DẠNG 1. KÍCH THÍCH DAO ĐỘNG BẰNG VA CHẠM
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Va chạm mềm:
Vật m chuyển động với vận tốc ${{v}_{o}}$ đến va chạm mềm với vật M đang đứng yên thì $m{{v}_{o}}=\left( m+M \right)V\Rightarrow V=\frac{m{{v}_{o}}}{m+M}$(vận tốc của hệ ở VTCB)
Nếu sau va chạm hệ hai vật dao động điều hòa thì$\left\{ \begin{array}{} \omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}} \\ {} A=\frac{V}{\omega } \\ \end{array} \right.$
b. Va chạm đàn hồi xuyên tâm:
Vật m chuyển động với vận tốc ${{v}_{o}}$ đến va chạm đàn hồi xuyên tâm vào vật M đang đứng yên thì ngay sau va chạm vận tốc của vật m và M lần lượt là v và V:
$\left\{ \begin{array}{} m{{v}_{o}}=mv+MV \\ {} \frac{1}{2}mv_{o}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+\frac{1}{2}M{{V}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M} \\ {} v=\frac{m-M}{m+M}{{v}_{o}} \\ \end{array} \right.$(V là vận tốc của M ở VTCB)
Nếu m = M thì sau va chạm 2 vật trao đổi vận tốc cho nhau
Nếu sau va chạm M dao động điều hòa thì $\left\{ \begin{array}{} \omega =\sqrt{\frac{k}{M}} \\ {} A=\frac{V}{\omega } \\ \end{array} \right.$
Chú ý: Nếu va chạm theo phương thẳng đứng thì tốc độ của m ngay trước va chạm:${{v}_{o}}=\sqrt{2gh}$
+) Nếu là va chạm đàn hồi thì VTCB không thay đổi. Ta có $\left\{ \begin{array}{} V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M} \\ {} v=\frac{m-M}{m+M}{{v}_{o}} \\ \end{array} \right.$
với V là vận tốc của M ở VTCB $\Rightarrow A=\frac{V}{\omega }=\frac{V}{\sqrt{\frac{k}{M}}}$
+) Nếu là va chạm mềm thì VTCB mới thấp hơn VTCB cũ một đoạn ${{x}_{o}}=\frac{mg}{k}$và vận tốc của hệ sau va chạm: $V=\frac{m{{v}_{o}}}{m+M}$ (vận tốc của vật ở cách VTCB mới một đoạn ${{x}_{o}}$).
Biên độ sau va chạm: $A=\sqrt{x_{o}^{2}+\frac{{{V}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}$ với $\omega =\sqrt{\frac{k}{M+m}}$
+) Nếu vật khối lượng m1 và m2 đều chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang đến va chạm trực diện với nhau. Vận tốc ban đầu của các vật lần lượt là ${{\vec{v}}_{10}}$và ${{\vec{v}}_{20}}$, vận tốc ngay sau va chạm của các vật là ${{\vec{v}}_{1}}$và${{\vec{v}}_{2}}$. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ 2 vật trước và ngay sau va chạm: ${{m}_{1}}{{\vec{v}}_{10}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{20}}={{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}$ (1)
Do va chạm hoàn toàn đàn hồi nên năng lượng được bảo toàn:
$\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{10}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{20}^{2}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{2}^{2}$ (2)
Vì các véc tơ có cùng phương nên ta chuyển phương trình véc tơ thành phương trình vô hướng ${{m}_{1}}{{v}_{10}}+{{m}_{2}}{{v}_{20}}={{m}_{1}}{{v}_{1}}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}$và biến đổi phương trình này thành: ${{m}_{1}}\left( {{v}_{10}}-{{v}_{1}} \right)={{m}_{2}}\left( {{v}_{2}}-{{v}_{20}} \right)$ (1’)
Biến đổi (2) thành: ${{m}_{1}}\left( v_{10}^{2}-v_{1}^{2} \right)={{m}_{2}}\left( v_{2}^{2}-v_{20}^{2} \right)$ (2’)
