| Ví dụ 1: Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc ${{\alpha }_{0}}$. Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của quả cầu con lắc là:
A. $\sqrt{g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}$ B. $\sqrt{2g\ell \cos {{\alpha }_{0}}}$ C. $\sqrt{2g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}$ D. $\sqrt{g\ell \cos {{\alpha }_{0}}}$ |
Lời giải
Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng ta có $v={{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}$. Chọn C.
| Ví dụ 2: Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc ${{\alpha }_{0}}$. Động năng của con lắc tại li độ góc $\alpha $là:
A. $mg\ell \left( 1-\cos \alpha \right)$ B. $mg\ell \left( \cos {{\alpha }_{0}}-\cos \alpha \right)$ C. $mg\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)$ D. $mg\ell \cos \alpha $ |
Lời giải
Ta có: ${{\text{W}}_{}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{m.2g\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)}{2}=mg\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right).$Chọn C.
| Ví dụ 3: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc ${{45}^{o}}$tại nơi có gia tốc trọng trường là $g=9,8m/{{s}^{2}}$. Vận tốc cực đại của con lắc khi đi qua vị trí cân bằng là $v=3m/s$. Độ dài dây treo con lắc là:
A. $\ell =0,92m$ B. $\ell =1,57m$ C. $\ell =1,54m$ D. $\ell =0,9m$ |
Lời giải
Ta có: ${{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}\Rightarrow \ell =\frac{v_{\max }^{2}}{2g\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}=1,57m.$ Chọn B.
| Ví dụ 4: Một con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn và một vật nhỏ có khối lượng $m=100g$dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$với biên độ góc $0,05rad$. Năng lượng dao động điều hòa của vật bằng ${{5.10}^{-4}}J$. Chiều dài dây treo là:
A. $20\text{ }cm$ B. $30\text{ }cm$ C. $25\text{ }cm$ D. $40\text{ }cm$ |
Lời giải
Ta có: $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=mg\ell .2{{\left( \sin \frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)}^{2}}\approx \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}={{5.10}^{-4}}J$
Suy ra $\ell =40cm$. Chọn D.
| Ví dụ 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài $s=2\cos \left( 7t \right)cm$(t tính bằng giây), tại nơi có gia tốc trọng trường $g=9,8\left( m/{{s}^{2}} \right)$. Tỷ số giữa lực căng dây và trọng lực tác dụng lên quả cầu ở vị trí cân bằng là:
A. 1,08 B. 0,95 C. 1,01 D. 1,05 |
Lời giải
Ta có: ${{\alpha }_{\max }}=\frac{{{s}_{\max }}}{\ell }=\frac{{{s}_{\max }}}{\frac{g}{{{\omega }^{2}}}}=0,1\left( rad \right).$
Tại vị trí cân bằng ${{T}_{\min }}=mg\left( 3-2\cos {{\alpha }_{\max }} \right)\Rightarrow \frac{T}{mg}=3-2\cos 0,1=1,01.$ Chọn C.
| Ví dụ 6: [Trích đề thi cao đẳng năm 2009] Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$. Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là $\ell $, mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Cơ năng của con lắc là:
A. $\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$ B. $mg\ell \alpha _{0}^{2}$ C. $\frac{1}{4}mg\ell \alpha _{0}^{2}$ D. $2mg\ell \alpha _{0}^{2}$ |
Lời giải
Cách 1: Ta có $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=mg\ell .2{{\left( \sin \frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)}^{2}}\approx \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$.
Cách 2: Ta có $\text{W}=\frac{mv_{\max }^{2}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{s}^{2}}}{2}=\frac{m.\frac{g}{\ell }.{{\left( \ell {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}}{2}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$. Chọn A.
