Bài tập giải phương trình phức có đáp án.
Dưới dây là một số bài tập về bậc 2 bậc 3 của phương trình số phức có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương tình ${{z}^{2}}-2\text{z}+4=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
A. $T=2\sqrt{3}$ . B. $T=2+\sqrt{3}$ . C. $T=4$ . D. $T=4+2\sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${\Delta }’={{1}^{2}}-4=-3=3{{i}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{z}_{1}}=1+i\sqrt{3} \\ {} {{z}_{2}}=1-i\sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow T=4$ . Chọn C.
| Bài tập 2: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
A. $T=3$ . B. $T=2$ . C. $T=4$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có:${{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0\Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}=-4=4{{i}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z-i=2i \\ {} z-i=-2i \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z=3i \\ {} x=-i \\ \end{array} \right.$
Do đó $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ . Chọn A.
| Bài tập 3: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( 3-i \right)z+4-3i=0$ .
Tìm giá trị của biểu thức $T=\left| z_{1}^{2} \right|+\left| z_{2}^{2} \right|$ A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2\sqrt{5}$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\Delta ={{\left( 3-i \right)}^{2}}-16+12i=-8+6i={{\left( 1+3i \right)}^{2}}$
Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $\left[ \begin{array} {} {{z}_{1}}=\frac{3-i+1+3i}{2}=2+i \\ {} {{z}_{2}}=\frac{3-i-1-3i}{2}=1-2i \\ \end{array} \right.$
Do đó: $z_{1}^{2}=3+4i;z_{2}^{2}=-3-4i\Rightarrow T=\left| 3+4i \right|+\left| -3-4i \right|=10$ .Chọn D.
| Bài tập 4: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+3\left( 1+i \right)z+5i=0$ . Tìm giá trị biểu thức $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .
A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2\sqrt{5}$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\Delta =9{{\left( 1+i \right)}^{2}}-20i=-2i={{\left( 1-i \right)}^{2}}$
Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $\left[ \begin{array} {} {{z}_{1}}=\frac{3+3i+1-i}{2}=2+i \\ {} {{z}_{2}}=\frac{3+3i-1+i}{2}=1+2i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}$
Do đó $T=2\sqrt{5}$ . Chọn C.
| Bài tập 5: Giải phương trình phức ${{z}^{2}}+\left( 1-2i \right)z-1-i=0$ .
A. $\left[ \begin{array} {} z=-i \\ {} z=-1+3i \\ \end{array} \right.$ . B. $\left[ \begin{array} {} z=-1 \\ {} z=1-i \\ \end{array} \right.$ . C. $\left[ \begin{array} {} z=i \\ {} z=1-3i \\ \end{array} \right.$ . D. $\left[ \begin{array} {} z=i \\ {} z=-1+i \\ \end{array} \right.$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có $\Delta ={{\left( i-2i \right)}^{2}}+4\left( 1+i \right)=1\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{-1+2i+1}{2}=i$ và ${{z}_{2}}=\frac{-1+2i-1}{2}=-1+i$ .Chọn D
| Bài tập 6: Cho phương trình phức ${{z}^{2}}+b\text{z}+c=0\left( b,c\in \mathbb{R} \right)$ có một nghiệm là $1+2i$ . Tính giá trị của biểu thức S = b + c.
A. S = 7. B. S = $-1$ . C. S = 3. D. S = $-3$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có ${{\left( 1+2i \right)}^{2}}+b\left( 1+2i \right)+c=0\Leftrightarrow -3+4i+b+2bi+c=0$
$\Leftrightarrow b+c-3+\left( 2b+4 \right)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2b+4=0 \\ {} b+c-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} b=-2 \\ {} c=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=3$ . Chọn C.
| Bài tập 7: [Đề minh hoạ Bộ GD {} ĐT 2017] Kí hiệu ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0$ . Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|$.
