Tổng hợp lý thuyết bài tập áp dụng hệ thức độc lập với thời gian có đáp án chi tiết vật lý lớp 12

BÀI TẬP ÁP DỤNG HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T = 2 s và biên độ A =10 cm. Tốc độ của vật khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 6 cm là: A. $8\pi \text{ cm/s}\text{.}$                                                             B. $6\pi \text{ cm/s}\text{.}$              C. $8\text{ cm/s}\text{.}$                            D. $\text{10 cm/s}\text{.}$

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow \left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\pi \text{ cm/s}\text{.}$

Chọn A.

 

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với tần số góc là 4 rad / s. Biết rằng khi vật đi qua điểm có li độ -8 cm thì nó có tốc độ là 8 cm / s. Biên độ dao động của vật là: A. $A=16cm.$                             B. $A=8\sqrt{2}cm.$                      C. $A=4\sqrt{5}cm.$                D. $A=4\sqrt{3}cm.$

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{(-{{8}^{2}})+{{\left( \frac{8}{4} \right)}^{2}}}=4\sqrt{5}$. Chọn C.

 

 

Ví dụ 3: [Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017], Một vật dao động điều hoà với biên độ 20 cm. Khi li độ là 10 cm thì vận tốc của vật là $20\pi \sqrt{3}\text{ cm/s}\text{.}$. Chu kì dao động của vật là: A. 0,1 s.                                         B. 0,5 s.                                                C. 1 s.                                             D. 5 s.

Lời giải

Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \omega =\frac{\left| v \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1s.$Chọn C.

Ví dụ 4: : [Trích đề thi đại học năm 2009] Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình $x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right).$. Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là: A. $\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}.$          B. $\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}.$                C. $\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$                D. $\frac{{{\omega }^{2}}}{{{v}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$

Lời giải 

Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$Chọn C.

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ ${{x}_{1}}$= 1 cm , và có vận tốc ${{v}_{1}}$= 30 cm / s. Đến thời điểm ${{t}_{2}}$vật có li độ x2 = 3 cm và có vận tốc ${{v}_{2}}$= 10 cm / s. Hãy xác định biên độ, tần số góc của vật. A. $A=\sqrt{10}\text{ cm;}\omega \text{ = 10 rad/s}\text{.}$                                                      B. $A=\sqrt{10}\text{ cm;}\omega \text{ = }\sqrt{10}\text{ rad/s}\text{.}$ C. $A=10\text{ cm;}\omega \text{ = }\pi \text{ rad/s}\text{.}$                                                    D. $A=10\text{ cm;}\omega \text{ = 10 rad/s}\text{.}$

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}+\frac{900}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1   \\\frac{9}{{{A}^{2}}}+\frac{100}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}=\frac{1}{10}   \\\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=\frac{1}{1000}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=\sqrt{10}cm   \\\omega =10rad/s  \\\end{matrix} \right.  \\\end{matrix} \right.$

Chọn A

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm ${{t}_{1}}$ vật có li độ ${{x}_{1}}$ và có vận tốc ${{v}_{1}}$. Đến thời điểm t2 vật có li độ ${{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)$) và có vận tốc ${{v}_{2}}$. Chu kì dao động của vật là A. $T=2\pi \sqrt{\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$                                                          B. $T=2\pi \sqrt{\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ C. $T=2\pi \sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}.}$                                                          D. $T=2\pi \sqrt{\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}.}$

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}$

$\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}=2\pi \sqrt{\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$. Chọn B.

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox , ở thời điểm ${{t}_{1}}$, vật có li độ ${{x}_{1}}$, và có vận tốc ${{v}_{1}}$. Đến thời điểm t2 vật có li độ ${{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)$và có vận tốc ${{v}_{2}}$. Biên độ dao động của vật A. $A=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$                            B. $A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ C. $A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{1}^{2}-v_{2}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$                            D. $A=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}x_{2}^{2}-v_{1}^{2}x_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}=\frac{v_{2}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}$

$\Leftrightarrow v_{1}^{2}{{A}^{2}}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}={{A}^{2}}v_{2}^{2}-v_{1}^{2}v_{2}^{2}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$. Chọn A