Chú ý: Khi áp dụng công thức chúng ta đổi đơn vị biên độc góc sang radian.
| Ví dụ 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$, biết lực căng dây cực đại của vật là $0,51N$. Biết khối lượng vật nhỏ là $50g$ , chiều dài dây treo là $\ell =80cm$. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng và lấy $g=10m/{{s}^{2}}$. Cơ năng của vật trong quá trình dao động là:
A. $4mJ$ B. $6mJ$ C. $5mJ$ D. $4,2mJ$ |
Lời giải
Ta có: Ở vị trí cân bằng ta có: $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=0,51N.$
Do đó $\cos {{\alpha }_{0}}=0,99$ suy ra $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=4\left( mJ \right)$. Chọn A.
| Ví dụ 8: [Trích đề thi đại học năm 2011]. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$, tại nơi có gia tốc trọng trường g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của ${{\alpha }_{0}}$ là:
A. $6,{{6}^{o}}$ B. $3,{{3}^{o}}$ C. $9,{{6}^{o}}$ D. $5,{{6}^{o}}$ |
Lời giải
Ta có: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})$
Ở vị trí cân bằng ta có: $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}}).$
Ở vị trí biên: $\alpha ={{\alpha }_{0}}={{\alpha }_{\max }}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\cos {{\alpha }_{0}}.$
Do đó: $\frac{{{T}_{\max }}}{{{T}_{\min }}}=\frac{3-2\cos {{\alpha }_{0}}}{\cos {{\alpha }_{0}}}\Rightarrow \frac{3}{\cos {{\alpha }_{0}}}-2=1,02\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=\frac{3}{3,02}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}=6,{{6}^{o}}$. Chọn A.
| Ví dụ 9: [Trích đề thi đại học năm 2010]. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$nhỏ. Lấy mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc $\alpha $của con lắc bằng:
A. $-\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{3}}$ B. $-\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}$ C. $\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}$ D. $\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{3}}$ |
Lời giải
Khi động năng bằng n lần thế năng ta có: $s=\pm \frac{{{s}_{0}}}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow \alpha =\pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{n+1}}$.
Do con lắc chuyển động nhanh dần đều theo chiều dương suy ra con lắc đi từ biên về vị trí cân bằng theo chiều dương nên $-\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}$. Chọn B.
| Ví dụ 10: Một con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng $m=100g$, con lắc có chiều dài dây treo là $\ell $, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$. Kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng rồi buông nhé, trong quá trình dao động lực căng dây cực tiểu nếu bỏ qua ma sát là $0,5N$. Gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khi dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc ${{30}^{o}}$thì tỉ số giữa động năng và thế năng là:
A. 0,73 B. 2,73 C. 0,5 D. 0,96 |
Lời giải
Ở vị trí biên: $\alpha ={{\alpha }_{0}}={{\alpha }_{\max }}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\cos {{\alpha }_{0}}=0,1.10\cos {{\alpha }_{0}}=0,5.$
Do đó $\cos {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$.
Khi ${{\alpha }_{0}}={{30}^{o}}$ta có $\frac{{{\text{W}}_{}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\frac{mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)-mg\ell \left( 1-\cos \alpha \right)}{mg\ell \left( 1-\cos \alpha \right)}=\frac{\cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}}}{1-\cos \alpha }=0,73$. Chọn B.
| Ví dụ 11: Một con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng $m=300g$, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}={{4}^{o}}$. Giá trị của lực căng dây treo khi con lắc đi qua vị trí thế năng bằng 3 lần động năng là:
A. $2,998N$ B. $1,957N$ C. $1,029N$ D. $2,948N$ |
Lời giải
Ta có: ${{\text{W}}_{}}=\frac{1}{3}{{\text{W}}_{t}}\Rightarrow \alpha \pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}=\pm \frac{{{\alpha }_{0}}\sqrt{3}}{2}$.
