Tổng hợp lý thuyết bài tập tích phân hàm hữu tỉ và lượng giác có đáp án chi tiết toán lớp 12

Bài tập Tích phân hàm hữu tỉ và lượng giác có đáp án

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

1. a) Đồng nhất hệ số: $\frac{7{{x}^{2}}-3x-2}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

$\Rightarrow 7{{x}^{2}}-3x-2=A\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+Bx\left( x+1 \right)+Cx\left( x-1 \right)\text{      (1)}$

Xét PT (1) cho $\left\{ \begin{matrix}   x=1\Rightarrow 2=2B  \\   x=0\Rightarrow -2=-A  \\   x=-1\Rightarrow 8=2C  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   B=1  \\   A=2  \\   C=4  \\\end{matrix} \right. \right.$

Khi đó ta có $I=\int\limits_{2}^{3}{\left( \frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{4}{x+1} \right)dx=\left( 2\ln \left| x \right|+\ln \left| x-1 \right|+4\ln \left| x+1 \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{3}  \\   _{2}  \\\end{matrix} \right.}$

$=2\ln \frac{3}{2}+\ln 2+4\ln \frac{4}{3}.$

1. b) Đồng nhất $\frac{7x-4}{{{x}^{3}}-3x+2}=\frac{7x-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}=\frac{A}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}$

Ta có $I=\int\limits_{2}^{3}{\frac{\left( 7x-4 \right)dx}{{{x}^{3}}-3x+2}=\int\limits_{2}^{3}{\left[ \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+2} \right]}}dx=\left( \frac{-1}{x-1}+2\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{3}  \\   _{2}  \\\end{matrix}=\frac{1}{2}+2\ln \frac{8}{5}. \right.$

1. c) $I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2}}xdx}{\sin 3x}}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2}}xdx}{3\sin x-4{{\sin }^{3}}x}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin xdx}{3-4{{\sin }^{2}}x}}}=-\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\left( \cos x \right)}{4{{\cos }^{2}}x-1}}$

$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int\limits_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}{\frac{dt}{4{{t}^{2}}-1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{dt}{\left( 2t-1 \right)\left( 2t+1 \right)}}=\frac{1}{4}\ln \left| \frac{2t-1}{2t+1} \right|\left| \begin{matrix}   ^{\frac{\sqrt{3}}{3}}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{4}\ln \left( 2-\sqrt{3} \right)$

1. d) Ta có $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan x+1}{{{\cos }^{2}}x{{\left( 2\tan x+1 \right)}^{3}}}dx}.$ Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx.$

Đối cận $\left| \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=0  \\   x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1  \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{t+1}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}dt=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{2t+1+1}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}dt=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( 2t+1 \right)}^{3}}}=\frac{1}{4}\left( -\frac{1}{2t+1}-\frac{1}{2{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}} \right)}\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix}=\frac{5}{18}. \right.$

Lời giải chi tiết

$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{2{{x}^{2}}+3x+1}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{xdx}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}=}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( 2x+1 \right)-\left( x+1 \right)}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}dx}$

$=\int{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x+1} \right)}dx=\left( \ln \left| x+1 \right|-\frac{ln\left| 2x+1 \right|}{2} \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix}=\ln 2-\frac{1}{2}ln3 \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=1  \\   b=-\frac{1}{2}  \\   c=0  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $T=a+2b+c=0.$ Chọn A

Lời giải chi tiết

$I=\int\limits_{3}^{4}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+x \right)+2x+1}{{{x}^{2}}+x}}dx=\int\limits_{3}^{4}{2dx+\int\limits_{3}^{4}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+x \right)}{{{x}^{2}}+x}}}=2+\ln \left| {{x}^{2}}+x \right|\left| \begin{matrix}   ^{4}  \\   _{3}  \\\end{matrix}=2+\ln \frac{20}{12} \right.$

$=2+\ln \frac{5}{3}=\ln 5-\ln 3+2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=1  \\   b=-1  \\   c=2  \\\end{matrix}\Rightarrow T=-1. \right.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{e}^{x}}\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx=tdx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=1  \\   x=\ln 2\Rightarrow t=2  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dt}{t\left( 3t+2 \right)}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( 3t+2 \right)-3t}{t\left( 3t+2 \right)}}}dt=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{t}-\frac{3}{3t+2} \right)dt}$