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox, tại thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ là ${{x}_{1}}$=3 cm và vận tốc là ${{v}_{1}}=6\pi \sqrt{3}\ \text{cm/s}$, tại thời điểm t2 vật có li độ là ${{x}_{2}}=3\sqrt{2}\text{cm}$và vận tốc là ${{v}_{2}}=6\pi \sqrt{2}cm/s$. Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động là:  A. ${{v}_{\max }}=12\pi cm/s.$                                                         B. ${{v}_{\max }}=18\pi cm/s.$           C. ${{v}_{\max }}=24\pi cm/s.$                          D. ${{v}_{\max }}=9\pi cm/s.$

Lời giải

Ta có: $\omega =\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=2\pi \Rightarrow A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=6\Rightarrow {{v}_{\max }}=12\pi .$ Chọn A.

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ $x=4\sqrt{3}\text{ cm}$thì vận tốc của vật là$v=8\pi \text{cm/s}$ và gia tốc là $-16{{\pi }^{2}}\sqrt{3}\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}.$ Chu kì và biên độ của dao động lần lượt là A. $T=1s;A=10cm.$                  B. $T=2s;A=8cm.$                           C. $T=1s;A=8cm.$                     D. $T=1s;A=6cm.$

Lời giải

Ta có: $a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a}{-x}=4{{\pi }^{2}}\Rightarrow \omega =2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$

Áp dụng hệ thức độc lập ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \left( 4\sqrt{3} \right)+\frac{48{{\pi }^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=8\left( cm \right)$. Chọn C.

Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm có tốc độ là ${{v}_{1}}$thì gia tốc của nó là a1. Khi chất điểm có tốc độ là ${{v}_{2}}\left( {{v}_{2}}\ne {{v}_{1}} \right)$ thì gia tốc của nó là a2. Tần số góc của chất điểm là A. $\omega =\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}$                                                   B. $\omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}$      C. $\omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$                                                    D. $\omega =\sqrt{\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}}$

Lời giải

Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}   \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}   \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} \right.$ . Chọn B

Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm / s. Khi chất điểm có tốc độ 16 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là 24 cm / s2. Biên độ dao động của chất điểm là A. A = 20 cm.                               B. A = 8 cm.                                        C. A = 16 cm.                               D. A = 10 cm.

Lời giải

Ta có: ${{v}_{1}}={{v}_{\max }}=20\Rightarrow {{a}_{1}}=0$ và ${{v}_{2}}=16;{{a}_{2}}=24.$

Mặt khác: $\left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}  \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}  \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=\frac{{{\left( 24 \right)}^{2}}}{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=4\Rightarrow \omega =2 \right.$

$\Rightarrow A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=\frac{{{v}_{1}}}{4}=10\left( cm \right)$. Chọn D.

Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm ở vị trí biên thì gia tốc của nó là $36\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}.$. Khi chất điểm cách vị trí cân bằng một khoảng 3 cm thì tốc độ của nó là $3\sqrt{7}cm/s.$. Biên độ dao động của vật là. A. $A=6\text{ cm}\text{.}$   B. $A=6\sqrt{7}\text{ cm}\text{.}$                                                   C. $A=4\text{ cm}\text{.}$                                                         D. $A=8\text{ cm}\text{.}$

Lời giải

Khi vật ở vị trí biên ta có: ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A=36$

Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=9+\frac{{{\left( 3\sqrt{7} \right)}^{2}}}{\frac{36}{A}}\Leftrightarrow {{A}^{2}}=9+\frac{7A}{4}\Rightarrow A=4cm.$ Chọn C

Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quỹ đạo là đoạn thẳng dài $\ell =16\text{ cm}$. Tại một thời điểm nào đó vận tốc của vật lần lượt là $40\text{cm/s}$ và $4\sqrt{3}\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}.$Chu kì dao động của vật là: A. $T=\frac{\pi }{10}s$            B. $T=\frac{\pi }{5}s$                     C. $T=\frac{\pi }{20}s$            D. $T=\frac{3\pi }{10}s$

Lời giải

Biên độ dao động của vật là: $A=\frac{\ell }{2}=8\left( cm \right).$

Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{{40}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{\left( 400\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}=64\xrightarrow{t=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}}1600t+480000{{t}^{2}}=64\Rightarrow t=\frac{1}{100}\Rightarrow \omega =10rad/s.$

Do đó: $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\pi }{5}s$. Chọn B.

Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 4 cm / s. Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là $8\sqrt{3}cm/{{s}^{2}}.$. Biên độ dao động của chất điểm là. A. 2 cm.                                         B. 4 cm.                                               C. 1 cm.                                         D. $2\sqrt{3}$ cm.

Lời giải

Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: $v={{v}_{\max }}=\omega A=4cm/s.$

Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{2}^{2}}}{{{4}^{2}}}+\frac{{{\left( 8\sqrt{3} \right)}^{2}}}{a_{\max }^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{\max }}=16cm/{{s}^{2}}$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}{{v}_{\max }}=\omega A  \\{{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A  \\\end{matrix}\Rightarrow A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}} \right.=1cm.$ Chọn C.

Ví dụ 15: :[ Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017]. Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là ${{v}_{\max }}$ tần số góc $\omega $thì khi đi qua vị trí có li độ ${{x}_{1}}$sẽ có vận tốc ${{v}_{1}}$thoã mãn: A. $v_{1}^{2}={{\omega }^{2}}x_{1}^{2}-v_{\max }^{2}.$      B. $v_{1}^{2}={{\omega }^{2}}x_{1}^{2}+v_{\max }^{2}.$                                           C. $v_{1}^{2}=v_{\max }^{2}-{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}.$      D. $v_{1}^{2}=v_{\max }^{2}-\frac{{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}.}{2}$

Lời giải

Ta có: $\frac{v_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{\left( \frac{{{v}_{\max }}}{\omega } \right)}^{2}}}=1-\frac{{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}\Rightarrow v_{1}^{2}=v_{\max }^{2}-{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}$. Chọn C.

Ví dụ 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ v, x dạng $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{v}^{2}}}{16}=4$, trong đó x (cm), v (cm/s). Biên độ và tần số góc dao động của vật là A. $2\text{ cm; 2 rad/s}\text{.}$                                                       B. $\text{4 cm; 2 rad/s}\text{.}$        C. $\text{4 cm; 4 rad/s}\text{.}$                           D. $\text{2 cm; 4 rad/s}\text{.}$

Lời giải

Ta có: $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{v}^{2}}}{16}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{v}^{2}}}{64}=1=\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A=4cm  \\\omega A=8\Rightarrow \omega =2rad/s  \\\end{matrix} \right.$ Chọn B.

Ví dụ 17: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ và chu kỳ lần lượt là ${{T}_{1}}$ và ${{T}_{2}}=2{{T}_{1}}$. Khi chúng có cùng ly độ thì tỉ số độ lớn vận tốc là A. $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$                      B. $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=2$       C. $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{1}{2}$                                        D. $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\sqrt{2}$

Lời giải

Ta có: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ . Do đó $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{\omega }_{1}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{\omega }_{2}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=2$. Chọn B.

Ví dụ 18: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia tốc cực đại là 320 cm / s2. Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm / s2 thì tốc độ của nó là $40\sqrt{3}\text{cm/s}$. Biên độ dao động của chất điểm là: A. 20 cm.                                      B. 8 cm.                                               C. 10 cm.                                       D. 16 cm.

Lời giải

Ta có: Do $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{v}_{\max }}=80\left( cm/s \right)$

Khi đó $A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}}=20cm$. Chọn A

Ví dụ 19: [Trích đề thi thử sở GD{}ĐT Vĩnh Phúc 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 20 cm. Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5 cm thì nó có tốc độ $5\pi \sqrt{3}cm/s$. Dao động của chất điểm có chu kì là: A. 1 s.                                             B. 2 s.                                                   C. 0,2 s.                                         D. 1,5 s.

Lời giải

Ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$. Trong đó $A=\frac{\ell }{2}=10cm\Rightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=75\Rightarrow \omega =\pi \left( rad/s \right).$

Do đó $T=\frac{2\pi }{\omega }=2s.$Chọn B

 

Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm. Khi độ dời là 5 cm vật có tốc độ $v=10\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right).$  Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Chu kì dao động của vật là A. T = 0,5 (s).                               B. T = 1 (s).                                         C. T = 1,5 (s).                               D. T = 2 (s).