Khi đó lực căng dây của vật là: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})$
Suy ra $T=2,998N$. Chọn B.
| Ví dụ 12: Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động tại nơi có $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$. Biết rằng khi vật qua vị trí cân bằng, dây treo vướng vào một cái đinh nằm cách điểm treo một khoảng 75cm. Chu kì dao động nhỏ của hệ đó là:
A. $1+0,5\sqrt{3}.s$ B. $3s$ C. $2+\sqrt{3}s$ D. $1,5s$ |
Lời giải
Dao động của con lắc gồm 2 nửa một nửa là con lắc có chu kì ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{g}}$; một nửa là con lắc có chu kì ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{g}}$nên chu kì dao động của hệ : $T=\frac{1}{2}\left( {{T}_{1}}+{{T}_{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( 2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{g}}+2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{g}} \right)=1,5s$
Chọn D.
| Ví dụ 13: Chiều dài con lắc đơn 1m. Phía điểm treo O trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng vào điểm O’ cách O một khoảng $\text{OO }\!\!’\!\!\text{ }=50cm$. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc $\alpha ={{30}^{o}}$rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Biên độ cong trước và sau khi vướng đinh là:
A. $5,2\text{ m}m\text{ }v\grave{a}\text{ }3,7\text{ }mm$ B. $3,0\text{ }cm\text{ }v\grave{a}\text{ }2,1\text{ }cm$ C. $5,2\text{ }cm\text{ }v\grave{a}\text{ }3,7\text{ }cm$ D. $5,27\text{ }cm\text{ }v\grave{a}\text{ }3,76\text{ }cm$ |
Lời giải
Biên độ cong ban đầu: ${{A}_{1}}={{\ell }_{1}}{{a}_{\max 1}}=100\frac{3\pi }{180}=5,2cm$.
Dao động của con lắc gồm 2 nửa, một nửa là con lắc có chiều dài ${{\ell }_{1}}$ và biên độ dài ${{A}_{1}}$ một nửa là con lắc có chiều dài ${{\ell }_{2}}$và biên độ dài ${{A}_{2}}$. Vì cơ năng bảo toàn nên:
${{\text{W}}_{2}}=\text{W}\Leftrightarrow \frac{mg}{2{{\ell }_{2}}}A_{2}^{2}=\frac{mg}{2{{\ell }_{1}}}A_{1}^{2}\Rightarrow {{A}_{2}}={{A}_{1}}\sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}}=3,7cm.$ Chọn C.
| Ví dụ 14: Một con lắc đơn có khối lượng m dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$. Biểu thức lực căng dây cực đại là:
A. ${{T}_{max}}=mg\left( 1-\alpha _{0}^{2} \right).$ B. ${{T}_{max}}=2mg{{\alpha }_{0}}.$ C. ${{T}_{max}}=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2} \right).$ D. ${{T}_{max}}=mg\left( 2-\alpha _{0}^{2} \right).$ |
Lời giải
Ta có ${{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\left[ 1+2\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right) \right]$
$=mg\left( 1+4{{\sin }^{2}}\frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2} \right).$ Chọn C.
Tổng quát: Khi $\sin \alpha \approx \alpha $ta có: $\cos \alpha =1-2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=1-2{{\left( \frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}=1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}.$
Khi đó $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\left[ 3\left( 1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2} \right)-2\left( 1-\frac{\alpha _{0}^{2}}{2} \right) \right]=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2}-\frac{3{{\alpha }^{2}}}{2} \right).$
Khi $\alpha ={{\alpha }_{0}}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\left( 1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2} \right)$
Khi $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2} \right)$
| Ví dụ 15: Một con lắc đơn dao động cới vật nhỏ khối lượng $m=100g$, chiều dài dây treo là $\ell =50cm$, tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$.Trong quá trình dao động lực căng dây cực đại là $1,06N$. Ở vị trí mà lực căng dây bằng trọng lực của vật thì vận tốc của con lắc là:
A. $100cm/s$ B. $30cm/s$ C. $\sqrt{10}cm/s$ D. $10\sqrt{10}cm/s$ |
Lời giải
Ta có ${{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=1,06\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=0,97.$
Khi lực căng bằng trọng lực của vật: $mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\Rightarrow \cos \alpha =0,98.$
Khi đó vận tốc của vật là $v=\sqrt{2g\ell (\cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}})}=10\sqrt{10}cm/s.$ Chọn D.
