LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Mạch gồm điện trở thuần R nối tiếp với cuộn dây thuần cảm L
Tổng quát
Giả sử biểu thức cường độ dòng điện chạy trong đoạn mạch là:
$\text{i = }{{\text{I}}_{0}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{}{{\text{u}}_{\text{R}}}={{\text{U}}_{\text{0R}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)\text{V} \\{} {{\text{u}}_{\text{L}}}={{\text{U}}_{\text{0L}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}\right)\text{V} \\ \end{array} \right.$
Suy ra $\text{u}={{\text{u}}_{\text{R}}}+{{\text{u}}_{L}}$(giá trị tức thời mới có công thức này).
Do đó $\text{u}={{\text{U}}_{\text{0R}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)+{{\text{U}}_{\text{0L}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)={{\text{U}}_{\text{0}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}} \right).$
Đặc điểm:
+) Điện áp:
${{\text{U}}^{2}}=\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{L}}^{2}\Rightarrow \text{U}=\sqrt{\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{L}}^{2}};{{\text{U}}_{\text{0}}}=\sqrt{\text{U}_{\text{0R}}^{2}+\text{U}_{\text{0L}}^{2}}.$
+) Tổng trở của mạch: $\text{Z}={{\text{Z}}_{\text{RL}}}=\frac{\text{U}}{\text{I}}=\frac{\sqrt{\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{L}}^{2}}}{\text{I}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{L}}^{\text{2}}}.$
+) Định luật Ôm: $\text{I}=\frac{\text{U}}{\text{Z}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{RL}}}}{{{\text{Z}}_{\text{RL}}}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{R}}}}{\text{R}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{L}}}}{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}.$
+) Quan hệ về pha:
Điện áp tức thời sớm pha hơn dòng điện trong mạch góc $\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }$ thỏa mãn:
$\tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{{{\text{U}}_{\text{L}}}}{{{\text{U}}_{\text{R}}}}=\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\text{R}}\left( \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ = }{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}-{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right).$
+) Do ${{\text{u}}_{\text{L}}}\bot {{\text{u}}_{\text{R}}}$nên ${{\left( \frac{{{\text{u}}_{\text{L}}}}{{{\text{U}}_{\text{0L}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\text{u}}_{\text{R}}}}{{{\text{U}}_{\text{0R}}}} \right)}^{2}}=1$.
Chú ý: Cuộn dây không thuần cảm (L; r): Khi mắc cuộn dây có điện trở r và độ tự cảm L vào mạch điện xoay chiều, ta xem cuộn dây như đoạn mạch r nối tiếp với L.
2. Mạch điện trở thuần R nối tiếp với tụ điện C
Tổng quát
Giả sử biểu thức cường độ dòng điện chạy trong đoạn mạch là:
$\text{i = }{{\text{I}}_{0}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\text{u}}_{\text{R}}}={{\text{U}}_{\text{0R}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)\text{V} \\ {} {{\text{u}}_{\text{C}}}={{\text{U}}_{\text{0C}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)\text{V} \\\end{array} \right.$
Suy ra $\text{u}={{\text{u}}_{\text{R}}}+{{\text{u}}_{\text{C}}}$.
