Bài tập Tích phân đặc biệt có đáp án chi tiết và cách giải
Một số dạng tích phân đặc biệt
@ Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=2\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}$
@ Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=0}$
@ Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{\frac{f(x)}{{{m}^{x}}+1}dx=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}$
@ Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$thì $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(\operatorname{s}\text{inx})dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(cosx)dx}}$
Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau:
Ø Với $I=\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $x=-t$
Ø Với $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=\frac{\pi }{2}-x$
Ø Với $I=\int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=\pi -x$
Ø Với $I=\int\limits_{0}^{2\pi }{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=2\pi -x$