| Ví dụ 16: Một con lắc có chiều dài $\ell =50cm$, vật nặng có khối lượng bằng $100g$, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$.Biết độ lớn lực căng dây cực đại lớn gấp 4 lần độ lớn lực căng dây cực tiểu của nó. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Động năng của vật khi con lắc lệch so với phương thẳng đứng một góc ${{45}^{o}}$là:
A. $0,1J$ B. $0,18J$ C. $0,25J$ D. $0,07J$ |
Lời giải
Ta có: $\frac{{{T}_{\max }}}{{{T}_{\min }}}=\frac{mg\left( 3-2\cos {{\alpha }_{0}} \right)}{mg\cos {{\alpha }_{0}}}=4\Leftrightarrow 3-2\cos {{\alpha }_{0}}=4\cos {{\alpha }_{0}}\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$
Khi đó ${{\text{W}}_{}}=mg\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)=0,1J.$Chọn A.
| Ví dụ 17: [Trích đề thi THPT QG năm 2017] Ở một nơi trên Trái Đất, hai con lắc đơn có cùng chiều dài đang dao động điều hòa với cùng biên độ. Gọi ${{m}_{1}},{{F}_{1}}$và ${{m}_{2}},{{F}_{2}}$ lần lượt là khối lượng, độ lớn lực kéo về cực đại của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai. Biết ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=1,2kg$và $2{{F}_{2}}=3{{F}_{1}}$. Giá trị của ${{m}_{1}}$là:
A. $720g$ B. $400g$ C. $480g$ D. $600g$ |
Lời giải
Ta có: $\frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{{{m}_{1}}{{\omega }^{2}}A}{{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}A}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{2}{3}$
Mặt khác ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=1,2kg\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{m}_{1}}=0,48kg \\ {} {{m}_{2}}=0,72kg \\ \end{array} \right.$.Chọn C
| Ví dụ 18: [Trích đề thi THPT QG năm 2017] Ở một nơi trên Trái Đất, hai con lắc đơn có cùng khối lượng đang dao động điều hòa. Gọi ${{\ell }_{1}},{{s}_{01}},{{F}_{1}}$và ${{\ell }_{2}},{{s}_{02}},{{F}_{2}}$ lần lượt là chiều dài , biên độ, độ lớn lực kéo về cực đại của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai. Biết $3{{\ell }_{2}}=2{{\ell }_{1}},2{{s}_{02}}=3{{s}_{01}}.$Tỉ số $\frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}$ bằng
A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{4}{9}$ C. $\frac{9}{4}$ D. $\frac{2}{3}$ |
Lời giải
Vì con lắc dao đông điều hòa nên
$\alpha \le {{10}^{o}}\Rightarrow \sin \alpha \simeq \alpha \Rightarrow {{F}_{max}}=mg{{s}_{0}}\ell \Rightarrow \frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{{{s}_{01}}}{{{s}_{02}}}.\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$Chọn B
| Ví dụ 19: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc ${{9}^{o}}$dưới tác dụng của trọng lực. Ở thời điểm ${{t}_{0}}$, vật nhỏ của con lắc có li độ góc và li độ cong lần lượt $4,{{5}^{o}}$và $2,5\pi cm$. Lấy $g=10m/{{s}^{2}}$. Tốc độ của vật tại thời điểm ${{t}_{0}}$bằng:
A. $37cm/s$ B. $31cm/s$ C. $25cm/s$ D. $43cm/s$ |
Lời giải
Tốc độ của vật: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{\ell }}\sqrt{{{\left( \ell {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}-{{\left( \ell \alpha \right)}^{2}}}=\sqrt{g\ell \left( \alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}} \right)}$
Với $g=10m/{{s}^{2}},{{\alpha }_{0}}=\frac{9\pi }{180},\alpha =\frac{4,5\pi }{180},\ell =\frac{s}{\alpha }=\frac{2,5\pi }{\alpha }=100cm$
Khi đó $v=43cm/s$. Chọn D
| Ví dụ 20: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc ${{5}^{o}}$. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng thì người ta giữ chặt điểm chính giữa của đây treo, sau đó vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ góc ${{\alpha }_{0}}$. Giá trị của ${{\alpha }_{0}}$ là:
A. $7,{{1}^{o}}$ B. ${{10}^{o}}$ C. $3,{{5}^{o}}$ D. $2,{{5}^{o}}$ |
Lời giải
Ta có: ${{v}_{\text{max}}}=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os }{{\text{5}}^{o}} \right)}$
Khi qua VTCB ta giữ điểm chính giữa, vận tốc cực đại không đổi.
