BÀI TẬP CẮT, GHÉP, GIỮ LÒ XO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT:
| Bài tập 1: Quả cầu m gắn vào lo xo có độ cứng k thì nó dao động với chu kì T. Cắt lò xo trên thành 2 phần có chiều dài theo đúng tỉ lệ 4:5. Lấy phần ngắn hơn và treo quả cầu vào thì chu kì dao động có giá trị là
A. $\frac{T}{3}$. B. $\frac{2T}{3}$. C. $\frac{3T}{2}$. D. $\frac{2T}{\sqrt{5}}$. |
Lời giải chi tiết
Chiều dài phần ngắn hơn là $\frac{4}{9}\ell $.
Phần ngắn nhất có độ cứng là ${k}’.\frac{4}{9}\ell =k.\ell \Rightarrow {k}’=\frac{9}{4}k$
Khi đó ${T}’=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{9}{4}k}}=\frac{2}{3}T$. Chọn B.
| Bài tập 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng m treo dưới cái lò xo dài, có chu kì dao động là T. Nếu lò xo bị cắt bớt $\frac{1}{4}$ chiều dài đồng thời gắn vào lò xo vật nặng có khối lượng 2m thì chu kì dao động của con lắc là:
A. $\frac{T}{2}$. B. $\frac{T\sqrt{3}}{2}$. C. $\frac{T\sqrt{2}}{2}$. D. $\frac{T\sqrt{6}}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${\ell }’=\frac{3}{4}\ell \Rightarrow {k}’.\frac{3}{4}\ell =k.\ell \Rightarrow {k}’=\frac{4}{3}k$
Mặt khác ${T}’=2\pi \sqrt{\frac{2m}{\frac{4}{3}k}}=T\sqrt{\frac{3}{2}}$. Chọn D.
| Bài tập 3: [Trích đề thi THPT QG năm 2015]. Một con lắc lò xo đồng chất, tiết diện đều được cắt thành ba lò xo có chiều dài là $\ell \left( cm \right),\,\,\ell -10\left( cm \right)$ và $\ell -20\left( cm \right)$. Lần lượt gắn mỗi lò xo này (theo thứ tự trên) với vật nhỏ khối lượng m thì được ba con lắc có chu kì dao động riêng tương ứng là 2 s; $\sqrt{3}$ s và T. Biết độ cứng của lò xo tỷ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Giá trị của T là
A. 1,41 s. B. 1,28 s. C. 1,00 s. D. 1,50 s. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{k}_{1}}.\ell ={{k}_{2}}\left( \ell -10 \right)={{k}_{3}}\left( \ell -20 \right)=p$
Khi đó ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}}=2\pi \sqrt{\frac{m\ell }{p}}$, tương tự ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m\left( \ell -10 \right)}{p}};{{T}_{3}}=2\pi \sqrt{\frac{m\left( \ell -20 \right)}{p}}$
Suy ra $\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\sqrt{\frac{\ell }{\ell -10}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 1-\frac{10}{\ell }=\frac{3}{4}\Rightarrow \ell =40cm$.
Lại có $\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{3}}}=\sqrt{\frac{\ell }{\ell -20}}=\sqrt{\frac{40}{20}}=\sqrt{2}\Rightarrow {{T}_{3}}=\frac{{{T}_{1}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=1,41\,s$. Chọn A.
| Bài tập 4: Khi mắc vật m vào một lò xo ${{k}_{1}}$, thì vật m dao động với chu kì ${{T}_{1}}=1,2\,s$. Khi mắc vật m vào lò xo ${{k}_{2}}$, thì vật m dao động với chu kì ${{T}_{2}}=1,6\,s$. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo ${{k}_{1}}$ ghép nối tiếp ${{k}_{2}}$ thì chu kì dao động của m là:
A. 0,96 s. B. 2,0 s. C. 4,8 s. D. 4,0 s. |
Lời giải chi tiết
Gọi k là độ cứng khi ghép nối tiếp 2 lò xo với nhau
Ta có: $\frac{1}{k}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{m\left( \frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}} \right)}$.
