow C=\frac{13}{3}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{3}}}{3}+\frac{13}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{19}{4}$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{1}{5}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $I=\frac{3}{5}$. B. $I=\frac{1}{4}$. C. $I=\frac{3}{4}$. D. $I=\frac{1}{5}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du={f}’\left( x \right)dx \\ {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$
Do đó $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}’\left( x \right)dx}=\frac{1}{5}$
Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’\left( x \right)dx}=\frac{3}{5};\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}}dx=\frac{1}{5}$
Chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}+\frac{6k}{5}+\frac{{{k}^{2}}}{5}=0\Rightarrow k=-3}$
Như vậy $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right)-3{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=0\Rightarrow {f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+C$
Do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=0\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx}=\frac{1}{4}$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=\frac{3}{5}$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{4}{9}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\frac{37}{180}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}dx$ bằng
A. $\frac{1}{15}$. B. $-\frac{1}{15}$. C. $-\frac{1}{10}$. D. $\frac{1}{10}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv={{x}^{3}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=f’\left( x \right)dx \\ {} v=\frac{{{x}^{4}}}{4} \\ \end{array} \right.$
Do đó $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}’\left( x \right)dx}}=\frac{3}{20}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{4}}{f}’\left( x \right)}{4}dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}’\left( x \right)dx}=-\frac{2}{9}$
Lại có: $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=\frac{1}{9}$ ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}’\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]dx=\frac{4}{9}+2k.\frac{-2}{9}+\frac{{{k}^{2}}}{9}=0\Rightarrow k=2}$
Như vậy $\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}’\left( x \right)+2{{x}^{4}} \right]dx=0\Rightarrow {f}’\left( x \right)=-2{{x}^{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{5}}}{5}+C$
Do $f\left( 1 \right)=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{-2}{5}+C\Leftrightarrow C=1\Leftrightarrow f\left( x \right)-1=\frac{-2}{5}{{x}^{5}}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-1 \right]dx}=\frac{-1}{15}$. Chọn B.
| Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ thỏa mãn $f\left( 3 \right)=1$, $\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{1}{27}}$ và $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\frac{42}{5}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\frac{5}{2}$. B. $\frac{3}{2}$. C. $\frac{7}{2}$. D. $4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv={{x}^{3}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=f’\left( x \right)dx \\ {} v=\frac{{{x}^{4}}}{4} \\ \end{array} \right.$khi đó $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}.f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{4}{f}’\left( x \right)dx}}$
Suy ra $\frac{45}{2}=\frac{81f\left( 3 \right)}{4}-\int\limits_{0}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}’\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{x}^{4}}}{f}’\left( x \right)dx=-9$
Ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}’\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k\int\limits_{0}^{3}{{f}’\left( x \right){{x}^{4}}dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{8}}dx}}}}$
$=\frac{1}{27}-2.9k+2187{{k}^{2}}=0\Rightarrow k=\frac{1}{243}\Rightarrow {f}’\left( x \right)=-\frac{1}{243}{{x}^{4}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-{{x}^{5}}}{1215}+\frac{6}{5}\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx=}\frac{7}{2}$. Chọn C.
| Bài tập 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx=7}$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\frac{1}{3}}$ . Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\frac{7}{5}$. B. $1$. C. $\frac{7}{4}$. D. $4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=f\left( x \right) \\ {} dv=3{{x}^{2}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du{=}’\left( x \right)dx \\ {} v={{x}^{3}} \\ \end{array} \right.$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{3{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\left. {{x}^{3}}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)dx}}$
Suy ra $I=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)dx\Rightarrow }\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)dx=-1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{14{{x}^{3}}.{f}’\left( x \right)dx=-7}}$. Mà $\int\limits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}}dx=7$ suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}dx+\int\limits_{0}^{1}{7{{x}^{3}}}{f}’\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}dx}=0}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right)+7{{x}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0$
Vậy ${f}’\left( x \right)+7{{x}^{3}}=0\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{7}{4}{{x}^{4}}+C$
Mà lại có: $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{7}{4}\left( 1-{{x}^{4}} \right)\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{7}{5}$. Chọn A.