Chia (2’) cho (1’) ta có:$\left( {{v}_{10}}+{{v}_{1}} \right)=\left( {{v}_{2}}+{{v}_{20}} \right)$
Nhân hai vế của phương trình này với m1 ta có: ${{m}_{1}}\left( {{v}_{10}}+{{v}_{1}} \right)={{m}_{1}}\left( {{v}_{2}}+{{v}_{20}} \right)$ (3)
Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm:
$$ (a)
Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m1 và m2 hoàn toàn tương đương nhau nên trong công thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả cầu thứ nhất sau va chạm:
$$ (b)
I. BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG 1
|
Bài tập 1: Lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 30 N/m. Vật M = 200g có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật m = 100g bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v0 = 3m/s. Sau va chạm hai vật dính vào nhau, làm cho lò xo nén và cùng dao động điều hòa. Chọn gốc thời gian là ngay lúc sau va chạm, thời điểm lần thứ 2013 lò xo dãn 3 cm là A. 316,32s B. 316,07s C. 632,43s D. 632,97s |
Lời giải chi tiết
Vận tốc hệ vật sau va chạm (va chạm mềm): $v=\frac{{{v}_{0}}m}{m+M}=1(m/s)$
Tần số góc lúc này:$\omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}}=10(rad/s)\Rightarrow T=\frac{\pi }{5}(s)$
Biên độ của hệ sau va chạm:$A=\frac{v}{\omega }=0,1(m)=10(cm)$
Ta có $\frac{2013}{2}=1006$dư 1 nên ${{t}_{2013}}=1006T+{{t}_{1}}$; ở đây ${{t}_{1}}$ là thời điểm đầu tiên lò xo dãn 3cm kể từ khi dao động.
Vẽ đường tròn lượng giác ta có được
${{t}_{1}}=\frac{T}{2}+\frac{\arcsin \left( 3/10 \right)T}{2\pi }\Rightarrow {{t}_{2013}}=1006T+0,55T=632,43(s)\,(s).$Chọn C
|
Bài tập 2: Lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 60 N/m. Vật M = 600g có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật m = 200g bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc ${{v}_{o}}=2m/s$. Biết quá trình va chạm hoàn toàn đàn hồi. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương ngang. Tính biên độ dao động của M sau va chạm bằng A. 6 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 8,8 cm |
Lời giải chi tiết
Vận tốc vật M sau va chạm (va chạm đàn hồi): $v=\frac{2{{v}_{o}}m}{m+M}=1\left( m/s \right)$
Tần số góc: $\omega =\sqrt{\frac{k}{M}}=10\left( rad/s \right)$
Biên độ của hệ sau va chạm: $A=\frac{v}{\omega }=10\left( cm \right)$. Chọn B
|
Bài tập 3: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với cơ năng W. Khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng bằng nó đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa với cơ năng ${W}’$. Chọn kết luận đúng A. ${W}’=W\sqrt{2}$ B. ${W}’=\frac{W}{\sqrt{2}}$ C. ${W}’=2W$ D. ${W}’=0,5W$ |
Lời giải chi tiết
Tốc độ con lắc đơn tại VTCB là: ${{v}_{o}}=\omega A$
Năng lượng con lắc đơn: $W=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
Bảo toàn động lượng: $m{{v}_{o}}=\left( m+M \right)v\Leftrightarrow v=\frac{{{v}_{o}}}{2}$
Năng lượng của hệ vật là: ${W}’=\frac{1}{2}\left( m+m \right){{v}^{2}}=m.\frac{v_{0}^{2}}{4}\Rightarrow \frac{W}{{{W}’}}=2\Leftrightarrow {W}’=0,5W$. Chọn D
|