Khi đó ${{v}_{\text{max}}}=\sqrt{2g{{\ell }^{‘}}\left( 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}} \right)}=\sqrt{2g\frac{\ell }{2}\left( 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}} \right)}\Rightarrow 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}}=2\left( 1-c\text{os }{{5}^{o}} \right)$
Do đó $\alpha =7,{{1}^{o}}$. Chọn A.
| Ví dụ 21: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng bằng $m=100g$, dao động điều hòa với chu kì 2s. Khi vật đi qua VTCB lực căng của sợi dây là $1,0025N$. Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng, lấy $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$.Cơ năng dao động của vật là:
A. ${{25.10}^{-4}}J$ B. ${{25.10}^{-3}}J$ C. ${{125.10}^{-5}}J$ D. ${{125.10}^{-4}}J$ |
Lời giải
Ở vị trí cân bằng ta có $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=1,0025N.$
Do đó $cos{{\alpha }_{0}}=\frac{799}{800}$
Lại có: $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\Rightarrow \ell =1m$
Cơ năng dao động của con lắc là $\text{W}=mg\ell \left( 1-c\text{os }{{\alpha }_{0}} \right)=1,{{25.10}^{-3}}J$. Chọn C.
Vật dao động điều hòa nên ta có thể tính theo công thức $\text{W}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$
| Ví dụ 22: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là $\ell =45cm$, khối lượng vật nặng bằng $m=100g$. Con lắc dao động tại nơi có gia tốc trọng trường $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$.Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng, lực căng dây treo bằng $3N$. Vận tốc của vật nặng ki đi qua vị trí này có độ lớn là:
A. $3\sqrt{2}$m/s B. 3 m/s C. $3\sqrt{3}$m/s D. 2 m/s |
Lời giải
Ta có: $T=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=3\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=0.$
Khi đó $v=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os }{{\alpha }_{0}} \right)}=3m/s$. Chọn B
| Ví dụ 23: Một con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không dãn và một vật nhỏ có khối lượng là $m=100g$. dao động điều hòa tại nơi có $g=10m/{{s}^{2}}$với biên độ góc bằng $0,05rad$..Năng lượng điều hòa bằng ${{5.10}^{-4}}J$. Chiều dài dây treo bằng:
A. 20 m B. 30 cm C. 25 cm D. 40 cm |
Lời giải
Ta có $\text{W}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}\Rightarrow \ell =\frac{2W}{mg\alpha _{0}^{2}}=0,4m=40cm$. Chọn D
| Ví dụ 24: Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động điều hòa tại nơi có $g={{\pi }^{2}}=10m/{{s}^{2}}$.Tại vị trí dây treo hợp phương thẳng đứng góc 0,014 rad thì gia tốc có độ lớn là:
A. $0,1rad/{{s}^{2}}$ B. $0,0989rad/{{s}^{2}}$ C. $0,14rad/{{s}^{2}}$ D. $0,17rad/{{s}^{2}}$ |
Lời giải
Ta có: $\left| g \right|=\left| \frac{{{a}_{tt}}}{r} \right|=\frac{g}{\ell }.a=\frac{10}{1}.0,01=0,1\left( rad/{{s}^{2}} \right)$. Chọn C
| Ví dụ 25: Tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/{{s}^{2}}$một con lắc đơn có chiều dài 1m, dao động với biên độ góc ${{60}^{o}}$. Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn. Tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc ${{30}^{o}}$, gia tốc của vật nặng có độ lớn là:
A. $1232cm/{{s}^{2}}$ B. $732cm/{{s}^{2}}$ C. $887cm/{{s}^{2}}$ D. $500cm/{{s}^{2}}$ |
Lời giải
Gia tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}$với:
+) Thành phần pháp tuyến (gia tốc hướng tâm của vật):
${{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R}=\frac{{{v}^{2}}}{\ell }=2g\left( \text{cos 3}{{\text{0}}^{o}}-c\text{os 6}{{\text{0}}^{o}} \right)=7,32m/{{s}^{2}}$
+) Thành phần tiếp tuyến của vật
Do đó $a=8,87m/{{s}^{2}}$. Chọn C.