Theo giả thiết: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}};{{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{2}}}}\Rightarrow {{T}^{2}}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\Rightarrow T=\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}=2\,\,s$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho N lò xo giống nhau có độ cứng ${{k}_{0}}$ và vật có khối lượng ${{m}_{0}}$. Khi mắc vật với một lò xo và cho dao động thì chu kỳ của hệ là ${{T}_{0}}$. Để có hệ dao động có chu kỳ là $\frac{{{T}_{0}}}{\sqrt{2}}$ thì cách mắc nào sau đây là phù hợp nhất:
A. Cần 2 lò xo ghép song song và mắc với vật. B. Cần 4 lò xo ghép song song và mắc với vật. C. Cần 2 lò xo ghép nối tiếp và mắc với vật. D. Cần 4 lò xo ghép nối tiếp và mắc với vật. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\frac{{{T}’}}{T}=\sqrt{2}=\sqrt{\frac{k}{{{k}’}}}\Rightarrow {k}’=2k=k+k$
Do đó cần 2 lò xo ghép song song và mắc với vật. Chọn A.
| Bài tập 6: Hai lò xo có chiều dài bằng nhau độ cứng tương ứng là ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$. Khi mắc vật m vào một lò xo ${{k}_{1}}$, thì vật m dao động với chu kì ${{T}_{1}}=0,36\,\,s$. Khi mắc vật m vào lò xo ${{k}_{2}}$, thì vật m dao động với chu kì ${{T}_{1}}=0,48\,\,s$. Khi mắc vật m vào hệ lò xo ${{k}_{1}}$ song song với ${{k}_{2}}$ thì chu kì dao động của m là.
A. 0,600 s. B. 0,700 s. C. 0,205 s. D. 0,288 s. |
Lời giải chi tiết
Gọi k là độ cứng khi ghép song song 2 lò xo với nhau
Ta có: $k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}$.
Theo giả thiết: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}};{{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{2}}}}\Rightarrow \frac{1}{{{T}^{2}}}=\frac{1}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{2}^{2}}\Rightarrow T=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}}=0,288\,\,s$. Chọn D.
| Bài tập 7: Một vật có khối lượng m treo vào một lò xo có độ cứng ${{k}_{1}}$ thì chu kì dao động của nó là ${{T}_{1}}=2\,\,s$. Thay bằng lò xo có độ cứng ${{k}_{2}}$ thì chu kì dao động là ${{T}_{2}}=1,8\,\,s$. Thay bằng một lò xo khác có độ cứng $k=3{{k}_{1}}+2{{k}_{2}}$ thì chu kì dao động của lò xo là?
A. 0,98 s. B. 4,29 s. C. 2,83 s. D. 0,85 s. |
Lời giải chi tiết
Ta có $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow k\sim \frac{1}{T}$
Khi lò xo có độ cứng ${{k}_{1}}\Rightarrow {{k}_{1}}\sim \frac{1}{T_{1}^{2}}$
Khi lò xo có độ cứng ${{k}_{2}}\Rightarrow {{k}_{2}}\sim \frac{1}{T_{2}^{2}}$
Khi lò xo có độ cứng k với $k=3{{k}_{1}}+2{{k}_{2}}\Rightarrow \frac{1}{{{T}^{2}}}=\frac{3}{T_{1}^{2}}+\frac{2}{T_{2}^{2}}\Leftrightarrow T=0,85\,\,s$. Chọn D.
| Bài tập 8: Cho hai con lắc lò xo có độ cứng lần lượt là ${{k}_{1}}$và ${{k}_{2}}$. Khi hai lò xo ghép song song rồi mắc vật có khối lượng $m=2kg$ thì con lắc dao động với chu kì $T=\frac{2\pi }{3}s$. Khi hai lò xo ghép nối tiếp rồi mắc vật $m=2kg$ thì con lắc dao động với chu kì ${T}’=\frac{3T}{\sqrt{2}}$. Độ cứng của hai lò xo là?
