Bài tập Tích phân hàm hữu tỉ và lượng giác có đáp án
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
a) $\int\limits_{2}^{3}{\frac{7{{x}^{2}}-3x-2}{{{x}^{3}}-x}dx}.$ b) $\int\limits_{2}^{3}{\frac{\left( 7x-4 \right)dx}{{{x}^{3}}-3x+2}.}$ c) $I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2}}xdx}{\sin 3x}}$ d) $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan x+1}{{{\cos }^{2}}x{{\left( 2\tan x+1 \right)}^{3}}}dx.}$ |
Lời giải chi tiết
- a) Đồng nhất hệ số: $\frac{7{{x}^{2}}-3x-2}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$
$\Rightarrow 7{{x}^{2}}-3x-2=A\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+Bx\left( x+1 \right)+Cx\left( x-1 \right)\text{ (1)}$
Xét PT (1) cho $\left\{ \begin{matrix} x=1\Rightarrow 2=2B \\ x=0\Rightarrow -2=-A \\ x=-1\Rightarrow 8=2C \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B=1 \\ A=2 \\ C=4 \\\end{matrix} \right. \right.$
Khi đó ta có $I=\int\limits_{2}^{3}{\left( \frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{4}{x+1} \right)dx=\left( 2\ln \left| x \right|+\ln \left| x-1 \right|+4\ln \left| x+1 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{3} \\ _{2} \\\end{matrix} \right.}$
$=2\ln \frac{3}{2}+\ln 2+4\ln \frac{4}{3}.$
- b) Đồng nhất $\frac{7x-4}{{{x}^{3}}-3x+2}=\frac{7x-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}=\frac{A}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}$
Ta có $I=\int\limits_{2}^{3}{\frac{\left( 7x-4 \right)dx}{{{x}^{3}}-3x+2}=\int\limits_{2}^{3}{\left[ \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+2} \right]}}dx=\left( \frac{-1}{x-1}+2\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{3} \\ _{2} \\\end{matrix}=\frac{1}{2}+2\ln \frac{8}{5}. \right.$
- c) $I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2}}xdx}{\sin 3x}}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2}}xdx}{3\sin x-4{{\sin }^{3}}x}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin xdx}{3-4{{\sin }^{2}}x}}}=-\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\left( \cos x \right)}{4{{\cos }^{2}}x-1}}$
$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int\limits_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}{\frac{dt}{4{{t}^{2}}-1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{dt}{\left( 2t-1 \right)\left( 2t+1 \right)}}=\frac{1}{4}\ln \left| \frac{2t-1}{2t+1} \right|\left| \begin{matrix} ^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{4}\ln \left( 2-\sqrt{3} \right)$
- d) Ta có $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan x+1}{{{\cos }^{2}}x{{\left( 2\tan x+1 \right)}^{3}}}dx}.$ Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx.$
Đối cận $\left| \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{t+1}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}dt=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{2t+1+1}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}dt=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}=\frac{1}{4}\left( -\frac{1}{2t+1}-\frac{1}{2{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}} \right)}\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \\\end{matrix}=\frac{5}{18}. \right.$
| Bài tập 2: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{2{{x}^{2}}+3x+1}=a\ln 2+b\ln 3+c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T=a+2b+3c.$
A. $T=0$ B. $T=2$ C. $T=-2$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{2{{x}^{2}}+3x+1}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}=}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right)}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}dx}$
$=\int{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x+1} \right)}dx=\left( \ln \left| x+1 \right|-\frac{ln\left| 2x+1 \right|}{2} \right)\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \\\end{matrix}=\ln 2-\frac{1}{2}ln3 \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=1 \\ b=-\frac{1}{2} \\ c=0 \\\end{matrix} \right.$