Bài tập 4: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang, vật có khối lượng m dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật đến vị trí có thế năng bằng 3 lần động năng thì một vật nhỏ khác có cùng khối lượng m rơi thẳng đứng và dính chặt vào m. Khi đó hai vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ A. $\frac{\sqrt{5}}{4}A$ B. $\frac{\sqrt{14}}{4}A$ C. $\frac{\sqrt{7}}{2}A$ D. $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}A$ |
Lời giải chi tiết
Cơ năng của con lắc:$E={{E}_{d}}+{{E}_{t}}$, kết hợp với giả thuyết ${{E}_{t}}={{E}_{d}}\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}A$
Tại vị trí này vật có tốc độ $v=\frac{\omega A}{2}$
Sau va chạm con lắc mới tiếp tục dao động điều hòa với tần số góc${\omega }’=\sqrt{\frac{k}{m+m}}=\frac{\omega }{\sqrt{2}}$
Sau quá trình va chạm động lượng theo phương nằm ngang của hệ được bảo toàn:
$mv=\left( m+m \right){{V}_{0}}\Rightarrow V=\frac{v}{2}=\frac{\omega A}{4}$
Biên độ dao động mới của con lắc:${A}’=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}A \right)}^{2}}+\left( \frac{{{V}_{0}}}{{{\omega }’}} \right)}=\frac{\sqrt{14}}{4}A.$ Chọn B
|
Bài tập 5: Cho cơ hệ như hình vẽ, lò xo lý tưởng có độ cứng k = 100N/m được gắn chặt ở tường tại Q, vật M = 200g được gắn với lò xo bằng một mối hàn, vật M đang ở vị trí cân bằng thì vật m = 50g bay tới dưới vận tốc v0 = 2m/s va chạm mềm với vật M. Sau va chạm hai vật dính liền với nhau và dao động điều hòa. Bỏ qua ma sát giữa các vật với mặt phẳng ngang. Sau một thời gian dao động, mối hàn gắn giữa M và lò xo bị lỏng dần, ở thời điểm t hệ vật đang ở vị trí lực nén của lò xo vào Q cực đại. Biết rằng, kể từ thời điểm t mối hàn có thể chịu được một lực nén tùy ý nhưng chỉ chịu được một lực kéo tối đa là 1N. Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu (tính từ thời điểm t) mối hàn sẽ bị bật ra A. ${{t}_{\min }}=\frac{\pi }{10}s$ B. ${{t}_{\min }}=\frac{\pi }{30}s$ C. ${{t}_{\min }}=\frac{\pi }{5}s$ D. ${{t}_{\min }}=\frac{\pi }{20}s$ |
Lời giải chi tiết
Tần số góc của dao động $\omega =\sqrt{\frac{k}{M+m}}=20\,rad/s$
Định luật bảo toàn động lượng cho bài toán va chạm mềm
$m{{v}_{0}}=\left( M+m \right){{V}_{0}}\Rightarrow {{V}_{0}}=\frac{m{{v}_{0}}}{M+m}=40cm/s$
Hệ hai vật này sẽ dao động với biên độ$A=\frac{{{V}_{0}}}{\omega }=2cm$
Lực đàn hồi cực đại tác dụng lên con lắc trong quá trình nó dao động
${{F}_{dh\max }}=kA=2N$
Tại t, vật đang ở biên âm (khi đó lực nén tại Q sẽ cực đại)
Thời điểm M bị bật ra khi vật đang có li độ dương và Fdh = 1N
Từ hình vẽ ta tính được góc quét $\varphi =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}rad\Rightarrow t=\frac{\varphi }{\omega }=\frac{\pi }{30}s$. Chọn B
|
Bài tập 6: Một vật có khối lượng m = 100g được mắc vào một lò xo nhẹ có k = 100 N/m, đầu kia được nối với tường. Bỏ qua ma sát trong quá trình chuyển động. Đặt vật thứ hai có khối lượng m’ = 300g sát vật m và đưa hệ về vị trí lò xo nén 4cm sau đó buông nhẹ. Tính khoảng cách giữa hai vật khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau lần đầu tiên. A. 10,28 cm B. 5,14 cm C. 1,14 cm D. 2,28 cm |
Lời giải chi tiết