A. ${{k}_{1}}=30N/m,{{k}_{2}}=60N/m$. B. ${{k}_{1}}=10N/m,{{k}_{2}}=20N/m$. C. ${{k}_{1}}=6N/m,{{k}_{2}}=12N/m$. D. ${{k}_{1}}=5N/m,{{k}_{2}}=20N/m$. |
Lời giải chi tiết
Khi ghép hai lò xo song song $\Rightarrow k=18N/m\Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=18\left( 1 \right)$
Khi ghép nối tiếp hai lò xo $\Rightarrow {k}’=4\left( N/m \right)$
$\Rightarrow \frac{1}{{{k}’}}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}\Leftrightarrow {k}’=\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}=4\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1}}=6\left( N/m \right) \\ {} {{k}_{2}}=12\left( N/m \right) \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 9: Hai đầu A và B của lò xo gắn hai vật nhỏ có khối lượng m và 3m. Hệ có thể dao động không ma sát trên mặt phẳng ngang. Khi giữ cố định điểm C trên lò xo thì chu kì dao động của hai vật bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{CB}{AB}$ khi lò xo không biến dạng.
A. 4. B. $\frac{1}{3}$. C. 0,25 s. D. 3 s. |
Lời giải chi tiết
$l=\frac{{{T}_{AC}}}{{{T}_{CB}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{AC}}}{{{k}_{AC}}}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{CB}}}{{{k}_{CB}}}}}=\sqrt{\frac{1}{3}\frac{{{k}_{CB}}}{{{k}_{AC}}}}=\sqrt{\frac{1}{3}\frac{AC}{CB}}\Rightarrow AC=3CB\Rightarrow \frac{CB}{AB}=\frac{1}{4}$. Chọn C.
| Bài tập 10: Một lò xo nhẹ có độ cứng 120 N/m được kéo căng theo phương nằm ngang và hai đầu gắn cố định A và B sao cho lò xo dãn 10 cm. Một chất điểm có khối lượng m được gắn vào điểm chính giữa của lò xo. Kích thích để m dao động nhỏ theo trục Ox trùng với trục của lò xo. Gốc O ở vị trí cân bằng chiều dương từ A đến B. Tính độ lớn lực tác dụng vào A khi m có li độ 3 cm.
A. 19,2 N. B. 3,2 N. C. 9,6 N. D. 2,4 N. |
Lời giải chi tiết
$\left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{o1}}=\Delta {{\ell }_{o2}}=0,05m \\ {} {{k}_{1}}={{k}_{2}}=\frac{{{k}_{o}}{{\ell }_{o}}}{{{\ell }_{1}}}=2{{k}_{o}}=240N/m \\ {} {{F}_{1}}={{k}_{1}}\left( \Delta {{\ell }_{o1}}+x \right)=240.0,08=19,2N \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Bài tập 11: Một lò xo có chiều dài tự nhiên 25 cm, có khối lượng không đáng kể, được dùng để treo vật, khối lượng $m=200g$ vào điểm A. Khi cân bằng lò xo dài 33 cm, $g=10m/{{s}^{2}}$. Dùng hai lò xo như trên để treo vật m vào hai điểm cố định A và B nằm trên đường thẳng đứng, cách nhau 72 cm. VTCB O của vật cách A một đoạn:
A. 30 cm. B. 35 cm. C. 40cm. D. 50 cm. |
Lời giải chi tiết
Ta có $k=\frac{mg}{\Delta {{\ell }_{o}}}=\frac{0,2.10}{0,08}=25N/m$ nên $\left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{1}}+\Delta {{\ell }_{2}}=0,22 \\ {} \Delta {{\ell }_{1}}-\Delta {{\ell }_{2}}=\frac{mg}{k}=0,08 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{1}}=0,15m \\ {} \Delta {{\ell }_{2}}=0,07m \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow OA=25+15=40cm$. Chọn C.
| Bài tập 12: Con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang không ma sát. Khi vật ở vị trí biên, ta giữ chặt một phần của lò xo làm cơ năng của vật giảm 10% thì biên độ dao động của hệ vật sẽ
A. giảm $\sqrt{10}%$. B. tăng $\sqrt{10}%$. C. giảm 10%. D. tăng 10%. |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra: ${{\text{W}}_{2}}=0,9{{\text{W}}_{1}}\Leftrightarrow {{k}_{2}}A_{2}^{3}=0,9{{k}_{1}}A_{1}^{2}$
Mặt khác, ngay trước và sau khi giữ cố định độ lớn lực đàn hồi cực đại bằng nhau: ${{k}_{1}}{{A}_{1}}={{k}_{2}}{{A}_{2}}$.