Lời giải

Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm

=> Biên độ dao động của vật là A = 10 cm

Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc $v=10\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right).$

Áp dụng hệ thức độc lập ${{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \omega =\sqrt{\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \left( rad/s \right)$

Chu kỳ dao động của vật là: $T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$. Chọn B

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm và chu kì T = 2(s). Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Tại thời điểm vật có tốc độ $v=2,5\pi \left( cm/s \right)$thì độ lớn gia tốc của vật là A. $a=25\left( cm/{{s}^{2}} \right)$                                                 B. $a=25\sqrt{2}\left( cm/{{s}^{2}} \right)$   C. $a=25\sqrt{3}\left( cm/{{s}^{2}} \right)$                                       D. $a=50\left( cm/{{s}^{2}} \right)$

Lời giải

Tần số gốc của vật $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$

Khi có vận tốc $v=2,5\pi \left( cm/s \right)$. Áp dụng hệ thức độc lập ta có:

${{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow a={{\omega }^{2}}A\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}}=25\sqrt{3}\left( cm/{{s}^{2}} \right)$ Chọn C.

Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2Hz. Khi pha dao động tại thời điểm t bằng $\frac{\pi }{3}$ thì gia tốc của chất điểm là $a=-8m/{{s}^{2}}$. Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Tốc độ của vật của vật khi đi qua li độ $x=2,5\sqrt{2}\left( cm \right)$ A. $20\left( cm/s \right).$     B. $20\sqrt{3}\left( cm/s \right).$                                                     C. $20\sqrt{5}\left( cm/s \right).$                                        D. $20\sqrt{10}\left( cm/s \right).$

Lời giải

Tần số góc của vật là: $\omega =2\pi f=4\pi \left( rad/s \right)$

Pha dao động tại thời điểm t bằng $\frac{\pi }{3}\Rightarrow x=A\cos \varphi =\frac{A}{2}$

Gia tốc tại thời điếm này là $a=-{{\omega }^{2}}x=-\frac{{{\omega }^{2}}A}{2}\Leftrightarrow A=0,05m=5cm$

Tốc độ của vật khi qua li độ $x=2,5\sqrt{2}\left( cm \right)$ là $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=20\sqrt{5}\left( cm/s \right)$.  Chọn C.

Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa có phương trình $x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\left( cm \right)$. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ x = 5cm, vận tốc$v=10\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right)$. Tại thời điểm t2 vật có li độ $x=5\sqrt{2}\left( cm \right)$và vận tốc $v=10\pi \sqrt{2}\left( cm/s \right)$. Biên độ dao động của vật là? A. 5 cm                                          B. 10 cm                                              C. 15 cm                                        D. 20 cm

Lời giải

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}  \\x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}   \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{5}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{3}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}}  \\{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{2}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}}  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=10cm  \\\omega =2\pi   \\\end{matrix} \right.$. Chọn B

Ví dụ 24: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t-\frac{\pi }{2} \right)cm$; ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+\frac{\pi }{2} \right)cm.$ Tại thời điểm ${{t}_{1}}$chất diểm thứ nhất có li độ 5 cm thì chất điểm thứ hai có li độ $-3\sqrt{3}cm$. Tại thời điểm ${{t}_{2}}$chất điểm thứ nhất có li độ -2cm thì chất điểm thứ hai có li độ là A. $1,2\sqrt{3}cm$                   B. $-1,2\sqrt{3}cm$                        C. $1,6\sqrt{3}cm$                   D. $-1,6\sqrt{3}cm$

Lời giải

x₁ và x₂ ngược pha ta có mối quan hệ:

$\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}=-\frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}}\Rightarrow \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số

$\Rightarrow {{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{-3\sqrt{3}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{-2}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Rightarrow {{\left( {{x}_{2}} \right)}_{t2}}=1,2\sqrt{3}\text{ cm}\text{.}$Chọn A.

Ví dụ 25: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là: ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right),{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right).$. Cho biết $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25c{{m}^{2}}.$ Khi chất điểm thứ nhất có li độ là ${{x}_{1}}=2\text{ cm}\text{.}$thì tốc độ của chất điểm thứ nhất là 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là A. 12 cm/s.                                  B. 6 cm/s.                                           C. 16 cm/s.                                   D. 8 cm/s.

