Bài tập trắc nghiệm tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$và $\int\limits_{0}^{-1}{f(x)dx}=10$. Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
A. $I=-5$ B. $I=5$ C. $I=-10$ D. $I=10$ |
Lời giải chi tiết
Do f(x) là hàm số lẻ nên $\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=0$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{-1}{f(x)dx}=10$Chọn D.
| Bài tập 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$và $\int\limits_{-3}^{0}{f(x)dx}=2$. Tính $I=\int\limits_{-3}^{3}{f(x)dx}$
A. $I=2$ B. $I=4$ C. $I=-2$ D. $I=-4$ |
Lời giải chi tiết
Do f(x) là hàm số chẵn nên $I=\int\limits_{-3}^{3}{f(x)dx}=2\int\limits_{-3}^{0}{f(x)dx}=2\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}=2.2=4$. Chọn D.
| Bài tập 3: Giả sử tích phân $I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{x}^{2}}+\cos x}{1+{{3}^{x}}}dx}=a{{\pi }^{3}}+b\pi +c$, trong đó $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $S=8a+4b+c$
A. $\frac{5}{3}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{8}{3}$ D. $\frac{2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$và đổi cận $\left| \begin{array} {} x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ {} x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$
Khi đó $I=-\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}{\frac{{{(-t)}^{2}}+cos(-t)}{1+{{3}^{-t}}}dt=}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{t}^{2}}+\cos t}{\frac{{{3}^{t}}+1}{{{3}^{t}}}}dt}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{x}^{2}}+\operatorname{cosx}}{1+{{3}^{x}}}{{3}^{x}}dx}$
$\Rightarrow 2I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{({{x}^{2}}+\operatorname{cosx})dx}\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+\operatorname{s}\text{inx} \right) \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{{\pi }^{3}}}{24}+1\Rightarrow a=\frac{1}{24};b=0;c=1$
Do đó $S=\frac{4}{3}$. Chọn B.
| Bài tập 4: Giả sử tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x\sin \text{x}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=a{{\pi }^{2}}+b\pi +c$, trong đó $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $S=a+b-c$
A. $S=\frac{1}{2}$ B. $S=\frac{-1}{2}$ C. $I=\frac{1}{4}$ D. $I=\frac{-1}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\pi -x\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x\sin \text{x}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -t)\sin (\pi -t)}{1+{{\cos }^{2}}(\pi -t)}(-dt)=}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -t)\operatorname{sint}}{1+{{\cos }^{2}}t}}dt=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -x)\operatorname{sinx}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}$
Khi đó $2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\sin \text{x}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{-d(\cos x)}{1+{{\cos }^{2}}x}}=-\pi \int\limits_{1}^{-1}{\frac{du}{1+{{u}^{2}}}}\xrightarrow{v=\tan u}-\pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}{du=}\frac{{{\pi }^{2}}}{2}$
Do đó $I=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{4};b=c=0\Rightarrow S=\frac{1}{4}$. Chọn C.