Từ đó suy ra ${{A}_{2}}=0,9{{A}_{1}}$, tức là biên độ giảm 10%. Chọn D.
| Bài tập 13: Một con lắc lò xo được đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng $k=40N/m$ và vật nặng khối lượng $m=400g$. Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn 8 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Sau khi thả vật $\frac{7\pi }{30}s$ thì giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo khi đó. Biên độ dao động của vật sau khi giữ lò xo là:
A. 2$\sqrt{6}$ cm. B. 2$\sqrt{5}$ cm. C. 2$\sqrt{7}$ cm. D. 4$\sqrt{2}$ cm. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $T=\frac{\pi }{5}\left( s \right),\Delta t=T+\frac{T}{6}$ do đó sau khi thả vật $\frac{7\pi }{30}s$ thì $x=\frac{A}{2}$ và ${k}’=2k$.
Cách 1: Li độ mới của vật là ${x}’=\frac{x}{2}=\frac{A}{4}$
Áp dụng công thức liên hệ để ý vận tốc 2 trường hợp là bằng nhau và ${\omega }’=\sqrt{\frac{{{k}’}}{m}}$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{} {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ {} {{{{x}’}}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{{{\omega }’}}^{2}}}={{{{A}’}}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)={{{\omega }’}^{2}}\left( {{{{A}’}}^{2}}-{{{{x}’}}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{\left( \frac{A}{2} \right)}^{2}}=2\left[ {{{{A}’}}^{2}}-{{\left( \frac{A}{4} \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {A}’=\frac{A\sqrt{7}}{4}=2\sqrt{7}cm$.
Cách 2: Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng
Cơ năng ban đầu: ${{\text{W}}_{0}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$
Thế năng của lò xo phân bố đều trên cả lò xo nên ta giữ $\frac{1}{2}$ lần chiều dài lò xo thế năng sẽ mất đi $\frac{1}{2}$ lần.
Thế năng bị mất: ${{\text{W}}_{loss}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{4}.k{{\left( \frac{A}{2} \right)}^{2}}=\frac{\text{W}}{8}$
Suy ra cơ năng còn: ${{\text{W}}_{c}}={{\text{W}}_{0}}-{{\text{W}}_{loss}}=\frac{7{{\text{W}}_{0}}}{8}$ đây sẽ là cơ năng toàn phần của con lắc mới.
Cơ năng của con lắc mới: ${{\text{W}}_{2}}=\frac{1}{2}.{k}'{{{A}’}^{2}}=\frac{1}{2}\left( 2k \right).{{{A}’}^{2}}=k{{{A}’}^{2}}=\frac{7k{{A}^{2}}}{16}\Rightarrow {A}’=2\sqrt{7}cm$. Chọn A.
| Bài tập 14: Con lắc lò xo nằm ngang đang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng, người ta giữ chặt lò xo tại điểm cách đầu cố định của nó một đoạn bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài tự nhiên của lò xo, sau đó vật nặng sẽ dao động với biên độ bằng
A. $\frac{A}{\sqrt{2}}$. B. $A\sqrt{2}$. C. $\frac{A}{2}$. D. $2A$. |
Lời giải chi tiết
Chiều dài lò xo tại thời điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật (từ vật đến điểm bị giữ) là $\ell =\frac{{{\ell }_{0}}}{4}$ suy ra độ cứng ${k}’=4k$
Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=\frac{3}{4}\frac{k{{x}^{2}}}{2}=0$ (do vật ở VTCB nên $x=0$).
Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}’}^{2}}\Rightarrow {A}’=A\sqrt{\frac{k}{{{k}’}}}=\frac{A}{2}$. Chọn C.
| Bài tập 15: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua vị trí cân bằng thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn bằng 0,4 chiều dài tự nhiên của lò xo. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ bằng
A. $\frac{2A}{\sqrt{5}}$. B. $\frac{A\sqrt{15}}{5}$. C. $\frac{A\sqrt{5}}{3}$. D. $\frac{A\sqrt{15}}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Chiều dài lò xo tại thời điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật (từ vật đến điểm bị giữ) là $\ell =0,6{{\ell }_{0}}$ suy ra độ cứng ${k}’=\frac{5}{3}k$.
Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=0,4\frac{k{{x}^{2}}}{2}=0$.
Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k'{{{A}’}^{2}}\Rightarrow {A}’=A\sqrt{\frac{k}{{{k}’}}}=A\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{A\sqrt{15}}{5}$. Chọn B.
| Bài tập 16: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí lò xo dãn nhiều nhất người ta cố định một điểm cách điểm cố định một đoạn bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài tự nhiên của lò xo kết quả làm cho con lắc dao động điều hòa với biên độ ${A}’$ bằng:
A. $\frac{A\sqrt{3}}{2}$. B. $\frac{A}{\sqrt{3}}$. C. $\frac{A}{3}$. D. $\frac{A\sqrt{2}}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Chiều dài lò xo tại điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật là $\ell =\frac{{{\ell }_{0}}}{3}$. Suy ra độ cứng ${k}’=3k$
Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=\frac{2}{3}{{E}_{t}}=\frac{2}{3}.E=\frac{2E}{3}$.
Năng lượng còn lại ${E}’=\frac{E}{3}.$
Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}’}^{2}}\Rightarrow {A}’=A\sqrt{\frac{k}{{{k}’}}.\frac{1}{3}}=\frac{A}{3}.$ Chọn C.
| Bài tập 17: Một đầu của lò xo được giữ cố định vào điểm B, đầu còn lại O gắn với vật nặng khối lượng m. Cơ hệ bố trí nằm ngang, vật dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật chuyển động qua vị trí có động năng gấp $\frac{16}{9}$ lần thế năng thì giữ cố định điểm C ở trên lò xo với CO = 2CB. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ dao động mới bằng:
A. 0,346A. B. 0,766A. C. 0,541A. D. 0,75A. |
Lời giải chi tiết
Chú ý đầu cố định là đầu B.
Chiều dài sau đó của lò xo là $\ell =OC=\frac{2{{\ell }_{0}}}{3}$ suy ra độ cứng ${k}’=\frac{3}{2}k.$
Do ${{E}_{}}=\frac{16}{9}{{E}_{t}}\Rightarrow {{E}_{t}}=\frac{9}{25}E$ suy ra thế năng bị mất là $\frac{1}{3}{{E}_{t}}=\frac{9}{25}.\frac{1}{3}E=\frac{9E}{75}.$
Năng lượng còn lại ${E}’=0,88E.$
Theo định luật bảo toàn năng lượng: $0,88.\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}’}^{2}}\Rightarrow {A}’=A\sqrt{0,88\frac{k}{{{k}’}}}=0,766A.$ Chọn B.
| Bài tập 18: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ 8 cm và chu kì 2 s trên mặt phẳng nằm ngang. Khi vật nhỏ của con lắc có tốc độ v thì người ta giữ chặt một điểm trên lò xo, vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ $2\sqrt{7}$cm và chu kì $\sqrt{2}$s. Giá trị của v gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 50 cm/s. B. 60 cm/s. C. 30 cm/s. D. 40 cm/s. |
Lời giải chi tiết
Ta có tốc độ v không thay đổi: ${{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)={{{\omega }’}^{2}}\left( {{{{A}’}}^{2}}-{{{{x}’}}^{2}} \right)$
Do $T=\sqrt{2}{T}’\Rightarrow {\omega }’=\sqrt{2}\omega \Rightarrow {k}’=2k\Rightarrow \ell =\frac{1}{2}{{\ell }_{0}}\Rightarrow {x}’=\frac{x}{2}.$
Do đó ${{8}^{2}}-{{x}^{2}}=2\left[ {{\left( 2\sqrt{7} \right)}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=4\,cm.$
Khi đó: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=2\pi \sqrt{{{8}^{2}}-{{4}^{2}}}=43\,m/s.$ Chọn D.