Lời giải

Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25\text{ c}{{\text{m}}^{2}}\left( 1 \right)$, được:

$4.2{{x}_{1}}.{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}.{{v}_{2}}=0\Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0\Rightarrow 4\left| {{x}_{1}} \right|.\left| {{v}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\left| {{v}_{2}} \right|$     (2)

Khi ${{x}_{1}}=2\text{ cm}$thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3$

Thay vào (2) ta được $4.2.6=3.\left| {{v}_{2}} \right|\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$

Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được $\frac{x_{1}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{x_{2}^{2}}{25}=1\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ vuông pha $A_{1}^{2}=\frac{25}{4};A_{2}^{2}=25$

Khi ${{x}_{1}}=2$ cm, thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3.$

Hai chất điểm dao động cùng tần số

$\omega =\frac{\left| {{v}_{1}} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}-x_{1}^{2}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{\frac{25}{4}-{{2}^{2}}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{25-{{3}^{2}}}}\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$ Chọn C.

Ví dụ 26: Cho 2 vật dao động điều hòa có phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( 40t+{{\varphi }_{1}} \right)cm$và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( 40t+{{\varphi }_{2}} \right)cm.$. Biết vận tốc của vật thứ hai và li độ vật thứ nhất tại mọi thời điểm liên hệ với nhau bởi công thức ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}$, trong đó v có đơn vị cm/s, x có đơn vị cm. Khi li độ của vật thứ nhất là 5 cm thì li độ của vật thứ hai là $-2,5\sqrt{3}cm$. Tổng biên độ của 2 vật ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}$là A. 15 cm                                        B. 12,5 cm                                           C. 13,5 cm                                    D. 25 cm

Lời giải

Do ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}\Rightarrow {{v}_{2}}$và x₁ ngược pha: $\frac{{{v}_{2}}}{\omega {{A}_{2}}}=-\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}\Rightarrow {{v}_{2}}=-\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}{{x}_{1}}$

Đồng nhất hệ số: $\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=20\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{1}{2}\text{       }\left( 1 \right)$

${{x}_{1}}$ ngược pha với ${{v}_{2}}$, mà ${{v}_{2}}$ vuông pha với ${{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}$vuông pha ${{x}_{2}}$:

${{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{5}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-2,5\sqrt{3}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\text{        }\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) ta được: ${{A}_{1}}=5cm,\text{ }{{\text{A}}_{2}}=10\text{ cm}\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}+{{A}_{2}}=15\text{ cm}\text{.}$ Chọn A.

Ví dụ 27: Đồ thị biểu diễn liên hệ giữa vận tốc và li độ của một vật dao động điều hòa được cho như hình vẽ bên.  Gia tốc cực đại của vật dao động điều hòa bằng A. $500\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$                                                 B. $750\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$  C. $1500\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$              D. $1000\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$

Lời giải

Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s.

Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có

${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{A\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{6}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{80}{10\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =10rad/s$

${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}.10=1000\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D.

Ví dụ 28: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox. Cho ba điểm M, I, N trên Ox với I là trung điểm của đoạn MN. Gia tổc của chất điểm khi ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s2 và 10 cm/s2. Gia tốc chuyển động của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là A. $15\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$                                                    B. $30\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$     C. $5\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$              D. $0\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$

Lời giải

${{v}_{0}}={{v}_{\max }}\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}};\text{ }{{\text{a}}_{N}}=10\text{cm/}{{\text{s}}^{2}}$ và có $a=-{{\omega }^{2}}x$

I trung điểm MN: ${{x}_{1}}=\frac{{{x}_{N}}+{{x}_{M}}}{2}\Rightarrow {{x}_{N}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{M}};$

Nhân cả 2 vế cho $-{{\omega }^{2}}:$$-{{\omega }^{2}}{{x}_{N}}=2\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{1}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{M}} \right)$

                                                $\Leftrightarrow {{a}_{N}}=2{{a}_{1}}-{{a}_{M}}$

                                                $\Rightarrow {{a}_{N}}=2.10-20=0\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D.