Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập
1)Định nghĩa về biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức $z=x+yi$ được biểu diễn một điểm $M\left( x;y \right)$ khi đó $\overrightarrow{OM}=\left( x;y \right)$ trên mặt phẳng phức. Ta viết $M\left( x+yi \right)$ hoặc $M\left( z \right)$.
Khi đó $\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Nếu điểm $M\left( {{z}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và điểm $N\left( {{z}_{2}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thì ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM},{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$.
2)Phương pháp giải toán
@ Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $f\left( z;\overline{z} \right)=g\left( z;\overline{z} \right)$ hoặc $f\left( z;\overline{z} \right)$ là số thực, hoặc $f\left( z;\overline{z} \right)$ là số ảo
Phương pháp giải: Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận.
|
Mối liên hệ giữa $x$ và $y$ |
Kết luận tập hợp điểm $M\left( x;y \right)$ |
|
○ $Ax+By+C=0$ |
Là đường thẳng $Ax+By+C=0$ |
|
○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 \\ \end{array} \right.$ |
Là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ |
|
○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c\le 0 \\ \end{array} \right.$ |
Là hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ (bao gồm đường tròn và các điểm bên trong). |
|
○ $R_{1}^{2}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le R_{2}^{2}$ |
Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$ |
|
○ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ |
Là một parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ |
|
○ $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $\left\{ \begin{array} {} M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a \\ {} {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c<2a \\ \end{array} \right.$ |
Là một elíp có trục lớn $2a$ trục bé $2b$ và tiêu cự là ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\left( a>b>0 \right)$ |
Một số trường hợp đặc biệt:
|
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left( c+di \right) \right|$ |
Gọi $M\left( z \right);\,\,A\left( a;b \right);\,\,B\left( c;d \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z;\,\,a+bi$ và $c+di$.
Khi đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left( c+di \right) \right|\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là trung trực của $AB$.
|
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=R\left( R>0 \right)$ |
Gọi $M\left( z \right);\,\,I\left( a;b \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $a+bi$
Khi đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=R\Leftrightarrow MI=R\Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R$.
þ Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=R$
Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| \frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| w-{{z}_{2}}-{{z}_{1}}\left( a+bi \right) \right|=R\left| {{z}_{1}} \right|$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $R\left| {{z}_{1}} \right|$,
Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $\left| z.{{z}_{0}}-a-bi \right|=R$ (thêm yếu tố ${{z}_{0}}$)
Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z.{{z}_{0}}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| {{z}_{0}} \right|\left| \frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-\frac{a+bi}{{{z}_{0}}} \right|=R\Leftrightarrow \left| w-{{z}_{2}}-\frac{{{z}_{1}}\left( a+bi \right)}{{{z}_{0}}} \right|=\frac{R\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{0}} \right|}$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $\frac{R\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{0}} \right|}$.