| Bài tập 19: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang gồm lò xo có độ cứng 100 N/m và vật dao động nặng 0,1 kg. Khi t = 0 vật qua vị trí cân bằng với tốc độ $40\pi $(cm/s). Đến thời điểm $t=\frac{1}{30}s$người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo. Tính biên độ dao động mới của vật
A. $\sqrt{5}$cm. B. 4 cm. C. 2 cm. D. $2\sqrt{2}$cm. |
Lời giải chi tiết
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=0,2s;\omega =\frac{2\pi }{T}=10\pi \,rad/s\Rightarrow A=\frac{{{v}_{cb}}}{\omega }=4\,cm$
$t=\frac{1}{30}s=\frac{T}{6}\Rightarrow x=\frac{A\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,cm$
Phần thế năng bị nhốt: ${{\text{W}}_{nhot}}=\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}$
Cơ năng còn lại: $\text{{W}’}=\text{W}-{{\text{W}}_{nhot}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{k}{{{k}_{1}}}{{A}^{2}}-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k}{{{k}_{1}}}{{x}^{2}}}$
Lại có $\left\{ \begin{array}{} \frac{k}{{{k}_{1}}}=\frac{{{\ell }_{1}}}{\ell }=\frac{1}{2} \\ {} \frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{1}{2}{{4}^{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\,cm.$ Chọn A.
| Bài tập 20: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 18 N/m và vật nặng có khối lượng m = 200 g. Đưa vật đến vị trí lò xo dãn 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Sau khi vật đi được 2 cm thì giữ cố định lò xo tại điểm C cách đầu cố định một đoạn $\frac{1}{4}$ chiều dài của lò xo và khi đó vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ ${{A}_{1}}$. Sau một khoảng thời gian vật đi qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng và lò xo đang giãn thì thả điểm cố định C ra và vật dao động điều hòa với biên độ ${{A}_{2}}$. Giá trị ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ là
A. $3\sqrt{7}$cm và 10 cm. B. $3\sqrt{7}$cm và 9,93 cm. C. $3\sqrt{6}$cm và 9,1 cm. D. $3\sqrt{6}$cm và 10 cm. |
Lời giải chi tiết
Tốc độ của con lắc tại vị trí lò xo đi được 2 cm: ${{v}_{1}}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}$
Sau khi cố định C phần lò xo gắn với con lắc có độ cứng ${{k}_{1}}=\frac{4}{3}k,$ khi đó lò xo chỉ dãn
$\Delta {{\ell }_{1}}=\frac{3}{4}\left( A-S \right)=6\,cm$
Biên độ dao động của con lắc lúc này ${{A}_{1}}=\sqrt{\Delta \ell _{1}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\Delta l_{1}^{2}+{{\left( \frac{\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}}{\sqrt{\frac{4k}{3m}}} \right)}^{2}}}=3\sqrt{7}\,cm$
+ Tại vị trí động năng bằng 3 lần thế năng ta lại thả điểm C, vị trí này vật đang có li độ ${{x}_{1}}=\frac{{{A}_{1}}}{2}$
Khi đó ${{E}_{d}}=\frac{3}{4}{{k}_{1}}A_{1}^{2},\,{{E}_{t}}=\frac{1}{2}k{{\left( \frac{{{A}_{1}}}{2} \right)}^{2}}$
Áp dụng bảo toàn cơ năng $\frac{1}{2}kA_{2}^{2}=\frac{3}{4}{{k}_{1}}A_{1}^{2}+\frac{1}{2}k{{\left( \frac{{{A}_{1}}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{A}_{2}}=10\,cm.$ Chọn A.