Do đó $\text{u}={{\text{U}}_{\text{0R}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right)+{{\text{U}}_{\text{0C}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)={{\text{U}}_{\text{0}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}} \right).$
Đặc điểm:
+) Điện áp:
${{\text{U}}^{2}}=\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{C}}^{\text{2}}\Rightarrow \text{U}=\sqrt{\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{C}}^{\text{2}}};{{\text{U}}_{\text{0}}}=\sqrt{\text{U}_{\text{0R}}^{2}+\text{U}_{\text{0C}}^{\text{2}}}.$
+) Tổng trở của mạch: $\text{Z}={{\text{Z}}_{\text{RC}}}=\frac{\text{U}}{\text{I}}=\frac{\sqrt{\text{U}_{\text{R}}^{2}+\text{U}_{\text{C}}^{\text{2}}}}{\text{I}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{C}}^{\text{2}}}.$
+) Định luật Ôm: $\text{I}=\frac{\text{U}}{\text{Z}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{RC}}}}{{{\text{Z}}_{\text{RC}}}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{R}}}}{\text{R}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{C}}}}{{{\text{Z}}_{\text{C}}}}.$
+) Quan hệ về pha:
Điện áp tức thời chậm pha hơn dòng điện trong mạch góc $\left| \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right|$ thỏa mãn:
$\tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{-{{\text{U}}_{\text{C}}}}{{{\text{U}}_{\text{R}}}}=\frac{-{{\text{Z}}_{\text{C}}}}{\text{R}}\left( \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ = }{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}-{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}} \right).$
+) Do ${{\text{u}}_{L}}\bot {{\text{u}}_{\text{C}}}$ nên ${{\left( \frac{{{\text{u}}_{\text{C}}}}{{{\text{U}}_{\text{0C}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\text{u}}_{\text{R}}}}{{{\text{U}}_{\text{0R}}}} \right)}^{2}}=1.$
3. Mạch gồm cuộn cảm thuần L nối tiếp với tụ điện C
Tổng quát
Giả sử biểu thức cường độ dòng điện chạy trong đoạn mạch là: $\text{i = }{{\text{I}}_{0}}\cos \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\text{u}}_{\text{L}}}={{\text{U}}_{\text{0L}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)\text{V} \\ {} {{\text{u}}_{\text{C}}}={{\text{U}}_{\text{0C}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)\text{V =}-{{\text{U}}_{\text{0C}}}\cos \left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t+}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)\text{V} \\ \end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{} \text{u}={{\text{u}}_{\text{L}}}+{{\text{u}}_{\text{C}}} \\ {} \frac{{{\text{u}}_{\text{L}}}}{{{\text{u}}_{\text{C}}}}=\frac{-{{\text{U}}_{\text{0L}}}}{{{\text{U}}_{\text{0C}}}}=-\frac{{{\text{U}}_{\text{L}}}}{{{\text{U}}_{\text{C}}}}=-\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{{{\text{Z}}_{\text{C}}}}. \\ \end{array} \right.$
Đặc điểm:
+) Điện áp:
${{\text{U}}_{\text{0}}}=\left| {{\text{U}}_{\text{0L}}}-{{\text{U}}_{\text{0C}}} \right|;\text{U}=\left| {{\text{U}}_{\text{L}}}-{{\text{U}}_{\text{C}}} \right|.$
+) Tổng trở:
$\text{Z}=\left| {{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right|.$
+) Định luật Ôm: $\text{I}=\frac{\text{U}}{\text{Z}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{L}}}}{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{C}}}}{{{\text{Z}}_{\text{C}}}}.$
+) Quan hệ về pha:
Khi ${{\text{Z}}_{\text{L}}}\text{}{{\text{Z}}_{\text{C}}}\Rightarrow {{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}-{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}$: Mạch có tính cảm kháng.