Lúc đầu cả hai vật dao động với biên độ A = 4cm và $\omega =\sqrt{\frac{k}{m+{m}’}}=5\pi \,rad/s$
Đến VTCB hai vật tách nhau, m dao động điều hòa với${\omega }’=\sqrt{\frac{k}{m}}=10\pi \,rad/s$và ${A}’=\frac{\omega A}{{{\omega }’}}=2cm$
Vật m’ chuyển động thẳng đều với vận tốc${{v}_{\max }}=\omega A=20\pi cm/s$
Thời gian từ khi hai vật tách nhau đến khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau lần đầu tiên là
$\frac{{{T}’}}{4}=0,05s$
Khoảng cách giữa hai vật là$d={{v}_{\max }}.\frac{{{T}’}}{4}-{A}’=20\pi .0,05-2=1,14cm$. Chọn C
|
Bài tập 7: Con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100 N/m gắn với vật m1 = 100g. Ban đầu vật m1 được lò xo giữ tại vị trí lò xo bị nén 4cm, đặt vật m2 = 300g tại vị trí cân bằng O của m1. Buông nhẹ m1 để nó đến va chạm mềm với m2, hai vật dính vào nhau, coi các vật là chất điểm, bỏ qua mọi ma sát, lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Quãng đường vật m1 đi được sau 2s kể từ khi buông m1 là A. 40,58cm B. 42,58cm C. 38,58cm D. 36,58cm |
Lời giải chi tiết
Chu kì lúc đầu của vật ${{m}_{1}}\,\,T=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{1}}}{k}}=0,2s$. Khi vật đi đến VTCB thì mất khoảng thời gian $t=\frac{T}{4}=0,05s$và quãng đường đi từ lúc đầu đến VTCB là S = A = 4 cm
Sau khi va chạm. Hệ vật dao động điều hòa với tần số góc${\omega }’=\sqrt{\frac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=5\pi \,rad/s$
Vận tốc của hệ vật sau khi va chạm $v=\frac{wA{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=10p\,\,cm/s$
Biên độ của hệ vật là $A=\frac{v}{{{w}’}}=2cm$. Chu kì của hệ vật ${T}’=0,4s$
Trong 1,95s [tách $t=1,95(s)=4T+\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}$] tiếp theo vật m1 đi được quãng đường là ${S}’=\frac{40-\sqrt{2}}{2}{A}’=38,58cm$
Quãng đường vật m1 đi được sau 2s kể từ khi buông m1 là $S+{S}’=42,58cm$. Chọn B
|
Bài tập 8: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k và vật có khối lượng m1, dao động điều hòa trên mặt ngang. Khi li độ m1 là 2,5 cm thì vận tốc của nó là $25\sqrt{3}cm/s$. Khi li độ là $2,5\sqrt{3}cm$thì vận tốc là 25 cm/s. Đúng lúc m1 qua vị trí cân bằng thì vật m2 cùng khối lượng chuyển động ngược chiều với vận tốc 1m/s đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1. Chọn gốc thời gian là lúc va chạm, vào thời điểm mà tốc độ của m1 bằng $\sqrt{3}$lần tốc độ của m2 lần thứ nhất thì hai vật cách nhau bao nhiêu? A. 13,9 cm B. 7,6 cm C. $10\sqrt{3}cm$ D. $5\sqrt{3}cm$ |
Lời giải chi tiết
Sử dụng mối quan hệ x, v bất định với thời gian cho vật m1, được hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{} 2,{{5}^{2}}+\frac{{{\left( 25\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ {} {{\left( 2,5\sqrt{3} \right)}^{2}}+\frac{{{25}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} \omega =10\frac{rad}{s} \\ {} A=5cm \\ \end{array} \right.$
Va chạm tại vtcb nên ngay trước khi va chạm m1 có vận tốc$=A\omega =50cm/s=0,5m/s$
Chọn chiều dương là chiều của ${{\vec{v}}_{20}}$. Vận tốc sau khi va chạm của 2 vật lần lượt là :