$=\frac{1}{2}\left[ \ln \left| t \right|-\ln \left| 3t+2 \right| \right]\left| \begin{matrix}   ^{2}  \\   _{1}  \\\end{matrix}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}=-\ln 2+\frac{1}{2}\ln 5 \right.$

Do đó $a=0;b=-1;c=\frac{1}{2}\Rightarrow T=-2.$ Chọn B

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sin x\Leftrightarrow dt=\cos xdx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix}   x=0\to t=0  \\   x=\frac{\pi }{2}\to t=1  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}.\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}dt=}2\int\limits_{0}^{1}{\frac{t+2-2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}dt=}2\int\limits_{0}^{1}{\left[ \frac{1}{t+2}-\frac{t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}} \right]dt}$

$=2\left( \frac{2}{t+2}+\ln \left| t+2 \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix}=2\left( \frac{2}{3}+\ln 3-1-\ln 2 \right) \right.=-\frac{2}{3}+2.\ln \frac{3}{2}=a+2.\ln b\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=-\frac{2}{3}  \\   b=\frac{3}{2}  \\\end{matrix}. \right.$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{2}^{6}{\frac{2x+1}{{{x}^{3}}-x}}dx=\int\limits_{2}^{6}{\frac{x+1+x}{x.\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}dx=\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{x.\left( x-1 \right)}+\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}}$

$=\ln \left| \frac{x-1}{x} \right|\left| \begin{matrix}   ^{6}  \\   _{2}  \\\end{matrix}+\frac{1}{2} \right.\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|\left| \begin{matrix}   ^{6}  \\   _{2}  \\\end{matrix}=\ln \frac{5}{3}+\frac{1}{2}\ln \frac{15}{7}=\frac{3}{2}\ln 5-\frac{1}{2}\ln 7-\frac{1}{2}\ln 3 \right.$

Do đó $a=\frac{3}{2};b=c=-\frac{1}{2}\Rightarrow S=\left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|=\frac{5}{2}.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( 2\sin x-1 \right)\cos xdx}{2\sin x+1}=}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( 2\sin x-1 \right)d\left( \sin x \right)}{2\sin x+1}\xrightarrow{t=\sin x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{2t-1}{2t+1}dt=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\left( 1-\frac{2}{2t+1} \right)dt}}}$

$=\left( t-\ln \left| 2t+1 \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{\frac{1}{2}}  \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}-\ln \frac{3}{2}=\frac{1}{2}-\ln 3+\ln 2\Rightarrow a=\frac{1}{2};b=-1;c=1\Rightarrow b-c=-4a.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\cos }^{3}}x-{{\cos }^{2}}x \right)dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{3}}xdx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}xd\sin x-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+\cos 2x}{2}dx}}}$

$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\sin x-\left( \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} \right)\left| \begin{matrix}   ^{\frac{\pi }{4}}  \\   _{0}  \\\end{matrix}=\left( \sin x-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3} \right) \right.}\left| \begin{matrix}   ^{\frac{\pi }{4}}  \\   _{0}  \\\end{matrix}-\left( \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4} \right) \right.$

$=-\frac{1}{4}+\frac{5}{12}\sqrt{2}-\frac{1}{8}\pi \Rightarrow a+b+c=\frac{-1}{4}+\frac{5}{12}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

$I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{{{x}^{4}}+2x}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{x\left( {{x}^{3}}+2 \right)}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\frac{d{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}=\frac{1}{6}\ln \left| \frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}+2} \right|\left| \begin{matrix}   ^{2}  \\   _{1}  \\\end{matrix} \right.$

$=\frac{1}{6}\ln \frac{12}{5}=\frac{1}{6}\left( 2\ln 2+\ln 3-\ln 5 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{1}{6}  \\   b=\frac{1}{3}  \\   c=-1  \\\end{matrix}\Rightarrow a\left( b+c \right)=\frac{-1}{9}. \right.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}}d\left( \cos x \right)\xrightarrow{t=\cos x}\int\limits_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=}}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\left( t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt}$

$=\left( \frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln \left| t+1 \right| \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{\frac{1}{2}}  \\\end{matrix} \right.=-\frac{1}{8}+\ln \frac{4}{3}=2\ln 2-\ln 3-\frac{1}{8}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=2  \\   b=-1  \\   c=\frac{-1}{8}  \\\end{matrix}\Rightarrow P=abc=\frac{1}{4}. \right.$ Chọn B