Khi ${{\text{Z}}_{\text{L}}}\text{}{{\text{Z}}_{\text{C}}}\Rightarrow {{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}-{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}=-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}$: Mạch có tính dung kháng.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ minh họa 1:
Tính độ lệch pha của u và i, tổng trở trong đoạn mạch điện xoay chiều RL biết tần số dòng điện là 50 Hz và
a) $\text{R = 50 }\!\!\Omega\!\!\text{ , L =}\frac{\sqrt{\text{3}}}{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}\text{H}\text{.}$
b) $\text{R =100}\sqrt{\text{2 }}\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ , L =}\frac{\sqrt{\text{2}}}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\text{H}\text{.}$
HD giải:
Áp dụng các công thức $\left\{ \begin{array}{} {{\text{Z}}_{\text{L}}}\text{= }\!\!\omega\!\!\text{ }\text{.L = 2 }\!\!\pi\!\!\text{ f}\text{.L} \\ {} {{\text{Z}}_{\text{RL}}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{L}}^{\text{2}}} \\ {} \tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\text{R}} \\ \end{array} \right.$ta được:
a) ${{\text{Z}}_{\text{L}}}\text{=50}\sqrt{\text{3}}\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\text{Z}}_{\text{RL}}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{L}}^{\text{2}}}=\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left( \text{50}\sqrt{\text{3}} \right)}^{2}}}=1\text{00 }\!\!\Omega\!\!\text{ } \\ {} \tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\text{R}}=\frac{\text{50}\sqrt{\text{3}}}{50}=\sqrt{3} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} \text{Z}=100\Omega \\ {} \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}} \\ \end{array} \right..$
b) $\text{Z =100}\sqrt{2}\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{\text{Z}}_{\text{RL}}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{L}}^{\text{2}}}=\sqrt{{{\left( 100\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 100\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2\text{00 }\!\!\Omega\!\!\text{ } \\{} \tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\text{R}}=\frac{100\sqrt{2}}{100\sqrt{2}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} \text{Z}=200\Omega \\ {} \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \\ \end{array} \right..$
Ví dụ minh họa 2:
Cho mạch điện xoay chiều gồm hai phần tử R, L với $\text{R}=\text{50}\sqrt{\text{3}}\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ },\text{ L=}\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\text{H}\text{.}$ Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức $\text{u =120cos}\left( \text{100 }\!\!\pi\!\!\text{ t+}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}/{\text{4}}\; \right)\text{V}$.
a) Tính tổng trở của mạch.
b) Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch.
c) Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm thuần, hai đầu điện trở.
HD giải:
a) Từ giả thiết ta tính được $\text{Z=50 }\!\!\Omega\!\!\text{ }\Rightarrow {{\text{Z}}_{\text{RL}}}=\sqrt{{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{+Z}_{\text{L}}^{\text{2}}}=\sqrt{{{\left( \text{50}\sqrt{\text{3}} \right)}^{2}}+{{50}^{2}}}=1\text{00 }\!\!\Omega\!\!\text{ }\text{.}$
b) Ta có ${{\text{I}}_{0}}=\frac{{{\text{U}}_{\text{0}}}}{\text{Z}}=\frac{120}{100}=\text{1,2A}\text{.}$ Độ lệch pha của điện áp và dòng điện là $\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }$thỏa mãn
$\tan \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\text{R}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ =}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\text{(rad)}\text{.}$
Mà điện áp hai đầu đoạn mạch nhanh pha hơn dòng điện nên ${{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}\text{=}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}\text{+ }\!\!\varphi\!\!\text{ }\Rightarrow {{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}={{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{u}}}-\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }$
$=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\text{=}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}}\text{.}$ Vậy biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là $\text{i=1,2cos}\left( \text{100 }\!\!\pi\!\!\text{ t+}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}} \right)\text{A}$
c) Viết biểu thức ${{\text{u}}_{\text{L}}}$ và ${{\text{u}}_{\text{R}}}$. Ta có $\left\{ \begin{array}{} {{\text{U}}_{\text{0L}}}\text{=}{{\text{I}}_{\text{0}}}\text{.}{{\text{Z}}_{\text{L}}}\text{=60V} \\ {} {{\text{U}}_{\text{0R}}}\text{=}{{\text{I}}_{\text{0}}}\text{.R=60}\sqrt{\text{3}}\text{V} \\\end{array} \right.$
Do ${{\text{u}}_{\text{L}}}$ nhanh pha hơn i góc ${\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}/{\text{2}}\;$ nên ${{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{{{\text{u}}_{\text{L}}}}}\text{=}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}\text{+}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}\text{=}\frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}}\Rightarrow {{\text{u}}_{\text{L}}}=60\text{cos}\left( \text{100 }\!\!\pi\!\!\text{ t+}\frac{\text{7 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}} \right)\left( \text{V} \right)\text{.}$
Do ${{\text{u}}_{\text{R}}}$cùng pha với i nên ${{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{{{\text{u}}_{R}}}}\text{=}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{i}}}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}}\Rightarrow {{\text{u}}_{\text{R}}}=60\sqrt{3}\text{cos}\left( \text{100 }\!\!\pi\!\!\text{ t+}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{12}} \right)\left( \text{V} \right)\text{.}$