| Ví dụ 26: Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo vào đầu dưới của một sợi dây không dãn, đầu trên sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát và lực cản không khí. Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại vị trí cân bằng và độ lớn gia tốc của vật tại vị trí biên là:
A. 0,2 B. 0,1 C. 0,3 D. 0 |
Lời giải
Gia tốc của vật tại vị trí biên là gia tốc tiếp tuyến$\Rightarrow {{a}_{tt}}=g\sin \alpha $
Gia tốc của vật tại vị trí cân bằng là gia tốc hướng tâm
$\Rightarrow {{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2g\left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)\Rightarrow \frac{{{a}_{ht}}}{{{a}_{tt}}}=0,1$. Chọn B
| Ví dụ 27: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m gắn với dây treo có chiều dài $\ell $. Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho góc lệch của sợi dây hợp với phương thẳng đứng là ${{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$rồi thả nhẹ. Lấy $g=10m/{{s}^{2}}$.Bỏ qua mọi ma sát. Độ lớn gia tốc của vật khi độ lớn lực căng dây bằng trọng lực là:
A. $0m/{{s}^{2}}$ B. $\frac{10\sqrt{5}}{3}m/{{s}^{2}}$ C. $\frac{10}{3}m/{{s}^{2}}$ D. $\frac{10\sqrt{6}}{3}m/{{s}^{2}}$ |
Lời giải
Ta có $P=T\Leftrightarrow mg=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})\Leftrightarrow 3\cos \alpha -2\cos {{60}^{o}}=1\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{2}{3}$
Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật là ${{a}_{tt}}=g\sin \alpha =\frac{10\sqrt{5}}{3}m/{{s}^{2}}$
Độ lớn gia tốc hướng tâm của vật là ${{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2.10\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{2} \right)=\frac{10}{3}m/{{s}^{2}}$
Gia tốc của vật là: $a=\sqrt{a_{tt}^{2}+a_{ht}^{2}}=\frac{10\sqrt{6}}{3}m/{{s}^{2}}$. Chọn D
| Ví dụ 28: Một con lắc đơn có khối lượng $m$, dây mảnh có chiều dài là $\ell $. Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc ${{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$ rồi thả nhẹ. Lấy $g=10m/{{s}^{2}}$.Bỏ qua mọi lực cản. Độ lớn gia tốc có giá trị cực tiểu trong quá trình chuyển động là:
A. $10\sqrt{\frac{2}{3}}m/{{s}^{2}}$ B. $0m/{{s}^{2}}$ C. $10\sqrt{\frac{3}{2}}m/{{s}^{2}}$ D. $\frac{10\sqrt{5}}{3}m/{{s}^{2}}$ |
Lời giải
Ta có ${{a}_{tt}}=g\sin \alpha $
${{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2gc\text{os}\alpha -g$
$\begin{array}{} \Rightarrow a_{tp}^{2}=a_{tt}^{2}+a_{ht}^{2}={{g}^{2}}\left( {{\sin }^{2}}\alpha +4c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +1 \right) \\ {} ={{g}^{2}}\left( 3c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +2 \right) \\ \end{array}$
Nhận thấy $\left( 3c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +2 \right)$là một tam thức bậc 2 theo $c\text{os}\alpha $có hệ số $a=3>0$. Nên tam thức đạt cực tiểu khi $c\text{os}\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{2}{3}\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]$(do $\alpha <{{60}^{o}}$)
$\Rightarrow $Gia tốc đạt cực tiểu ${{a}_{tp\min }}=10\sqrt{3.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-4.\frac{2}{3}+2}=10\sqrt{\frac{2}{3}}m/{{s}^{2}}$. Chọn A