Do đó $T=a+2b+c=0.$ Chọn A
| Bài tập 3: Cho tích phân $I=\int\limits_{3}^{4}{\frac{2{{x}^{2}}+4x+1}{{{x}^{2}}+x}}dx=a\ln 5+b\ln 3+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+bc$
A. $T=5$ B. $T=3$ C. $T=1$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
$I=\int\limits_{3}^{4}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+x \right)+2x+1}{{{x}^{2}}+x}}dx=\int\limits_{3}^{4}{2dx+\int\limits_{3}^{4}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+x \right)}{{{x}^{2}}+x}}}=2+\ln \left| {{x}^{2}}+x \right|\left| \begin{matrix} ^{4} \\ _{3} \\\end{matrix}=2+\ln \frac{20}{12} \right.$
$=2+\ln \frac{5}{3}=\ln 5-\ln 3+2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=1 \\ b=-1 \\ c=2 \\\end{matrix}\Rightarrow T=-1. \right.$ Chọn D
| Bài tập 4: Cho tích phân $\int\limits_{0}^{\ln 2}{\frac{dx}{3{{e}^{x}}+2}=a+b\ln 2+c\ln 5}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$
Tính giá trị của biểu thức $T=a+3b+2c.$ A. $T=-1$ B. $T=-2$ C. $T=1$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx=tdx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=\ln 2\Rightarrow t=2 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dt}{t\left( 3t+2 \right)}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( 3t+2 \right)-3t}{t\left( 3t+2 \right)}}}dt=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{t}-\frac{3}{3t+2} \right)dt}$
$=\frac{1}{2}\left[ \ln \left| t \right|-\ln \left| 3t+2 \right| \right]\left| \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \\\end{matrix}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}=-\ln 2+\frac{1}{2}\ln 5 \right.$
Do đó $a=0;b=-1;c=\frac{1}{2}\Rightarrow T=-2.$ Chọn B
| Bài tập 5: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\sin 2x}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}dx=a+2\ln b,}$ với $a,b$ là các số hữu tỷ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. $3a+2b=-2$ B. $3a+2b=-1$ C. $3a+2b=1$ D. $3a+2b=2$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sin x\Leftrightarrow dt=\cos xdx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\to t=0 \\ x=\frac{\pi }{2}\to t=1 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}.\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}dt=}2\int\limits_{0}^{1}{\frac{t+2-2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}dt=}2\int\limits_{0}^{1}{\left[ \frac{1}{t+2}-\frac{t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}} \right]dt}$
$=2\left( \frac{2}{t+2}+\ln \left| t+2 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \\\end{matrix}=2\left( \frac{2}{3}+\ln 3-1-\ln 2 \right) \right.=-\frac{2}{3}+2.\ln \frac{3}{2}=a+2.\ln b\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=-\frac{2}{3} \\ b=\frac{3}{2} \\\end{matrix}. \right.$ Chọn C
| Bài tập 6: Cho tích phân $I=\int\limits_{2}^{6}{\frac{2x+1}{{{x}^{3}}-x}}dx=a\ln 7+b\ln 5+c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $S=\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|$
A. $S=\frac{1}{2}$ B. $S=\frac{3}{2}$ C. $S=3$ D. $S=\frac{5}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\int\limits_{2}^{6}{\frac{2x+1}{{{x}^{3}}-x}}dx=\int\limits_{2}^{6}{\frac{x+1+x}{x.\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}dx=\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{x.\left( x-1 \right)}+\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}}$
$=\ln \left| \frac{x-1}{x} \right|\left| \begin{matrix} ^{6} \\ _{2} \\\end{matrix}+\frac{1}{2} \right.\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|\left| \begin{matrix} ^{6} \\ _{2} \\\end{matrix}=\ln \frac{5}{3}+\frac{1}{2}\ln \frac{15}{7}=\frac{3}{2}\ln 5-\frac{1}{2}\ln 7-\frac{1}{2}\ln 3 \right.$
Do đó $a=\frac{3}{2};b=c=-\frac{1}{2}\Rightarrow S=\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|=\frac{5}{2}.$ Chọn D