A. T = 4. B. $T=2\sqrt{3}$ . C. $T=4+2\sqrt{3}$ . D. $T=2+2\sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{z}^{2}}=4 \\ {} {{z}^{2}}=-3=3{{i}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z=\pm 2 \\ {} z=\pm i\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$
Do đó $T=\left| 2 \right|+\left| -2 \right|+\left| i\sqrt{3} \right|+\left| -i\sqrt{3} \right|=2+2+\sqrt{3}+\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$ . Chọn C.
| Bài tập 8: Tổng các nghiệm của phương trình ${{\left( \frac{z-i}{z+i} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{z-i}{z+i} \right)}^{2}}+\left( \frac{z-i}{z+i} \right)+1=0$ là:
A. $T=0$ . B. T = $1-2i$ . C. T = 1 + 2i. D. T = $-1$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $t=\left( \frac{z-i}{z+i} \right);\left( z\ne -i \right)$ ta có: ${{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)\left( {{t}^{2}}+1 \right)=0$
Với $t=-1\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=-1\Leftrightarrow z=0$
Với $t=i\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=i\Leftrightarrow z=-1$
Với $i=-i\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=-i\Leftrightarrow z=1$
Vậy phương trình có 3 nghiệm $z=0;z=\pm 1\Rightarrow T=0$ .Chọn A.
| Bài tập 9: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( 1+i \right)z+6+3i=0$ . Tính môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$
A. $\left| w \right|=2\sqrt{10}$ . B. $\left| w \right|=3\sqrt{10}$ . C. $\left| w \right|=4\sqrt{10}$ . D.$\left| w \right|=5\sqrt{10}$ . |
Lời giải chi tiết:
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1+i \\ {} {{z}_{1}}{{z}_{2}}=6+3i \\ \end{array} \right.\Rightarrow w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( 1+i \right)}^{2}}-2\left( 6+3i \right)$
$=2i-12-6i=-12-4i\Rightarrow \left| w \right|=4\sqrt{10}$ . Chọn C.
| Bài tập 10: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-2\text{z}+3=0$ . Tính giá trị của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-2{{\text{z}}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-{{2}_{1}} \right|$
A. $2\sqrt{10}$ . B. $\sqrt{19}$ . C. $2\sqrt{19}$ . D. $6\sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
PT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z=1+\sqrt{2}i \\ {} z=1-\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{z}_{1}}=1+\sqrt{2}i \\ {} {{z}_{2}}=1-\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=-1+3\sqrt{2}i \\ {} {{z}_{2}}-2{{\text{z}}_{1}}=-1-3\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}}-2{{\text{z}}_{1}} \right|=\sqrt{19}\Rightarrow P=2\sqrt{19}$ . Chọn C.
| Bài tập 11: Cho số phức w, biết rằng ${{z}_{1}}=w-2i$ và ${{z}_{1}}=2w-4$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ với a, b là các số thực. Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .
A. $T=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ . B. $T=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . C. T = 5. D. $T=\frac{2\sqrt{37}}{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $w=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ .
Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a=3w-2i-4=\left( 3\text{x}-4 \right)+\left( 3y-2 \right)i$ là số thực nên $y=\frac{2}{3}$ . Lại có :
${{z}_{1}}{{z}_{2}}=b=\left( x+\frac{2}{3}i-2i \right)\left( 2\text{x}+\frac{4}{3}i-4 \right)$ là số thực.
Suy ra $\left( x-\frac{4}{3}i \right)\left( 2\text{x}-4+\frac{4}{3}i \right)=x\left( 2\text{x}-4 \right)-\frac{4}{3}i\left( x-4 \right)+\frac{16}{9}$ là số thực suy ra $x=4$
Do đó ${{z}_{1}}=4+\frac{2}{3}i-2i=4-\frac{4}{3}i;{{z}_{2}}=4+\frac{4}{3}i\Rightarrow T=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ . Chọn A.
| Bài tập 12: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết ${{z}_{1}}=w+2i$ và ${{z}_{2}}=2w-3$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .
A. $T=2\sqrt{13}$ . B. $T=\frac{2\sqrt{97}}{3}$ . C. $T=\frac{2\sqrt{85}}{3}$ . D. $T=4\sqrt{13}$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $w=m+ni\left( m;n\in \mathbb{R} \right)$ .
Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3w+2i-3=3m-3+\left( 3n+2 \right)i=-a$ là số thực do đó $n=\frac{-2}{3}$
Lại có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\left( m+\frac{4i}{3} \right)\left( 2m-3-\frac{4}{3}i \right)=b$ là số thực do đó $\frac{4}{3}\left( 2m-3 \right)-\frac{4}{3}m=0\Rightarrow m=3$
Do đó ${{z}_{1}}=3+\frac{4i}{3};{{z}_{2}}=3-\frac{4i}{3}\Rightarrow T=\frac{2\sqrt{97}}{3}$ . Chọn B.
| Ví dụ 13: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ là 3 nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+\left( 1-2i \right){{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z=2i$ . Biết rằng phương trình có 1 nghiệm thuần ảo tìm môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ .
A. $\left| w \right|=5$ . B. $\left| w \right|=\sqrt{34}$ . C. $\left| w \right|=\sqrt{29}$ . D. $\left| w \right|=3\sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Giả sử phương trình có 1 nghiệm thuần ảo là: $z=bi\left( b\in \mathbb{R} \right)$ thay vào phương trình:
${{\left( bi \right)}^{3}}+\left( 1-2i \right){{\left( bi \right)}^{2}}+\left( 1-i \right)bi=2i\Leftrightarrow -{{b}^{3}}i-\left( 1-2i \right){{b}^{2}}+bi+b=2i$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -{{b}^{2}}+b=0 \\ {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+b=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=1\Leftrightarrow z=i$
Vậy phương trình $\Leftrightarrow \left( z-i \right)\left( {{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{z}_{3}}=i \\ {} {{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z+2=0\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$
Giả sử PT (1) có 2 nhiệm là ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$
Ta có: $w={{i}^{2}}+{{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-1+{{\left( i-1 \right)}^{2}}-4=-2i-5\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{29}$ . Chọn C.
| Bài tập 14: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}};{{z}_{4}}$ là các nghiệm của phương trình: $\left( {{z}^{2}}+3\text{z}+2 \right)\left( {{z}^{2}}+7\text{z}+12 \right)=3$
Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|$ . A. $T=10$ . B. $T=5+2\sqrt{7}$ . C. $T=5+\sqrt{7}$ . D. $T=\sqrt{38}+2\sqrt{7}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( z+2 \right)\left( z+3 \right)\left( z+4 \right)=3\Leftrightarrow \left( {{z}^{2}}+5\text{z}+4 \right)\left( {{z}^{2}}+5\text{z}+6 \right)=3$
Đặt $w={{z}^{2}}+5\text{z}+4$ ta có $w\left( w+2 \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} w=1 \\ {} w=-3 \\ \end{array} \right.$
Với$w=1\Leftrightarrow {{z}^{2}}+5\text{z}+3=0\Leftrightarrow z=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=5$
Với $w=-3\Leftrightarrow {{z}^{2}}+5\text{z}+7=0\Leftrightarrow {{\left( z+\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{3{{i}^{2}}}{4}\Leftrightarrow z=\frac{-5\pm i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|=2\sqrt{7}$ . Chọn B.
| Bài tập 15: Biết phương trình ${{z}^{3}}+\left( 2-2i \right){{z}^{2}}+\left( 5-4i \right)z-10i=0$ có 3 nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ trong đó ${{z}_{1}}$ là số thuần ảo. Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|$ .
A. $T=1+2\sqrt{5}$ . B. $T=2\sqrt{2}$ . C. $T=12$ . D. $T=2+2\sqrt{5}$ . |
Lời giải chi tiết:
Giả sử ${{z}_{1}}=bi\Rightarrow -{{b}^{3}}i-\left( 2-2i \right){{b}^{2}}+\left( 5-4i \right)bi-10i=0$
$\Leftrightarrow -{{b}^{3}}i-2{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}i+5bi+4b-10i=0\Leftrightarrow i\left( -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10 \right)-2{{b}^{2}}+4b=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10=0 \\ {} -2{{b}^{2}}+4b=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=2$ .
Khi đó $PT\Leftrightarrow \left( z-2i \right)\left[ {{z}^{2}}+2\text{z}+5 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z=2i \\ {} {{\left( z+1 \right)}^{2}}=4{{i}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} z=2i \\ {} z=-1\pm 2i \\ \end{array} \right.$
Suy ra $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|=2+2\sqrt{5}$ . Chọn D.