${{v}_{1}}=\frac{2{{m}_{2}}{{v}_{20}}-\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right){{v}_{10}}}{{{m}_{2}}+{{m}_{1}}}=\frac{2.m.1-\left( m-m \right).\left( -0,5 \right)}{m+m}=1m/s$
${{v}_{2}}=\frac{2{{m}_{1}}{{v}_{01}}-\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{v}_{20}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=\frac{2.m\left( -0,5 \right)-\left( m-m \right).1}{m+m}=-0,5m/s$
Hai vật va chạm tại vị trí cân bằng. Sau va chạm vật 2 bật ngược lại và chuyển động đều với vận tốc 0,5 m/s
Vật 1 dao động điều hòa với vận tốc cực đại là v1 = 1m/s, với biên độ ${A}’=\frac{{{v}_{1}}}{\omega }=\frac{1}{10}=0,1m$
Tốc độ của m1 bằng$\sqrt{3}$ lần tốc độ của ${{m}_{2}}=0,5\sqrt{3}$m/s tại vị trí$x=\pm \frac{{{A}’}}{2}$
Thời gian từ lúc va chạm đến lần đầu tiên $x=\pm \frac{{{A}’}}{2}$là: $\frac{T}{12}=\frac{2\pi }{12\omega }=\frac{2\pi }{12.10}=\frac{\pi }{60}s$
Quãng đường vật 2 đi được trong khoảng thời gian đó là:$S=0,5.\frac{\pi }{60}=\frac{\pi }{120}m$
Khoảng cách giữa hai vật lúc này là:$\Delta x=S+{A}’/2=\pi /120+0,1/2=0,076m=7,6cm$. Chọn B
|
Bài tập 9: Con lắc lò xo có độ cứng k = 200 N/m treo vật nặng khối lượng m1 = 1kg đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 12,5 cm. Khi m1 xuống đến vị trí thấp nhất thì một vật nhỏ khối lượng m2 = 0,5 kg bay theo phương thẳng đứng tới cắm vào m1 với vận tốc 6m/s. Xác định biên độ dao động của hệ hai vật sau va chạm. A. 20 cm B. 24 cm C. 18 cm D. 22 cm |
Lời giải chi tiết
Vận tốc hệ vật sau va chạm (va chạm mềm):$v=\frac{{{v}_{2}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=2(m/s)$
Ban đầu: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{{{m}_{1}}g}{k}=5(cm)$
Sau va chạm: $\Delta {{\ell }_{0}}=\frac{\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g}{k}=7,5(cm)$
Vậy vị trí cân bằng mới bị dịch xuống 1 đoạn 2,5cm _ lúc bắt đầu va chạm vật có li độ
x = 12,5 – 2,5 = 10 (cm)
Tần số góc lúc này: $\omega =\sqrt{\frac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\left( rad/s \right)$
Biên độ của hệ sau va chạm: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=20\left( cm \right)$. Chọn A
|
Bài tập 10: Một quả cầu khối lượng M = 0,2 kg, gắn trên lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20 N/m, đầu dưới của lò xo gắn với đế có khối lượng Md. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi tự do từ độ cao h = 0,45m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Muốn để không bị nhấc lên thì Md không nhỏ hơn A. 300g B. 200g C. 600g D. 120g |
Lời giải chi tiết
Tốc độ của m ngay trước va chạm:
${{v}_{o}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2.10.0,45}=3m/s$
Tốc độ của M ngay sau va chạm: $V=\frac{2m{{v}_{o}}}{m+M}=\frac{2.0,1.3}{0,1+0,2}=2m/s$
Biên độ $A=\frac{V}{\omega }=V\sqrt{\frac{M}{k}}=2\sqrt{\frac{0,2}{20}}=0,2m$
Muốn Md không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo
(khi vật ở vị trí cao nhất lò xo dãn cực đại $A-\Delta {{\ell }_{o}}$) không lớn hơn trọng lượng của Md:
${{F}_{\max }}=k\left( A-\Delta {{\ell }_{o}} \right)=kA-Mg\le {{M}_{d}}g\Rightarrow {{M}_{d}}\ge \frac{kA}{g}-M=0,2kg$. Chọn B