| Bài tập 7: Cho tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( 2\sin x-1 \right)\cos xdx}{2\sin x+1}=a+\ln 3+c\ln 2}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. $b+c=a.$ B. $b+c=2a$ C. $b-c=4a$ D. $b-c=-4a$ |
Lời giải chi tiết
$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( 2\sin x-1 \right)\cos xdx}{2\sin x+1}=}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( 2\sin x-1 \right)d\left( \sin x \right)}{2\sin x+1}\xrightarrow{t=\sin x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{2t-1}{2t+1}dt=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\left( 1-\frac{2}{2t+1} \right)dt}}}$
$=\left( t-\ln \left| 2t+1 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{\frac{1}{2}} \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}-\ln \frac{3}{2}=\frac{1}{2}-\ln 3+\ln 2\Rightarrow a=\frac{1}{2};b=-1;c=1\Rightarrow b-c=-4a.$ Chọn D
| Bài tập 8: Cho tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\cos }^{3}}x-{{\cos }^{2}}x \right)dx=a+b.\sqrt{2}}+c.\pi $ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính tổng $S=a+b+c.$
A. $S=\frac{1}{24}$ B. $S=\frac{-1}{12}$ C. $S=\frac{-1}{24}$ D. $S=\frac{-5}{24}$ |
Lời giải chi tiết
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\cos }^{3}}x-{{\cos }^{2}}x \right)dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{3}}xdx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}xd\sin x-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+\cos 2x}{2}dx}}}$
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\sin x-\left( \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} \right)\left| \begin{matrix} ^{\frac{\pi }{4}} \\ _{0} \\\end{matrix}=\left( \sin x-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3} \right) \right.}\left| \begin{matrix} ^{\frac{\pi }{4}} \\ _{0} \\\end{matrix}-\left( \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4} \right) \right.$
$=-\frac{1}{4}+\frac{5}{12}\sqrt{2}-\frac{1}{8}\pi \Rightarrow a+b+c=\frac{-1}{4}+\frac{5}{12}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.$ Chọn A.
| Bài tập 9: Cho tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{4}}+2x}}=a\ln 3+b\ln 2+c\ln 5$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T=a\left( b+c \right)$
A. $T=\frac{2}{9}$ B. $T=\frac{-5}{18}$ C. $T=\frac{-1}{2}$ D. $T=\frac{-1}{9}$ |
Lời giải chi tiết
$I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{4}}+2x}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left( {{x}^{3}}+2 \right)}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\frac{d{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}=\frac{1}{6}\ln \left| \frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}+2} \right|\left| \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \\\end{matrix} \right.$
$=\frac{1}{6}\ln \frac{12}{5}=\frac{1}{6}\left( 2\ln 2+\ln 3-\ln 5 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=\frac{1}{6} \\ b=\frac{1}{3} \\ c=-1 \\\end{matrix}\Rightarrow a\left( b+c \right)=\frac{-1}{9}. \right.$ Chọn D
| Bài tập 10: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}}dx=a\ln 3+b\ln 3+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}.$ Tính tích $P=abc$
A. $P=\frac{1}{8}$ B. $P=\frac{1}{4}$ C. $P=\frac{-1}{4}$ D. $P=\frac{-1}{8}$ |
Lời giải chi tiết
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}}d\left( \cos x \right)\xrightarrow{t=\cos x}\int\limits_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=}}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\left( t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt}$
$=\left( \frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln \left| t+1 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{1} \\ _{\frac{1}{2}} \\\end{matrix} \right.=-\frac{1}{8}+\ln \frac{4}{3}=2\ln 2-\ln 3-\frac{1}{8}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=2 \\ b=-1 \\ c=\frac{-1}{8} \\\end{matrix}\Rightarrow P=abc=\frac{1}{4}. \right.$ Chọn B
